三角函数定义的教案Word文档格式.docx

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,]，求函数f（x）=sinxx的最大值和最小值．22

分析仅仅判断根的个数，基本方法是利用函数的图像数形结合求解．解原方程实根的个数即为两个函数y=由于sinx≤1，所以只需考虑

（1）当

5

≤x≤32．32

（2）当1x≤32时，其范围的长度是周期的

155

77?

2=154个交点;

（3）x=1时两个函数也有一个交点．

综上所述原方程共有4+154+1=159个实根．

说明利用函数的图像来确定某些特殊的非常规方程的实根个数是一条十分重要的途径．在“数形结合”时，特别强调“以数定形”，如方程sinx=x的解只有一个（当x∈（0,时，sinxx）．

例５在平面直角坐标系xoy中，函数f（x）=asinax+cosax（a0）在一个最小正周期

）

长的区间上的图像与函

数g（x）=的图像所围成的封闭图形的面积是．（2004年全国高中数学联赛）分析利用正弦函数图像的对称性补形转化求解．解

f（x）=ax+?

）,?

=arctan

为aa

．由f（x）的图像与g（x）的图像围成的封闭形的对称性，可将该图形割补成长为

a例６若x∈?

-

．-）

tax6

（,-?

，则y=tanx3?

123?

+）xs的（最大）值

6

是．（2003年全国数学联赛）分析化弦后利用单调性求解．解

y=tan（x+

+cos（x+），由于函数的

6sin（2x+）3

每一部分在给定区间上都是增函数，所以当x=-

（

分析运用三角函数对称的特征求解，也可用偶函数和关于点对称的定义求解．

解法一由偶函数关于x轴对称，知当x=0时函数f（x）取最大值或最小值，所以

;

另一方面函数f（x）的图像关于点（

0）对称，此点4

是函数图像与x轴的一个交点，所以当x=

442

cos

3322

）在[0,]上是减函数;

22

23

解法二由f（x）是偶函数，得f（-x）=f（x）

．

0）对称，得f（-x）=-f（+x），令x=0得f（）=0，4444

],a∈r，且44

x3+sinx-2a=0

，则cos（x+2y）=．?

3

4y+sinycosy+a=0

分析构造函数用单调性求解，或利用函数的奇偶性和函数图像特征求解．解法一由已知得x3+sinx=2a=（-2y）3+sin（-2y），

现构造函数f（t）=t+sint，由此得f（x）=f（-2y），而函数f（t）在[-

]上是增函数，

所以有x=-2y,x+2y=0，即cos（x+2y）=1．解法二记

f（x）=x3+sinx-2a，g（2y）=（2y）3+sin（2y）+2a，于是

g（x）=x3+sinx+2a，又y=f（x）,y=g（x）分别是r上的增函数，所以它们的图像与x

轴只有一个交点，而g（x）=x+sinx+2a

=-[（-x）3+sin（-x）-2a]=-f（-x），

即f（-x）=-g（x），

所以函数y=f（x）与y=g（x）的图像关于原点对称，那么它们的交点也关于原点对称．记f（x）=0,g（x）=0的根分别是x,2y，则所以cos（x+2y）=1．

（x+2y）=0，2

４．函数y=cosx+sinx的最小正周期是．５．已知x∈r，则函数

sinx+cosx?

?

f（x）=max?

sinx,cosx,?

的最大值与最小值的和是．

2?

是．

例９．两个周期函数y1,y2的最小正周期分别为a,b，且b=na，其中n≥2,n∈n．如果函数y=y1+y2的最小正周期为t，那么下列5种情形：

①ta，②t=a，③t=b，④tb，⑤atb．可能出现的情形是．（填写序号）分析周期是三角函数的重要性质，构造三角函数回答．

，则其最小正周3

2x

所以可能出现的情形是①③⑤

例1０．函数f（x）=cosx+2sinxcosx-sinx+ax+b，当

x∈[0,

]时的最大值m与参数a,b有关，问a,b取什么值时m为最小?

