3定义命题公理与定理Word格式.docx

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如果a＝b，且b＝c，那么a＝c）．

（4）整体大于部分．

（5）通过两点有且只有一条直线．

（6）连结两点的所有连线中，线段最短．

（7）经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

（8）平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向．

（9）轴反射不改变图形的形状和大小．

（10）旋转不改变图形的形状和大小．

　　有些命题是以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真命题的命题称为定理．定理也可以作为判断其他命题的真假的依据．

7、一个定理的逆命题经过证明是真命题，称它为原来的定理的逆定理．这样的两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

二、重难点知识

1、关于定义：

（1）定义必须是严密的，在表述时，一般避免使用含糊不清的术语，比如“大约”、“大概”、“差不多”、“左右”等．

（2）正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来．

2、关于命题

（1）命题是句子，而且必须是能判断正确和错误的句子．

（2）错误的命题也是命题．

　　如对“两直线相交”这个句子，我们无法判断它是正确的还是错误的，因而它不是命题．

　　找出一个命题的条件和结论是难点，对那些条件和结论不明显的命题，必要时结合图形来区分．如命题，“对顶角相等”，它的条件和结论不明显，应将它改成“如果两个角为对顶角，那么这两个角相等”，再指出条件和结论．

3、定义、命题、公理和定理之间的联系与区别

　　这四者都是句子，都可以判断真假，即定义、公理和定理也是命题，不同的是定义、公理和定理都是真命题，都可以作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过公理是最原始的依据．而命题不一定是真命题，因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据．

三、典型例题讲解

例1、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

（1）若a<

b，则

；

（2）三角形的三条高交于一点；

（3）在ΔABC中，若AB>

AC，则∠C>

∠B吗?

（4）两点之间线段最短；

（5）解方程

（6）1＋2≠3．

例2、指出下列命题的条件和结论

（1）同垂直于一直线的两条直线平行

（2）同角的补角相等

（3）同位角相等

（4）两直线相交只有一个交点

（5）若a2=b2，则a=b

（6）同位角相等，两直线平行

例3、下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题请举出反例．

　　⑴同位角相等．

　　⑵平行于同一直线的两条直线平行．

　　⑶一个数若能被2整除，则它一定能被4整除．

　　⑷同旁内角互补，两直线平行．

例4、下列定理是否都有逆定理？

若有，请写出来．

（1）如果两个角都是直角，那么这两个角相等；

（2）内错角相等，两直线平行；

　　（3）等边三角形的三个角都等于60°

．

窗体顶端

一、选择题

1、下列描述不属于定义的是（　）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B．正三角形是特殊的三角形

C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形

D．含有未知数的等式叫做方程

2、下列语句是命题的是（　）

A．在那星光灿烂的夜晚

B．小丽漂亮吗？

C．延长线段AB到C

D．对顶角不相等

3、下列命题中真命题有（　）

（1）一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形．

（2）一组对边平行，一个对角相等的四边形是平行四边形．

（3）正比例函数一定是一次函数．

（4）速度一定，路程和时间成正比例关系．

A．1个　　　　　　　　　　　　　　

B．2个

C．3个　　　　　　　　　　　　　　

D．4个

4、下列命题中，假命题是（　）

A．如果|a|=a，则a≥0

B．如果

，那么a=b或a=－b

C．如果ab>

0，则a>

0，b>

D．若

，则a是一个负数

5、若m、n、p为三个正实数，如果

，那么

之成立的依据是（　）

A．等量加等量和相等　　　　　　　

B．等量减等量差相等

C．不等式的基本性质　　　　　　　

D．整体大于部分

6、下列定理存在逆定理的有（　）

（1）等腰梯形的两条对角线相等．

（2）矩形的对角线相等．

（3）正方形的四个角都是直角．

（4）如果一个三角形的三边a、b、c满足

，那么这个三角形是直角三角形．

7、下列命题：

①顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形

②等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

③若直角三角形的两条边长为3和4，则第三边是5

④若一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除

其中正确命题的个数是（　）

A．4个　　　　　　　　　　　　　　

B．3个

C．2个　　　　　　　　　　　　　　

D．1个

8、下列说法正确的是（　）

A．真命题的逆命题是真命题

B．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题

C．定理一定有逆定理

D．命题一定有逆命题

二、填空题

9、梯形的定义是：

_________．

10、把命题“等边三角形的每一个内角都为60°

”改成“如果……，那么……”的形式为________．

11、“两负数之积为正数”的条件是___________________，结论是__________________．

12、下列语句是命题的，请将序号填在横线上：

___________．

①延长线段AB到C，使BC＝AB.

②若

，则

.

③画∠AOB的平分线OC.

④角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

⑤开发大西北.

