新人教版数学七年级下《512垂线》课时练习含答案解析Word文档下载推荐.docx
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同时，AC⊥BC，所以∠ACB也是直角．为此，图形中一共有3个直角．
掌握垂线的概念，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
3.如图所示，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为（）
A．120°
B．130°
C．135°
D．140°
垂线角平分线
两条直线互相垂直，其所形成的夹角都是直角．根据题意，EO⊥CD，则∠EOD和∠EOC都是直角；
又因为AB平分∠EOD，所以∠AOD为45°
．∠AOD与∠COB是对顶角，所以∠COB也是45°
．因为∠COB与∠BOD互补，所以∠BOD＝180°
－45°
＝135°
.
掌握垂线的概念，以及角平分线和对顶角的性质，就能轻松解答本题．本题考查垂线．
4.点P为直线
外一点，点A、B、C为直线
上三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线
的距离为（）
A．4cmB．5cmC．小于2cmD．不大于2cm
D
点到直线的距离垂线段最短
点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段．在题干中，已知的最短距离为2cm，则选项A和选项B都是不正确的．又因为题干中没有明确告诉PC是否垂直于直线
，当两线垂直时，则点P到直线
的距离为2cm；
若两直线不垂直，则点P到直线
的距离为小于2cm．所以，只能选D．
点到直线的最短距离为过点作出的与已知直线的垂线段，是解答本题的关键．本题考查点垂线段最短．
5.如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；
②∠AOB＋∠COD＝90°
；
③∠BOC＋∠AOD＝180°
④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°
，即∠AOB＋∠BOC＝90°
．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°
，即∠COD＋∠BOC＝90°
．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°
＋90°
＝180°
．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
6．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°
，则∠2的度数是（）．
A．26°
B．64°
C．54°
D．以上答案都不对
垂线对顶角
由题意可知，AB⊥CD于点O，所以∠BOC＝∠AOD＝90°
，同时，∠1与∠DOF是对顶角，∠1＝26°
，所以∠DOF＝26°
．∠AOD＝∠AOF＋∠DOF，所以∠AOF＝∠AOD－∠DOF＝90°
－26°
＝64°
．所以选B．
7．在下列语句中，正确的是（）．
A．在平面上，一条直线只有一条垂线;
B．过直线上一点的直线只有一条;
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条;
D．垂线段就是点到直线的距离
概念理解型题．垂直于一条直线的垂线有无数条，所以选项A错误．两点之间才只有一条直线，过一点的直线有无数条，所以选项B错误．选项C是最容易出现混淆的地方．在概念中，同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条；
但是，在该选项中，没有注明同一平面，所以选项C错．点到直线的距离就是垂线段，所以选项D正确．
概念理解型题，在解答时要注意对概念的正确理解，尤其是像选项C这种属于特别容易混淆的题目．本题考查垂线．
8．如图所示，∠BAC＝90°
，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）．
①AB⊥AC;
②AD与AC互相垂直;
③点C到AB的垂线段是线段AB;
④点D到BC的距离是线段AD的长度;
⑤线段AB的长度是点B到AC的距离;
⑥线段AB是点B到AC的距离;
⑦AD>
BD.
