绘制根轨迹的基本法则.docx
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绘制根轨迹的基本法则
4.2绘制根轨迹的基本法则
本节讨论根轨迹增益K（或开环增益K）变化时绘制根轨迹的法则。
熟练地掌握这些
法则，可以帮助我们方便快速地绘制系统的根轨迹，这对于分析和设计系统是非常有益的。
法则1根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数m少于开环极点个数n,则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处。
根轨迹的起点、终点分别是指根轨迹增益
K”=0和》时的根轨迹点。
将幅值条件
式（4-9）改写为
n
Hl（s-Pj）|
*j4
K=
nl（s-z）l
iA
nP-
s「【|1-巴I
jAs
mz
□门-T
i=1s
（4-11）
可见当s=pj时，K-0；当s=Zj时，K
—-'；当|s|_■-■且n_m时，K-■■
法则2根轨迹的分支数，对称性和连续性：
根轨迹的分支数与开环零点数
m、开环
极点数n中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。
根轨迹是开环系统某一参数从零变到无穷时，闭环极点在
s平面上的变化轨迹。
因此,
根轨迹的分支数必与闭环特征方程根的数目一致，即根轨迹分支数等于系统的阶数。
实际系
统都存在惯性，反映在传递函数上必有n_m。
所以一般讲，根轨迹分支数就等于开环极点数。
实际系统的特征方程都是实系数方程，依代数定理特征根必为实数或共轭复数。
因此根轨迹必然对称于实轴。
由对称性，只须画出s平面上半部和实轴上的根轨迹，下半部的根轨迹即可对称画出。
特征方程中的某些系数是根轨迹增益K"的函数，K"从零连续变到无穷时，特征方程
的系数是连续变化的，因而特征根的变化也必然是连续的，故根轨迹具有连续性。
法则3实轴上的根轨迹：
实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为
奇数，则该区域必是根轨迹。
设系统开环零、极点分布如图4-5所示。
图中，so是实轴上的点，<（>1,2,3）是各开
环零点到s°点向量的相角，巧（j=1,2,3,4）是各开环极点到s0点向量的相角。
由图4-5可
见，复数共轭极点到实轴上任意一点（包括S）点）的向量之相角和为2二。
对复数共轭零点，
情况同样如此。
因此，在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑开环复数零、极点的影响。
图
4-5中，So点左边的开环实数零、极点到So点的向量之相角均为零，而S点右边开环实数
零、极点到So点的向量之相角均为二，故只有落在So右方实轴上的开环实数零、极点，才有可能对s0的相角条件造成影响，且这些开环零、极点提供的相角均为二。
如果令二孑［代表S）点之右所有开环实数零点到S）点的向量相角之和，7r代表s0点之右所有开环实数极点到So点的向量相角之和，那么，So点位于根轨迹上的充分必要条件是下列相角条件成
立:
由于二与-二表示的方向相同，于是等效有:
mono
式中，mo、no分别表示在So右侧实轴上的开环零点和极点个数。
式中（2k-1）为奇数。
于是本法则得证。
图H实轴上的根轨迹
不难判断，图4-5实轴上，区段〔Pi,z」，〔P4,Z2以及-：
:
Z31均为实轴上的根轨迹。
法则4根轨迹的渐近线：
当系统开环极点个数n大于开环零点个数m时，有n-m
条根轨迹分支沿着与实轴夹角为\、交点为二a的一组渐近线趋向于无穷远处，且有以-1=1ej（2k1）二，k=0,_1「2,…代入上式，有
（4-8）可写成
n
an」=7（-Pj）分别为系统开环零点之和及开环极点之和。
jm
当K"tb时，由于n•m，应有s宀8。
式（4-13）可近似表示为
n-m
S
将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有
an4—bm_1
（n—m）s」
一bm4
1j2k申t*一jH
s-•Kn』enq
这就是当s时根轨迹的渐近线方程。
它表明渐近线与实轴的交点坐标为
nm
PjZi
j二y
-a:
n-m
渐近线与实轴夹角为
本法则得证。
例4-2单位反馈系统开环传递函数为
试根据已知的基本法则，绘制根轨迹的渐近线。
所示。
根据法则，系统有4条根轨迹分支，且有
n-m=3条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴
的交点及夹角为
4_1
（2k1）二■:
=±—兀
4-13'
三条渐近线如图4-6所示。
法则5根轨迹的分离点：
两条或两条以上根轨迹分支在S平面上相遇又分离的点,
称为根轨迹的分离点，分离点的坐标d是方程
（4-14）
的解。
证明由根轨迹方程（4-8），有
所以闭环特征方程为
nm
D（s）八（s-Pj）K「【（s-Zj）=0
j4i二
将式（4-16）、式（4-15）等号两端对应相除、得
从上式解出的s中，经检验可得分离点d。
本法则得证。
例4-3控制系统开环传递函数为
试概略绘制系统根轨迹。
解将系统开环零、极点标于s平面，如图4-7所示。
根据法则，系统有3条根轨迹分支，且有n-m=2条根轨迹趋于无穷远处。
根轨迹绘
制如下:
经整理得
（d4）（d24d2）=0
故di--4，d2--3.414，
d~-0.586。
d^-0.586，显然分离点位于实轴上〔-1,0丨间，故取
根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹如图4-7所示。
"例4孚的计算程序
[12];