⑥你好，小燕子！

⑦快走！

不然就迟到了．

⑧“WTO”所指的是什么？

13.写出一条平行线的性质定理：

_________________________________．

二、解答题

14、下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

15、判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例．

（1）画线段AB＝3cm．

（2）平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（3）两条直线相交，有几个交点？

（4）相等的角都是直角．

（5）如果a2＝b2，那么a＝b.

（6）直角都相等．

16、下列定理有逆定理吗？

如果有，把它写出来；

如果没有，举一个反例说明．

（1）正方形的对角线互相垂直平分且相等．

（2）对顶角相等．

（3）若正n边形的每一个外角为60°

，则n＝6．

（4）平行四边形的对边相等．

17、小华在钻研数学问题时发现，12<

22，22<

32，32<

42，…于是他得出结论：

对于任意实数a、b，若a<

b，则a2<

b2，你认为小华的结论正确吗？

请说明理由．

18、A、B、C三人在一起争论一个问题时，A指责B说谎话，B指责C说谎话，C指责A和B都说谎话．现请你推测一下，到底谁说真话？

谁说谎话？

分析：

　　句子

（1）

（2）（4）（6）对事情作了判断，所以是命题，句子（3）是问句，（5）没有对事情作出判断，不是命题．

解：

（1）

（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

小结：

理解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．

（1）条件：

两条直线垂直于同一条直线；

结论：

这两条直线平行.

（2）条件：

两个角是同一个角的补角．结论：

这两个角相等．

　　（3）条件：

两个角是同位角，结论：

　　（4）条件：

两直线相交，结论：

这两条直线只有一个交点．

　　（5）条件：

a2=b2；

a=b.

　　（6）条件：

同位角相等；

两直线平行．

　　⑴是假命题，如图所示，∠1与∠2是同位角，但∠1≠∠2．

　　⑵是真命题．

　　⑶是假命题，例如6能被2整除，但却不能被4整除．

　　⑷是真命题．

先写出每个定理的逆命题，再判断其真假．

解答：

（1）的逆命题是：

如果两个角相等，那么这两个角是直角．它是一个假命题．故

（1）没有逆定理．

（2）的逆命题是：

两直线平行，内错角相等．它是一个真命题，故

（2）的逆命题就是它的逆定理．

　　（3）的逆命题是：

三个角都等于60°

的三角形是等边三角形，它是一个真命题，故也是它的逆定理．

总结：

　　先写出逆命题，再判断真假，一般判断一个命题是真命题要经过证明，判断一个命题是假命题只需举一个反例即可．

第1题答案错误!

　正确答案为B

第2题答案错误!

　正确答案为D

第3题答案错误!

　正确答案为C

第4题答案错误!

第5题答案错误!

第6题答案错误!

　正确答案为A

第7题答案错误!

第8题答案错误!

提示：

　　1、命题的基本特征是判断，而A、B、C显然都没有判断，故只有D项才是命题．

　　2、正确的命题为真命题，

（1）假命题．

　　4、ab>

0，可以a<

0，且b<

0.

　　6、（4）存在逆定理即勾股定理的逆定理．

　　8、真命题的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”，逆命题“相等的两个角是对顶角”是假命题；

假命题的逆命题不一定是假命题，如“面积相等的两个三角形全等”，其逆命题“全等三角形的面积相等”是真命题；

一个定理的逆命题可能是假命题，因此定理不一定有逆定理；

但是命题一定有逆命题，所以A、B、C均不正确，应选D．

　　9、有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形．

　　10、一个三角形是等边三角形，那么它的每一个内角都为60°

　　11、两负数相乘，积是正数．

　　12、②，④

13、两直线平行，同位角相等

14　　答案：

（1）

（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题。

15　　解：

（1）、（3）不是命题，因为句子中没有作出任何判断．

（2）、（6）是真命题．

　　（4）、（5）是假命题．

　　对于（4），比如：

∠A＝30°

，∠B＝30°

，∠A＝∠B，但∠A、∠B都不是直角．

　　对于（5），如：

当a＝－5，b＝5时，a2＝25，b2＝25，满足a2＝b2，但a≠b，结论不成立.

16　　解：

（1）有逆定理：

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．

（2）没有逆定理：

　　比如：

同位角相等，但同位角不是对顶角．

　　（3）有逆定理：

正六边形的每一个外角为60°

　　（4）有逆定理：

对边相等的四边形是平行四边形．

17　　答案：

不正确，例如：

－5<

1，但（－5）2>

12．

18　　答案：

B说真话，A、C说谎话．

中考解析

例、（哈尔滨）下列各命题正确的是（　）

A．

是同类二次根式

B．梯形同一底上的两个角相等

C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行

D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等

解析：

　　②∵只有等腰梯形同一底上的两个角相等，故B不一定正确．

　　③∵在同一平面，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C不一定正确．

　　④∵两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，故D不一定正确．

　　故选A．

答案：

A