C15 南京市届高三年级三模数学卷Word文档下载推荐.docx
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Readx
Ifx≥0Then
y←2
Else
y←2-x2
EndIf
Printy
5.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为▲.
(第5题图)
6.在同一直角坐标系中,函数y=sin(x+)(x∈[0,2π])的图象和直线y=的交点的个数是▲.
7.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距为6,则所有满足条件的实数m构成的集合是▲.
(第10题图)
8.已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x∈[2,4]时,f(x)=|log4(x-)|,
则f()的值为▲.
9.若等比数列{an}的各项均为正数,且a3-a1=2,则a5的最小值为▲.
10.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,BC=2,BB1=3,∠ABC=90°
,点D
为侧棱BB1上的动点.当AD+DC1最小时,三棱锥D-ABC1的体积为▲.
11.(2017南京三模)若函数f(x)=ex(-x2+2x+a)在区间[a,a+1]上单调递增,则实数a的最大值为▲.
12.(2017南京三模)在凸四边形ABCD中,BD=2,且·
=0,(+)•(+)=5,则四边形ABCD的面积为▲.
13.(2017南京三模)在平面直角坐标系xOy中,圆O:
x2+y2=1,
圆M:
(x+a+3)2+(y-2a)2=1(a为实数).若圆O与圆M上分别存在点P,Q,
使得∠OQP=30,则a的取值范围为▲.
14.(2017南京三模)已知a,b,c为正实数,且a+2b≤8c,+≤,则的取值范围为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(第15题图)
15.(2017南京三模)(本小题满分14分)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱BC,CD上的点,
且BD∥平面AEF.
(1)求证:
EF∥平面ABD;
(2)若BD⊥CD,AE⊥平面BCD,求证:
平面AEF⊥平面ACD.
16.(2017南京三模)(本小题满分14分)已知向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),α∈(0,).
(1)若a-b=(,0),求t的值;
(2)若t=1,且a•b=1,求tan(2α+)的值.
(第17题图)
17.(2017南京三模)(本小题满分14分)在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍;
矩形表演台BCDE中,CD=10米;
三角形水域ABC的面积为400平方米.设∠BAC=θ.
(1)求BC的长(用含θ的式子表示);
(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.
18.(2017南京三模)(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点分别为A,B,M为线段AB的中点,且·
=-b2.
(1)求椭圆的离心率;
(第18题图)
(2)已知a=2,四边形ABCD内接于椭圆,AB∥DC.记直线AD,BC的斜率分别为k1,k2,求证:
k1·
k2为定值.
19.(2017南京三模)(本小题满分16分)已知常数p>0,数列{an}满足an+1=|p-an|+2an+p,n∈N*.
(1)若a1=-1,p=1,①求a4的值;
②求数列{an}的前n项和Sn.
(2)若数列{an}中存在三项ar,as,at(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,求的取值范围.
20.(2017南京三模)(本小题满分16分)已知λ∈R,函数f(x)=ex-ex-λ(xlnx-x+1)的导函数为g(x).
(1)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
(2)若函数g(x)存在极值,求λ的取值范围;
(3)若x≥1时,f(x)≥0恒成立,求λ的最大值.
南京市2017届高三第三次模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.)
1.{2}2.3.4.-15.6.86.2
7.{}8.9.810.11.12.3
13.[-,0]14.[27,30]
二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
证明:
(1)因为BD∥平面AEF,BD平面BCD,平面AEF∩平面BCD=EF,
所以BD∥EF.……………………3分
因为BD平面ABD,EF平面ABD,所以EF∥平面ABD.……………………6分
(2)因为AE⊥平面BCD,CD平面BCD,所以AE⊥CD.……………………8分
因为BD⊥CD,BD∥EF,所以CD⊥EF,……………………10分
又AE∩EF=E,AE平面AEF,EF平面AEF,所以CD⊥平面AEF.……………………12分
又CD平面ACD,所以平面AEF⊥平面ACD.……………………14分
16.(本小题满分14分)
解:
(1)因为向量a=(2cosα,sin2α),b=(2sinα,t),
且a-b=(,0),所以cosα-sinα=,t=sin2α.……………………2分
由cosα-sinα=得(cosα-sinα)2=,即1-2sinαcosα=,从而2sinαcosα=.