A．2个B．4个C．7个D．0个
垂线点到直线的距离
根据题意，∠BAC＝90，所以AB⊥AC，①正确．AD⊥BC于D，所以AD与AC不垂直，②不正确．点到直线的距离为垂线段，所以点C到AB的垂线段是线段AB，③正确．点D到BC的距离应为过D点垂直于AC的垂线段，AD与AC不垂直，所以④错误．因为AB⊥AC，点B到AC的距离为AB，所以⑤⑥正确．AD与BD的具体长度无法推断，所以不能确定二者的大小关系，⑦错误．
概念理解型题，掌握垂直和点到直线的具体的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
9．如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°
，则∠CON的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
垂线对顶角邻补角
由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°
，得出∠MOC=35°
，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案．
解：
∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°
，
∴∠MOC=35°
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°
∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°
﹣35°
=55°
．
故选：
C．
本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系．
10．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A和B两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则C点的个数为（）．
A．3个B．4个C．5个D．6个
已知每个小方格的边长为1，所以每个小方格的面积为1个平方单位．要使点C也在小方格的顶点上，且以A，B，C为顶点的三角形的面积为1个平方单位，需要从两个方面来思考：
一是以A为三角形的顶点，则A到BC是距离为1，BC的距离为2时才能使面积为1个平方单位，于是，这样的点有2个．同理，若以B为三角形的顶点，这样的点也同样有2个．所以，选B．
从点到直线的距离，以及三角形的面积计算方法入手，就能轻松解答．本题考查垂线．
11．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（ ）
A．B．C．D．
A
垂线；
平行线
根据题意画出图形即可．
此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
12.下列语句正确的是（ ）
A．两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线互相垂直
B．两条直线相交成四个角，如果有两对角相等，那么这两条直线互相垂直
C．两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直
D．两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线互相垂直
概念理解型题．两条直线相交，其中有一个夹角是直角，说明这两条直线互相垂直．同时，两条直线相交，形成四个角，分为两对对顶角，对顶角是相等的．但是，两条直线垂直必须相交，两条直线相交未必垂直，所以，可以推断出选项A、选项B都错误．在选项D中，两条直线任意相交，都能满足有两个角互补，所以D错误．在选项C中，有三个角相等，可以推导出这四个角都相等，并且都是直角，所以选项C正确．
概念理解型题，掌握垂直的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
13.过线段外一点画这条线段的垂线，垂足一定在（ ）
A．线段上B．线段的端点上
C．线段的延长线上D．以上情况都有可能
由于线段有两个端点，所线段的长度是固定的．由于点的位置不确定，所以过线段外一点画这条线段的垂线，垂足有可能在线段上、线段的端点上和线段的延长线上．这个知识点可以从三角形的高的画法上得到验证．所以，选D．
概念理解型题，掌握垂直的作法，是解答本题的关键．本题考查垂线．
14.如图，直线AD⊥BD，垂足为D，则点B到线段AC的距离是（）
A.线段AC的长B.线段AD的长
C.线段BC的长D.线段BD的长
点到直线的距离
点到直线的距离为垂线段，因为直线AD⊥BD，垂足为D，所以点B到线段AC的距离是线段BD的长，所以选D．
概念理解型题，掌握到直线的距离为垂线段，是解答本题的关键．本题考查点到直线的距离．
15.如图，OM⊥NP，ON⊥NP，所以OM和ON重合，理由是（）
A.两点确定一条直线
B.经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
C.过一点只能作一条垂线
D.垂线段最短
概念理解型题．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为OM⊥NP，ON⊥NP，两条经过O点的直线都垂直于NP，所以选B．
概念理解型题，掌握经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是解答本题的关键．本题考查垂线．
二、填空题（共5小题）
1.当两条直线相交所成的四个角中_________，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫_________，它们的交点叫_________．
有一个直角另一条直线的垂线垂足
概念理解型题．两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为直角，说明这两条直线互相垂直．相互垂直的两条直线，其中一条直线叫另一条直线的垂线．两条直线互相垂直，它们的交点叫垂足．
概念理解型题，掌握垂线的概念，是解答本题的关键．本题考查垂线．
2.过直线上或直线外一点，_________与已知直线垂直．
有且只有一条直线
概念理解型题．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．
3.如图所示，若AB⊥CD于O，则∠AOD＝_______；
若∠BOD＝90°
，则AB____CD．
90°
⊥
概念理解型题．两条直线互相垂直，所形成的夹角为直角，也就是90°
．如果两条直线相交，所形成的夹角中，有一个角为90°
，则这两条直线互相垂直．
4.如图所示，已知AO⊥BC于O，那么∠1与∠2________．
互余
余角
．因为AO⊥BC于O，所以∠AOC＝90°
．因为∠1＋∠2＝∠AOC．所以，∠1与∠2互余．
5.如果CD⊥AB于D，自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合，这是因为__________________________________．
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
概念理解型题．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．因为CD⊥AB于D，所以自CD上任一点向AB作垂线，那么所画垂线均与CD重合．
三、解答题（共5小题）
1.如图，已知A，O，E三点在一条直线上，OB平分∠AOC，∠AOB＋∠DOE＝90°
，试问：
∠COD与∠DOE之间有怎样的关系?
