小学阶段奥数知识点总结33大类Word格式文档下载.docx

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　　36÷

6=6（岁）

　　⑷几年前父亲年龄是儿子年龄的7倍？

　　18–6=12（年）

　　答：

12年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍。

归一问题的基本特点：

问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。

　　关键问题：

根据题目中的条件确定并求出单一量；

　　复合应用题中的某些问题，解题时需先根据已知条件，求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。

这样的应用题就叫做归一问题，这种解题方法叫做“归一法”。

有些归一问题可以采取同类数量之间进行倍数比较的方法进行解答，这种方法叫做倍比法。

　　由上所述，解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。

例1一种钢轨，4根共重1900千克，现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根？

（损耗忽略不计）

　　分析：

以一根钢轨的重量为单一量。

（1）一根钢轨重多少千克？

　　1900÷

4＝475（千克）。

（2）95000千克能制造多少根钢轨？

　　95000÷

475＝200（根）。

解：

95000÷

（1900÷

4）＝200（根）。

答：

可以制造200根钢轨。

例2王家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

以1头奶牛1天产的牛奶为单一量。

（1）1头奶牛1天产奶多少千克？

　　630÷

5÷

7＝18（千克）。

（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？

　　18×

8×

15＝2160（千克）。

（630÷

7）×

15=2160（千克）。

可产牛奶2160千克。

例3三台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间？

分析与解：

以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。

（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克？

　　2400÷

3÷

2.5=320（千克）。

（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时？

　　25600÷

320÷

8=10（时）。

　　综合列式为

25600÷

（2400÷

2.5）÷

例44辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨。

现在有沙土420吨，要求5趟运完。

问：

需要增加同样的卡车多少辆？

以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。

（1）1辆卡车1趟运沙土多少吨？

　　336÷

4÷

7=12（吨）。

（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？

　　420÷

12÷

5＝7（辆）。

　　（3）需要增加多少辆卡车？

　　7-4＝3（辆）。

420÷

（336÷

7）÷

5-4＝3（辆）。

与归一问题类似的是归总问题，归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”，再根据其它条件求出结果。

所谓“总量”是指总路程、总产量、工作总量、物品的总价等。

例5一项工程，8个人工作15时可以完成，如果12个人工作，那么多少小时可以完成？

（1）工程总量相当于1个人工作多少小时？

　　15×

8＝120（时）。

（2）12个人完成这项工程需要多少小时？

　　120÷

12＝10（时）。

15×

8÷

12人需10时完成。

例6一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5时到达。

若要4时到达，则每小时需要多行多少千米？

从甲地到乙地的路程是一定的，以路程为总量。

（1）从甲地到乙地的路程是多少千米？

　　60×

5=300（千米）。

（2）4时到达，每小时需要行多少千米？

　　300÷

4＝75（千米）。

　　（3）每小时多行多少千米？

　　75－60＝15（千米）。

（60×

5）÷

4——60＝15（千米）。

　答：

每小时需要多行15千米。

例7修一条公路，原计划60人工作，80天完成。

现在工作20天后，又增加了30人，这样剩下的部分再用多少天可以完成？

（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）？

80＝4800（劳动日）。

（2）60人工作20天后，还剩下多少劳动日？

　　4800-60×

20=3600（劳动日）。

　　（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？

　　3600÷

（60＋30）=40（天）。

80-60×

20）÷

（60＋30）＝40（天）。

再用40天可以完成。

三、植树问题总结

植树问题

　　基本类型：

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树

　　在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树

　　封闭曲线上植树

　　基本公式：

　　棵数=段数＋1

　　棵距×

段数=总长

　　棵数=段数－1

　　棵数=段数

　　确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系

1.红领巾公园一条长200米的甬道两端各有一株桃树,现在两棵桃树之间等距离栽种了39株月季花,每两株月季花相隔米.

此题与题4类型相同,所求不同.已知全长200米,棵数39株,求间隔长.列式是:

200÷

（39+1）=200÷

40=5（米）

答:

每两棵月季花相隔5米.

2.学校召开运动会前,在100米直跑道外侧每隔10米插一面彩旗,在跑道的一端原有一面彩旗还需备面彩旗?