所以(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=.因为α∈(0,),所以cosα+sinα=.………5分
所以sinα==,从而t=sin2α=.………7分
(2)因为t=1,且a•b=1,所以4sinαcosα+sin2α=1,即4sinαcosα=cos2α.
因为α∈(0,),所以cosα≠0,从而tanα=.……………………9分
所以tan2α==.……………………11分
从而tan(2α+)===.……………………14分
17.(本小题满分14分)
(1)因为看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍,所以AB=AC.
在△ABC中,S△ABC=AB•AC•sinθ=400,所以AC2=.…………3分
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cosθ,=4AC2-2AC2cosθ=(4-2cosθ),
即BC==40.
所以BC=40,θ∈(0,π).……………………7分
(2)设表演台的总造价为W万元.因为CD=10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,
所以W=3BC=120,θ∈(0,π).……………………9分
记f(θ)=,θ∈(0,π).则f′(θ)=.……………………11分
由f′(θ)=0,解得θ=.当θ∈(0,)时,f′(θ)<0;
当θ∈(,π)时,f′(θ)>0.
故f(θ)在(0,)上单调递减,在(,π)上单调递增,从而当θ=时,f(θ)取得最小值,最小值为f()=1.
所以Wmin=120(万元).
答:
表演台的最低造价为120万元.……………………14分
18.(本小题满分16分)
(1)A(a,0),B(0,b),由M为线段AB的中点得M(,).所以=(,),=(-a,b).
因为·
=-b2,所以(,)·
(-a,b)=-+=-b2,
整理得a2=4b2,即a=2b.……………………3分
因为a2=b2+c2,所以3a2=4c2,即a=2c.所以椭圆的离心率e==.………5分
(2)方法一:
由a=2得b=1,故椭圆方程为+y2=1.
从而A(2,0),B(0,1),直线AB的斜率为-.……………………7分
因为AB∥DC,故可设DC的方程为y=-x+m.设D(x1,y1),C(x2,y2).联立
消去y,得x2-2mx+2m2-2=0,所以x1+x2=2m,从而x1=2m-x2.…………9分
直线AD的斜率k1==,直线BC的斜率k2==,………………11分
所以k1·
k2=·
=
====,
即k1·
k2为定值.………………………16分
方法二:
设C(x0,y0),则+y02=1.因为AB∥CD,故CD的方程为y=-(x-x0)+y0.
联立消去y,得x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0,解得x=x0(舍去)或x=2y0.
所以点D的坐标为(2y0,x0).………………………13分
=,即k1·
k2为定值.………………………16分
19.(本小题满分16分)
(1)因为p=1,所以an+1=|1-an|+2an+1.
①因为a1=-1,所以a2=|1-a1|+2a1+1=1,a3=|1-a2|+2a2+1=3,
a4=|1-a3|+2a3+1=9.……………………………3分
②因为a2=1,an+1=|1-an|+2an+1,所以当n≥2时,an≥1,
从而an+1=|1-an|+2an+1=an-1+2an+1=3an,于是有an=3n-2(n≥2).……5分
当n=1时,S1=-1;
当n≥2时,Sn=-1+a2+a3+…+an=-1+=.
所以Sn=即Sn=,n∈N*.…………8分
(2)因为an+1-an=|p-an|+an+p≥p-an+an+p=2p>0,
所以an+1>an,即{an}单调递增.…………………………10分
(i)当≥1时,有a1≥p,于是an≥a1≥p,
所以an+1=|p-an|+2an+p=an-p+2an+p=3an,所以an=3n-1a1.