说明理由.
相等理由：
∠AOB＋∠DOE＝90°
，且A、O、E三点共线，所以∠BOC＋∠COD＝90°
．因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝∠BOC，通过等量代换，可以得知∠COD与∠DOE相等．
由题意可知，∠AOB＋∠DOE＝90°
掌握相交线相关知识，是解答本题的关键．本题考查垂线．
2.如图，∠1＝30°
，AB⊥CD，垂足为O，EF经过点O．求∠2、∠3的度数．
∠2＝60°
，∠3＝30°
因为∠1与∠3是对顶角，所以∠1＝∠3，因为∠1＝30°
，所以∠3＝30°
．因为AB⊥CD，所以∠BOD＝90°
，因为∠2＋∠3＝∠BOD，所以∠2＝90°
－∠3＝60°
3.如图，直线AB与CD相交于点O，OP是∠BOC的平分线，OE⊥AB，OF⊥CD，
（1）图中除直角外，还有相等的角吗？
请写出两对：
①____________；
②____________．
（2）如果∠AOD＝40°
，则①∠BOC＝_______；
②OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝______度；
③求∠BOF的度数．
（1）∠AOD＝∠BOC∠BOP＝∠COP
（2）①40°
②20°
③50°
相交线
由题意可知，∠AOD与∠BOC是对顶角，所以二者相等．因为OP是∠BOC的角平分线，所以∠BOP＝∠COP．由第一问得到的答案，）如果∠AOD＝40°
，所以∠BOC＝40°
．OP是∠BOC的平分线，所以∠COP＝20°
．因为OF⊥CD，所以∠COF＝90°
，所以∠BOF＝90°
－40°
＝50°
4.如图，已知∠AOB，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.
（1）若∠AOB是直角，∠BOC＝60°
，求∠EOF的度数；
（2）猜想∠EOF与∠AOB的数量关系；
（3）若∠AOB＋∠EOF＝156°
，则∠EOF是多少度？
（1）∠EOF＝45°
（2）∠EOF＝
∠AOB
（3）∠EOF＝52°
（1）∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∴∠AOC＝90°
＋60°
＝150°
.∵OE平分∠AOC，∴∠EOC＝150°
÷
2＝75°
.∵OF平分∠BOC，∴∠COF＝60°
2＝30°
.∵∠EOC＝∠EOF＋∠COF,∴∠EOF＝75°
－30°
＝45°
（2）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠COE＝
∠AOC，∠COF＝
∠BOC∵∠AOB＝∠AOC－∠BOC∴∠EOF＝∠COE－∠COF＝
∠AOC－
∠BOC＝
（∠AOC－∠BOC）＝
（3）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，∴∠COE＝
∠BOC，
∴∠EOF＝
∠AOB．又∵∠AOB＋∠EOF＝156°
∴∠EOF＝52°
此题难度较大，要通过角度转换．本题考查相交线所形成的角度．
5.直线AB、CD相交于点O.
（1）OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线.画出这个图形.
（2）射线OE、OF在同一条直线上吗?
（直接写出结论）
（3）画∠AOD的平分线OG.OE与OG有什么位置关系?
并说明理由.
（1）如图中红线所示
（2）射线OE、OF在同一条直线上
（3）OE⊥OG理由：
∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°
，∴∠DOF＋∠DOG＝180°
2＝90°
，∴OE⊥OG．
角平分线
（1）直接画图即可．
（2）因为∠AOC与∠BOD是对顶角，所以两角的角平分线是在同一直线上．
（3）∵EF平分∠AOC和∠BOD，并且∠AOC＝∠BOD，∴∠AOE＝∠DOF．∵OG平分∠AOD，∴∠AOG＝∠DOG．∵∠AOE＋∠DOF＋∠AOG＋∠DOG＝180°
此题掌握了角平分的性质是解题的关键．本题考查垂线和角平分线．
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