证明你的结论2

（1983年全国数学联赛）

分析在m是最大值的前提下通过特殊值构造不等关系，并结合函数图像直观分析．

f（x）=|解法一（数形结合分析）

（1）若a=b=0，f（x）的最大值m为2．

（2）若a=0,b≠0，f（x）=|

2sin（2x+

）|则当x=

8,8,8

时，

）+b|，此时

m=max{|2+b|,|2-b|}2

b=0，f（x）=|（3）若a≠0

）+ax|，若a0

f（）=|2+a?

|2，此时m2；

若a0时，

88

（4）若a≠0,b≠0如图，直线y=ax+b必有一部分在第一或第四象限，与射线l1,

l2,l3

【篇二：

三角函数教案设计】

第四章三角函数

总第1教时

4.1-1角的概念的推广

（1）

教学目的：

推广叫的概念，引入正角、负角、零角；

象限角、坐标上的角的概念；

终边相同角的表示方法。

让学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，以及相应的表示方法。

从“射线绕其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化的观点审视事物；

通过与数（轴）的类比，理解“正角”“负角”“零角，让学生感受图形的对称美、运动美。

教学重点：

理解并掌握正角、负角、零角、象限角的定义；

掌握总边相同角的表示方法及判定。

教学难点：

把终边相同角用集合和符号语言正确的表示出来。

过程：

一、提出课题：

“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

回忆：

初中是任何定义角的？

（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

讲解：

“旋转”形成角（p4）

突出“旋转”注意：

“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴

“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：

角或可以简记成

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1（角有正负之分如：

（=210（（=（150（（=（660（

2（角可以任意大

3（还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：

30（390（（330（是第Ⅰ象限角300（（60（是第Ⅳ象限角

585（1180（是第Ⅲ象限角（2000（是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：

390（，（330（角，它们的终边都与30（角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0（到360（的角与个周角的和

390（=30（+360（

3．所有与（终边相同的角连同（在内可以构成一个集合

即：

任何一个与角（终边相同的角，都可以表示成角（与整数个周角的和

五、小结：

1（角的概念的推广,用“旋转”定义角角的范围的扩大

2（“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：

p7练习1、2、3、4

习题1.41

总第2课时

4.1-2角的概念的推广

（2）

进一步理解角的概念，能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；

能进行角的集合之间的交与并运算；

讨论等分角所在象限问题。

教学重点与难点：

角的集合之间的交与并运算；

判断等分角的象限。

复习、作业讲评.

新课：

例一、（p6例2）写出

于是，终边在y轴上的角的集合

s=s1∪s2

例三、用集合表示：

（1）第二象限的集合；

（2）终边落在y轴右侧的角的集合。

说明：

特殊位置（或给定区域内）的角的集合的表示过步骤:

（a）第一象限角.（b）第二象限角.

（c）小于180o的角.（d）不大于直角的角.

练习：

课本第7页练习5,习题4.1.5

（2）

作业：

习题4.1.3

（2）、（4）、（6）、（8）,4

总第3教时

4.2-1弧度制

（1）

理解1弧度的角及弧度的定义，掌握弧度制与角度制互化，并能熟练的进行角度与弧度的换算；

熟记一些的数角的弧度数。

并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。

通过弧度制的学习，使学生认识到角度与弧度都是度量角的制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；

在弧度制下角的加、减运算可以象十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的转化，化简了六十进制给角的加减、运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简洁美。

