试验一插值法与数据拟合Word下载.docx
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1.2算法描述
1.2.1牛顿插值法基本思路
给定插值点序列（
构造牛顿插值多项式
。
输入要计算的函数点
并计算
的值，利用牛顿插值公式，当增加一个节点时，只需在后面多计算一项，而前面的计算仍有用；
另一方面
的各项系数恰好又是各阶差商，而各阶差商可用差商公式来计算。
1.2.2牛顿插值法计算步骤
1.输入
值及（
；
要计算的函数点
2.对给定的
由
计算
的值。
3.输出
1.3牛顿插值法题目｛｝
1.4本题目的Matlab源程序｛｝
1.5程序运行结果｛｝
1.6总结和评价｛｝
例题4所求4次牛顿插值多项式曲线模拟。
x=0.4:
0.05:
1.05;
y=0.41075+1.116.*（x-0.4）+0.28.*（x-0.4）.*（x-0.55）+0.19733.*（x-0.4）.*（x-0.55）.*（x-0.65）+0.03134.*（x-0.4）.*（x-0.55）.*（x-0.65）.*（x-0.8）;
plot（x,y,'
bo'
）
例题5
的4次牛顿插值模拟。
x=0.00:
0.1:
1.5;
y=1.0000+x.*（-0.00500）+x.*（x-1）./2.*（-0.00993）+0.00013./6.*（x）.*（x-1）.*（x-2）+0.00012./24.*x.*（x-1）.*（x-2）.*（x-3）;
y1=cos（x）;
r'
x,y1,'
b'
第二章计算实习题解答
1.Matlab程序
x=0.2:
0.08:
1.0;
y=0.98-0.3.*（x-.02）-（1.5./4）.*（x-0.2）.*（x-0.4）-（25./24）.*（x-0.2）.*（x-0.4）.*（x-0.6）+（25./24）.*（x-0.2）.*（x-0.4）.*（x-0.6）.*（x-0.8）;
得到的图形如图一所示。
图一第一题其牛顿插值所的的图形
问题与作业：
本程序缺点：
本程序只适合本题目，修改自变量及函数的取值，又得修改程序，能否请大家编写一个通用的牛顿插值Matlab程序，使得只需输入自变量及函数值，调用该程序即可得到结果？
例如：
编写一个基本牛顿插值函数（其变种有等距离牛顿插值函数）
functionyi=New_Int（x,y,xi）
%Newton基本插值公式，其中
%x---向量，全部的插值节点，按行输入
%y---向量，插值节点处的函数值，按行输入
%xi---标量，自变量x
%yi---xi处的函数估计值
n=length（x）;
m=length（y）;
ifn~=m
error（'
ThelengthsofXandYmustbeequal'
）;
return;
end
%计算均差表Y
Y=zeros（n）;
Y（:
1）=y'
;
%Y（:
1）表示矩阵中第一列的元素
fork=1:
n-1
fori=1:
n-k
ifabs（x（i+k）-x（i））<
eps
theDATAiserror!
'
end
Y（i,k+1）=（Y（i+1,k）-Y（i,k））/（x（i+k）-x（i））;
%计算Newton插值公式N（xi）
yi=0;
fori=1:
n
z=1;
fork=1:
i-1
z=z*（xi-x（k））;
yi=yi+Y（1,i）*z;
2.画龙格函数
的图形的matlab代码及图形
a=-1;
b=1;
n=100;
h=（b-a）/n;
>
x=a:
h:
b;
y=1./（1+25.*x.^2）;
plot（x,y,'
k'
图二龙格函数的图形
问题：
请用Lagrange多项式对龙格函数进行插值并比较函数图形。
3.平方根函数
及其8次多项式插值
对应的图形对比。
Matlab源程序：
functionL8
%平方根函数
的8次多项式插值
x=[01491625364964];
y=sqrt（x）;
m=length（x）;
z=zeros（1,m）;
m
z（i）=Lagrange（x,y,x（i））;
holdon
o'
xlabel（'
x'
ylabel（'
y'
plot（x,z,'
r-'
holdoff
functionyi=Lagrange（x,y,xi）
%Lagrange插值多项式，其中
%x---向量，全部的插值节点
%y---向量，插值节点处的函数值
p=zeros（1,n）;
t=ones（1,n）;
forj=1:
ifj~=k
ifabs（x（k）-x（j））<
t（j）=（xi-x（j））/（x（k）-x（j））;
p（k）=prod（t）;
yi=sum（y.*p）;
习题一参考程序
1.%调用Lagrange（）函数，具体参见上面给出的函数。
x=[0.20.40.60.81.0];
y=[0.980.920.810.640.38];
xx=0.2:
m=length（xx）;
z=zeros（1,m）;
z（i）=Lagrange（x,y,xx（i））;
xx,z,'
所得计算图形如下图所示。
习题一的图形对比
2.参考程序，其中调用了Lagrange（）函数
functionRunge（n）
%Runge现象
%n---等距离节点
a=-1;
b=1;
h=（b-a）/n;
x=[a:
b];
y=1./（1+25.*x.^2）;
xx=[a:
0.01:
yy=1./（1+25.*xx.^2）;
z（i）=Lagrange（x,y,xx（i））;
plot（xx,z,'
调用Runge（10）得到的图像如下
图：
Runge（10）的图像对比
Runge（12）的图像如下：
图Runge（12）的图像对比：
Runge（20）的图像如：
图Runge（20）的图像对比
3.
（1）参考程序
y=[012345678];
xx=[0:
0.5:
64];
yy=sqrt（xx）;
xx,yy,'
.'
所得图像对比如下
习题3
（1）所得到的图像对比
第三章数据拟合实验参考程序
1.先写后面可能用到的函数
functiony=phi_k（x,k）
%基函数的乘积
ifk==0
y=ones（size（x））;
else
y=x.^k;
functionS=squar_least（x,y,n,w）
%数据的最小二乘拟合，其中
%x,y---数据的（x,y）坐标
%n---数据拟合的次数，缺省时n=1
%w---权值，缺省时w=1
%S---数据拟合的系数
%需要另写的函数
%phi（x）---基函数，通常为多项式1,x,x^2,...
globali;
globalj;
ifnargin<
4w=1;
3n=1;
Phi2=zeros（n+1）;
fori=0:
forj=0:
n
Phi2（i+1,j+1）=sum（（w.*phi_k（x,i））.*phi_k（x,j））;
PhiF=zeros（n+1,1）;
PhiF（i+1）=sum（（w.*phi_k（x,i））.*y）;
S=Phi2\PhiF;
主程序
x=-1:
0.2:
1;
S=squar_least（x,y,3）
得到
S=
0.4841
0.0000
-0.5752
-0.0000
所以，最小二乘多项式为（要求的为三次多项式，但求到的实际上为二次多项式）
其最小二乘拟合曲线和对应的散点图如下：
（与插值所得的结果不同，为什么呢？
大家思考！
画图对应的Matlab代码。
xx=-1:
0.05:
m=length（xx）;
yy=zeros（1,m）;
yy（i）=0.4841-0.5752.*xx（i）.^2;
holdon
+'
plot（xx,yy,'
holdoff
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