此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的一端要植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:

棵数=全长÷

间隔长

全长=间隔长×

棵数

间隔长=全长÷

只要知道其中两个,就可以求出第三个量.100米是全长,10米是间隔长,求棵树.列式是:

100÷

10=10（面）

还需准备10面彩旗.

3.在一条长50米的跑道两旁,从头到尾每隔5米插一面彩旗,一共插

面彩旗?

此题也属于植树问题中植树线路不封闭的,并要求植树线路的两端都要植树.与题1类似,但又要求在线路的两旁,而不再是一侧.

解法一:

50÷

5+1=10+1=11（面）…先求出一侧的,再求两旁.11×

2=22（面）

一共要插22面彩旗.

解法二:

把线路两旁转化成一侧.50×

2=100（米）,100÷

5+1=20+1=21（面）.在转化成一侧时,有两棵重叠了,所以还需加1.21+1=22（面）

4.街心公园一条直甬路的一侧有一端原栽种着一株海棠树,现每隔12米栽一棵海棠树,共用树苗25棵,这条甬路长米?

此题与题7类型相同,所求不同.已知间隔长12米,棵数是25棵,求全长.

列式是:

12×

25=300（米）

这条甬路长300米.

5.街心公园一条甬道长200米,在甬道的两旁从头到尾等距离栽种美人蕉,共栽种美人蕉82棵,每两棵美人蕉相距米.

此题与题8类型相同,所求不同.

解法一:

82棵是甬道两旁的,先求出一旁栽的棵数.82÷

2=41（棵）,再求间隔长.200÷

（41-1）=200÷

答:

每两棵美人蕉相距5米.

解法二:

可以把两旁转成一侧.200×

2=400（米）,转化成一侧后两棵美人蕉重叠,所以共植82-1=81（棵）,再求间隔长,400÷

（81-1）=400÷

80=5（米）

6.有一条长1250米的公路,在公路的一侧从头到尾每隔25米栽一棵杨树,园林部门需运来棵杨树苗?

此题是植树问题中植树线路不是封闭的一种,并要求植树线路的两端都要植树.那么全长、棵数、间隔三量之间的关系是:

间隔长+1

（棵数-1）

只要知道其中两个,就可求出第三个量.1250是全长,25是间隔长求棵数,列式是:

1250÷

25+1=50+1=51（棵）.

需运来51棵树苗.

7.在一条绿荫大道的一侧从头到尾每隔15米坚一根电线杆,共用电线杆86根,这条绿荫大道全长米.

此题与题1类型相同,所求不同.15是间隔长,86是棵数,求全长.列式是:

（86-1）=15×

85=1275（米）

这条绿荫大道全长1275米.

8.红领巾公园内一条林荫大道全长800米,在它的一侧从头到尾等距离地放着41个垃圾桶,每两个垃圾桶之间相距米.

已知全长800米,棵数是41个,求间隔长.

800÷

（41-1）=800÷

40=20（米）

每两个垃圾桶相距20米.

9.在一条长2500米的公路一侧架设电线杆,每隔50米架设一根,若公路两端都不架设,共需电线杆根.

此题是植树问题中植树线路不封闭的一种,并要求植树线路的两端都不植树.那么全长、棵数、间隔长三量之间的关系是:

间隔长-1

（棵数+1）

只要知道其中两个,就可以求出第三个量.2500米是全长,50米是间隔长,求棵数.列式是:

2500÷

50-1=50-1=49（根）

共需电线杆是49根.

10.在一条公路上每隔16米架设一根电线杆,不算路的两端共用电线杆54根,这条公路全长米.

此题与题4类型相同,所求不同.已知间隔长16米,又知棵数54根,求全长.列式是:

16×

（54+1）=16×

55=880（米）

这条公路全长880米.

11.一个圆形养鱼池全长200米,现在水池周围种上杨树25棵,隔几米种一棵才能都种上?

此题类型与题11相同,所求不同.已知全长200米,棵数25棵,求间隔长.列式是:

25=8（米）

隔8米种一棵才能都种上.

12.明明要爷爷出一道趣味题,爷爷给他念了一个顺口溜:

湖边春色分外娇,一株杏树一株桃,平湖周围三千米,六米一株都栽到,漫步湖畔美景色,可知桃杏各多少?