den^conv（[10]fcon.v（[11],[14]））;
docusfimrrLden）
法则6根轨迹与虚轴的交点：
若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚
根。
故可在闭环特征方程中令S=j•,然后分别令方程的实部和虚部均为零，从中求得交
点的坐标值及其相应的K”值。
此外，根轨迹与虚轴相交表明系统在相应K”值下处于临界
K”值。
此处的根轨迹增
稳定状态，故亦可用劳斯稳定判据去求出交点的坐标值及其相应的益称为临界根轨迹增益。
例4-4某单位反馈系统开环传递函数为
试概略绘制系统根轨迹。
解根轨迹绘制如下:
⑴实轴上的根轨迹：
〔-1,0】
⑷与虚轴交点:
方法1系统闭环特征方程为
D（s）=s36s25sK=0
令s=j「，贝U
D（j）=（j）36（j）25（j）K二-j3-62j5'K=0
令实部、虚部分别为零，有
L*9
K_&叮2=0
L3c
旳一时=0
-j、5，对应的根轨迹
s2行的辅助方程求得:
解得
co=0灼=+<5
K=0'[Q=30
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s
增益K*=30。
»例4・4的计算程序程序TLum=（1];
den=conv（[1,0],conv（[11],[151））;riocusfnuniden}
方法2
用劳斯稳定判据求根轨迹与虚轴的交点。
列劳斯表为
3s
1
5
2s
6
*
k
1s
（30-K*）6
0
0s
*
k
1
当K=30时，s行元素全为零，系统存在共轭虚根。
共轭虚根可由
F（s）=6s2+K丄0=0
得s二f,5为根轨迹与虚轴的交点。
根据上述讨论，可
绘制出系统根轨迹如图4-8所示。
法则7根轨迹的起始角和终止角：
根轨迹离开开
环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，以dp
Pi
表示；根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹
角，称为终止角，以表示。
起始角、终止角可直接利V~灯"
i
用相角条件求出。
例4-5设系统开环传递函数为
“、K*（s1.5）（s2j）（s2-j）
G（s）=s（s+2.5）（s+0.5+j1.5）（s+0.5—j1.5、
试概略绘制系统根轨迹。
解将开环零、极点标于s平面上，绘制根轨迹步骤如下：
⑴实轴上的根轨迹：
1-1.5,01,一二,一2.5丨
⑵起始角和终止角：
先求起始角。
设s是由p2出发的根轨迹分支对应K*=时的一点，s到p2的距离无限小，则矢量p2s的相角即为起始角。
作各开环零、极点到s的向
量。
由于除p2之外，其余开环零、极点指向s的矢量与指向P2的矢量等价，所以它们指向
P2的矢量等价于指向s的矢量。
根据开环零、极点坐标可以算出各矢量的相角。
由相角条
件（4-10）得
mn
迟出—瓦日j=（鸣+申2十®）—（日P2+日1日堺）4（2k+1）兀
i=1j=1
解得起始角片2=79（见图4-9）。
（4）
同理，作各开环零、极点到复数零点（-2•j）的向量，可算出复数零点（-2•j）
处的终止角^2=145（见图4-9）。
作出系统的根轨迹如图4-10所示。
»例4-5Marlab程序zero=[-L5-2^i-2—i];
pole=[0-2.5-O.5+j*L5-0.5-j*1.5];g=zpk（zero:
pole1）:
rlocusfg）:
grid;
图4-9根轨迹图
法则8根之和：
当系统开环传递函数G（s）H（s）的分子、分母阶次差（n-m）大于
等于2时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。
nn
、■j八Pin_m亠2
式中，■仆’2,…’n为系统的闭环极点（特征根），Pi,P2,Pn为系统的开环极点。
证明设系统开环传递函数为
G（s）H（s）二山必型Q也二
（S-pJ（S-P2）…（S-Pn）
K*smbzK*sm‘K*b0
n丄n4丄nJ2
sanJsa2sa0
n
式中an』=為（-Pi）（4-18）
i=1
设n-m=2，即m=n-2，系统闭环特征式为
D（s）=（snan4Sn°an2Sn_玄）（K*smK*bm」sm」K*b°）=
sn-an^sn4（an=K*）sn‘（a。
K*b。
）=
（S-1）（S-，2）（S-'n）
另外，根据闭环系统n个闭环特征根\、-2、…、■n可得系统闭环特征式为
nn
D（S）=Snv（-’小宀17川（-’J（4-19）
idid
可见，当n一m_2时，特征方程第二项系数与K”无关。
比较系数并考虑式（4-18）有
（4-20）
nn
'、（—热）='（-Pi）=anjj
i4i4
0。
式（4-20）表明，当n一m一2时，随着K“的增大，若一部分极点总体向右移动，则另部分极点必然总体上向左移动，且左、右移动的距离增量之和为
利用根之和法则可以确定闭环极点的位置，判定分离点所在范围。
例4-6某单位反馈系统开环传递函数为
G（s）=K
s（s+1）（s+2）
试概略绘制系统根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的的三个闭环极点。
解
如下：
la
4—
3
（2k1）-：
D（j）=（j）3（j）22（j■）K=
32*
令实部、虚部分别为零，有
-j■-3-j2‘K=0
f*2
K-3^=0
2⑷_们3=o
解得
显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为打,2=±jJ2，对应的根轨
**
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