若{an}中存在三项ar,as,at(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,则有2as=ar+at,
即2×
3s-1=3r-1+3t-1.(*),因为s≤t-1,所以2×
3s-1=×
3s<3t-1<3r-1+3t-1,即(*)不成立.
故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列.………………………12分
(ii)当-1<<1时,有-p<a1<p.此时a2=|p-a1|+2a1+p=p-a1+2a1+p=a1+2p>p,
于是当n≥2时,an≥a2>p,从而an+1=|p-an|+2an+p=an-p+2an+p=3an.
所以an=3n-2a2=3n-2(a1+2p)(n≥2).
若{an}中存在三项ar,as,at(r,s,t∈N*,r<s<t)依次成等差数列,同(i)可知,r=1,
于是有2×
3s-2(a1+2p)=a1+3t-2(a1+2p).因为2≤s≤t-1,
所以=2×
3s-2-3t-2=×
3s-×
3t-1<0.因为2×
3s-2-3t-2是整数,所以≤-1,
于是a1≤-a1-2p,即a1≤-p,与-p<a1<p相矛盾.
故此时数列{an}中不存在三项依次成等差数列.…………………14分
(iii)当≤-1时,则有a1≤-p<p,a1+p≤0,于是a2=|p-a1|+2a1+p=p-a1+2a1+p=a1+2p,
a3=|p-a2|+2a2+p=|p+a1|+2a1+5p=-p-a1+2a1+5p=a1+4p,此时有a1,a2,a3成等差数列.
综上可知:
≤-1.………………………………16分
20.(本小题满分16分)
(1)因为f′(x)=ex-e-λlnx,
所以曲线y=f(x)在x=1处的切线的斜率为f′
(1)=0,
又切点为(1,f
(1)),即(1,0),
所以切线方程为y=0.…………………………2分
(2)g(x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex-.
当λ≤0时,g′(x)>0恒成立,从而g(x)在(0,+∞)上单调递增,
故此时g(x)无极值.…………………………4分
当λ>0时,设h(x)=ex-,则h′(x)=ex+>0恒成立,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.…………………………6分
①当0<λ<e时,
h
(1)=e-λ>0,h()=e-e<0,且h(x)是(0,+∞)上的连续函数,
因此存在唯一的x0∈(,1),使得h(x0)=0.
②当λ≥e时,
h
(1)=e-λ≤0,h(λ)=eλ-1>0,且h(x)是(0,+∞)上的连续函数,
因此存在唯一的x0∈[1,λ),使得h(x0)=0.
故当λ>0时,存在唯一的x0>0,使得h(x0)=0.……………………8分
且当0<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0,当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0,
所以g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
因此g(x)在x=x0处有极小值.
所以当函数g(x)存在极值时,λ的取值范围是(0,+∞).……………………10分
(3)g(x)=f′(x)=ex-e-λlnx,g′(x)=ex-.
若g′(x)≥0恒成立,则有λ≤xex恒成立.
设φ(x)=xex(x≥1),则φ′(x)=(x+1)ex>0恒成立,
所以φ(x)单调递增,从而φ(x)≥φ
(1)=e,即λ≤e.
于是当λ≤e时,g(x)在[1,+∞)上单调递增,
此时g(x)≥g
(1)=0,即f′(x)≥0,从而f(x)在[1,+∞)上单调递增.
所以f(x)≥f
(1)=0恒成立.……………………………13分
当λ>e时,由
(2)知,存在x0∈(1,λ),使得g(x)在(0,x0)上单调递减,
即f′(x)在(0,x0)上单调递减.
所以当1<x<x0时,f′(x)<f′
(1)=0,
于是f(x)在[1,x0)上单调递减,所以f(x0)<f
(1)=0.
这与x≥1时,f(x)≥0恒成立矛盾.
因此λ≤e,即λ的最大值为e.……………………………16分