由顺口溜可知,植树线路是封闭的,所以棵数与间隔数相等.共栽桃树杏树3000÷

6=500（棵）.由于“一株杏树一株桃”,所以桃、杏的棵数相等,都是500÷

2=250（棵）.

桃树、杏树各250棵.

13.一个圆形池塘,它的周长是300米,每隔5米栽种一棵柳树,需要树苗多少株?

此题是植树问题中植树线路是封闭的一种.在圆、正方形、长方形、闭全曲线等上面植树,因为首尾相接,两端重合在一起.所以全长、间隔长、棵数三量之间的关系是:

棵数=全长÷

全长=间隔长×

间隔长=全长÷

只要知道其中两个,就能求出第三个量.已知全长300米,间隔长5米,求棵数.列式是:

300÷

5=60（株）

需要树苗60株.

14.一个圆形水池周围每隔2米栽一棵杨树,共栽了40棵,水池的周长是多少米?

此题与题11类型相同,所求不同.已知间隔长2米,又知棵数40棵,求全长.列式是:

2×

40=80（米）

水池的周长是80米.

四、鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题

　　基本概念：

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；

　　基本思路：

　　①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：

　　②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；

　　③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；

　　④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。

　　①把所有鸡假设成兔子：

鸡数＝（兔脚数×

总头数－总脚数）÷

（兔脚数－鸡脚数）

　　②把所有兔子假设成鸡：

兔数＝（总脚数一鸡脚数×

总头数）÷

（兔脚数一鸡脚数）

找出总量的差与单位量的差。

例1小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

小梅家的鸡与兔各有多少只？

假设16只都是鸡，那么就应该有2×

16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

有兔（44-2×

16）÷

（4-2）=6（只），

　　有鸡16-6＝10（只）。

有6只兔，10只鸡。

　　当然，我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×

16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

我们以鸡去换兔，每换一只，头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

　　有鸡（4×

16-44）÷

（4-2）=10（只），

　　有兔16——10＝6（只）。

　　由例1看出，解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡，然后以兔换鸡；

也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔。

因此这类问题也叫置换问题。

1、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。

大、小和尚各有多少人？

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

　　假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷

2＝80，故小和尚有80人，大和尚有

　　100－80＝20（人）。

　　同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。

在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。

2、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

两种文化用品各买了多少套？

我们设想有一只“怪鸡”有1个头11只脚，一种“怪兔”有1个头19只脚，它们共有16个头，280只脚。

这样，就将买文化用品问题转换成鸡兔同笼问题了。

　　假设买了16套彩色文化用品，则共需19×

16＝304（元），比实际多304——280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19——11＝8（元），所以