使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

1、弧度制的概念及其与角度的关系，2、角的集合与实数集一一对应关系。

一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

二、提出课题：

弧度制—另一种度量角的单位制，它的单位是rad读作弧度

定义：

长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

如图：

（aob=1rad，（aoc=2rad

周角=2（rad

正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0；

角（的弧度数的绝对值（为弧长，为半径）

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

三、角度制与弧度制的换算

抓住：

360（=2（rad∴180（=（rad

∴1（=

例一把化成弧度

解：

∴

例二把化成度

注意几点：

1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略如：

3表示3radsin（表示（rad角的正弦

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本p9表）

4．应确立如下的概念：

角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。

任意角的集合实数集r

四、练习（p11练习1、2）

例三用弧度制表示：

1（终边在轴上的角的集合2（终边在轴上的角的集合3（终边在坐标轴上的角的集合

1（终边在轴上的角的集合

2（终边在轴上的角的集合

3（终边在坐标轴上的角的集合

五、小结：

1．弧度制定义2．与弧度制的互化

课本p11练习3、4p12习题4.22、3

总第4教时

4.2-2弧度制

（2）

加深学生对弧度制的理解，理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活的在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。

通过弧度制与角度制的比较使学生认识到映入弧度制的优越性，激发在学生的学习兴趣和求知欲望，培养良好的学习品质。

教学重点:

弧度制下的弧长公式，扇形面积公式及其应用。

弧度制的简单应用。

1、

一、复习：

弧度制的定义，它与角度制互化的方法。

口答

二、由公式：

比相应的公式简单

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积

例一（课本p10例三）利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。

证：

如图：

圆心角为1rad的扇形面积为：

弧长为的扇形圆心角为

∴

比较这与扇形面积公式要简单

例二直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长⑴⑵

⑴：

⑵：

例三如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形

的中心角是1弧度，求该扇形的面积。

设扇形的半径为r，弧长为，则有

【篇三：

高中《三角函数》全部教案】

第一教时

教材：

角的概念的推广

目的：

要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象

限角”“终边相同的角”的含义。

一、提出课题：

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值

来定义的。

相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，

它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术

中都有广泛应用。

1．回忆：

（从一个点出发引出的两条射线构成的几

何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭

隘”

2．讲解：

“始边”往往合于x轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

角可以任意大

3?

还有零角一条射线，没有旋转

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在

坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

30?

390?

-330?

是第Ⅰ象限角300?

-60?

是第Ⅳ象限角

585?

1180?

是第Ⅲ象限角-2000?

是第Ⅱ象限角等

，-330?

角，它们的终边都与30?

角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0?

到360?

的角与k（k∈z）个周角的和

390?

=30?

+360?

（k=1）

4．例一（p5略）

1?

角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

“象限角”与“终边相同的角”

{}

第二教时

弧度制

要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的

集合与实数集r一一对应关系的概念。

一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。

弧度制—另一种度量角的单位制

它的单位是rad读作弧度

al=2a定义：

∠aob=1rad

∠aoc=2rad

1．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

3．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

例一把6730化成弧度

1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进

行；

2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省

3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本p9

表）

角的概念推广之后，无论用角度制还是

弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应

的关系。

1?

终边在x轴上的角的集合2?

终边在y轴

上的角的集合3?

终边在坐标轴上的角的集合

第三教时

弧度制（续）

目的：

加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的

问题。

口答《教学与测试》p101-102练习题1—5并注意紧扣，

巩固弧度制的概念，然后再讲p101例二

r?

比相应的公式l=简单r180

例一（课本p10例三）利用弧度制证明扇形面积公式s=

形弧长，r是圆的半径。

比较这与扇形面积公式s扇=要简单360

例二《教学与测试》p101例一直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对

例三如图，已知扇形aob的周长是6cm，该扇形

设扇形的半径为r，弧长为l，则有r+l=6?

r=2?

2?

l∴扇形的面积s=rl=2（cm）2?

=12?

l=2?

r

4=sin45=22

1.5rad=57.30?

1.5=85.95=8557

∴tan1.5=tan8557=14.12

⑴

例六求图中公路弯道处弧ab的长l（精确到

三、练习：

p116、7《教学与测试》p102四、作业：

课本p11-12练习8、9、10

p12-13习题4.25—14

《教学与测试》p1027、8及思考题

第四教时

任意角的三角函数（定义）

的同名三角函数值相等的道理。

讲解定义：

则p与原点的距离r=