　　买普通文化用品24÷

8=3（套），

　　买彩色文化用品16－3＝13（套）。

例2鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

鸡、兔各多少只？

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200——20=180（只）。

　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷

6＝30，因此有兔子30只，鸡100——30＝70（只）。

有兔（2×

100——20）÷

（2＋4）＝30（只），

　　有鸡100——30=70（只）。

有鸡70只，兔30只。

1、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。

大、小瓶各有多少个？

本题与例4非常类似，仿照例4的解法即可。

小瓶有（4×

50-20）÷

（4＋2）＝30（个），

　　大瓶有50-30＝20（个）。

有大瓶20个，小瓶30个。

2、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

　　利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×

36=144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷

9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

4×

36÷

（45-36）×

45＝720（吨）。

这批钢材有720吨。

例3乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。

搬运过程中共打破了几只花瓶？

分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费0.24×

500=120（元）。

实际上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失0.24＋1.26＝1.5（元）。

因此共打破花瓶4.5÷

1.5＝3（只）。

（0.24×

500－115.5）÷

（0.24＋1.26）＝3（只）。

共打破3只花瓶。

1、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下？

利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了

　　12×

（2＋3）＝60（下）。

　　可求出小乐每分钟跳

　　（780——60）÷

（2＋3＋3）＝90（下），

　　小乐一共跳了90×

3=270（下），因此小喜比小乐共多跳

　　780——270×

2＝240（下）。

五、盈亏问题

盈亏问题

一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：

按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于

　　分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量．

先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．

　　基本题型：

　　①一次有余数，另一次不足；

总份数＝（余数＋不足数）÷

两次每份数的差

　　②当两次都有余数；

总份数＝（较大余数一较小余数）÷

　　③当两次都不足；

总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷

　　基本特点：

对象总量和总的组数是不变的。

确定对象总量和总的组数。

（1）幼儿园老师给每个小朋友分饼干，每个小朋友5块饼干，就多22快；

每个小朋友分7 

块饼干，就少18块。

有几个小朋友和多少块饼干？

本类题是两次分配方案中一盈一亏的盈亏问题,解题的基本方法是:

份数=（盈+亏）÷

两次分配差；

由题意可知:

小朋友的人数和饼干的块数是不变的,按第一种方案,分配多22块,而按第二种方案分配就少18块,两种子选手不同的方案的结果相差22+18=40（块）,为什么会多分出40块呢?

是因为两种方案,每人相差7-5=2（块）,每人相差2块,多少人相差40块呢?

40÷

2=20（人）就是小朋友的人数.再根据关系式

（2）可以求出饼干的总数量. 

解:

（ 

22+18） 

÷

（7-5）=20（人） 

20×

5+22=122（块）或20×

7-18=122（块）

（2）四

（1）班同学植树，每人植12棵，刚好植完，每人植14棵差8棵。

有多少个同学？

多少棵树苗？

（14-12）=4（人）12×

4=48（棵）

（3）雷锋小组为学校搬砖。

如果每人搬18块，还剩2块；

如果每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。

问共有多少块砖？

（20+2）÷

（20-18）=11（11-1）*20=200

（二）两次都有余（盈），可用公式：

（大盈-小盈）÷

（两次分配数的差）=份数。

（4）四

（1）班将一批练习本奖给三好学生。

如果每人奖5本，则缺9本，如果每人奖3本， 

则缺1本。

这个班有三好学生多少人？

练习本有多少本？

本类题是两次分配分配中都亏的盈亏问题,解题的基本方法是:

份数=（大亏-小亏）÷

由题意可知,三好学生人数和练习本数是不变的.比较两种分配方案,结果相差 

9-1=8（本）,这是因为两次分配方案每人得到的练习本相差5-3=2（本）.所以三好学生人数为:

2=4（人）,练习本有:

5×

4-9=11（本）解:

（9-1） 

（5-3）= 

2=4（人） 

4-9=11（本）或3×

4-9=1=11（本）

（三）两次都不够（亏），可用公式：

（大亏-小亏）÷

（两次每人分配数的差）=人数。

（5）某班为男生分配宿舍，如果每间住6人，则多8人；

如果每间住8人，恰好合适。

有几间宿舍，男生有几人？

本类题是两次分配方案中一种盈,一种正好分完的盈亏问题,解题的基本方法是份数=盈÷

宿舍的间数和男生人数不变.按第一种分配方案分配多出8人,而按第二种分配方案的结果相差8人,每间房增加的人数为8-6=2（人）.因此,可以先求出房间数,再求出男生人数. 

（8-6）=8÷

4=2（人） 

6×

4+8=32（人）或8×

4=32（人）

（6）兄弟两人每月收入之比为4：

3，支出钱数之比为18：

13，他们每月都结余

元，求兄弟两人月收入分别为多少？

设兄弟两人支出钱数分别为

兄弟两人月收入分别为3600元、2700元。

（7）某工厂生产一种产品，只要成本下降

，利润率就会提高8个百分点，求原利润率。

前后售价没变，设一开始利润率为x，则之后利润率变成,原成本100元，现成本93.6元。

原利润率为百分之十七。

六、牛吃草问题

牛吃草问题

假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；

再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

原草量和新草生长速度是不变的；

确定两个不变的量。

　　生长量=（较长时间×

长时间牛头数-较短时间×

短时间牛头数）÷

（长时间-短时间）；

　　总草量=较长时间×

长时间牛头数-较长时间×

生长量

1、牧场上长满牧草，每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。

可供25头牛吃几天？

草速：

（10×

20－15×

10）÷

（20