2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
（1）化边为角；
（2）化角为边，并常用正弦（余弦）定理实施边、角转换．
例1．已知在中，，，，解三角形.
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出边，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：
，
∴，
∴，
又，
∴．
总结升华：
1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；
2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.
举一反三：
【变式1】在中，已知，，，解三角形。
【答案】根据三角形内角和定理，；
根据正弦定理，；
根据正弦定理，
【变式2】在中，已知，，，求、.
【答案】，
根据正弦定理，∴.
【变式3】在中，已知，求
【答案】根据正弦定理，得.
例2．在，求：
和，．
思路点拨:
先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角，然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.
解析：
由正弦定理得：
，
∴，
（方法一）∵，∴或，
当时，，（舍去）；
当时，，∴．
（方法二）∵，，∴，
∴即为锐角，∴，
∴．
总结升华：
1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。
2.在利用正弦定理求角时，因为，所以要依据题意准确确定角的范围，再求出角.
3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.
类型二：
余弦定理的应用：
例3．已知中，、、，求中的最大角。
思路点拨:
首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解.
解析：
∵三边中最大，∴其所对角最大，
根据余弦定理：
，
∵，∴
故中的最大角是.
总结升华：
1.中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理；
2.用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.
举一反三：
【变式1】已知中,,,求角.
【答案】根据余弦定理：
，
∵，∴
【变式2】在中，角所对的三边长分别为，若，求的各角的大小．
【答案】设，，，
根据余弦定理得：
，
∵，∴；
同理可得；
∴
【变式3】在中，若，求角.
【答案】∵，∴
∵，∴
类型三：
正、余弦定理的综合应用
例4．在中，已知，，，求及.
思路点拨:
画出示意图，由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.
解析：
⑴由余弦定理得：
=
=
=
∴
⑵求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
（法一：
余弦定理）
∵，
∴
（法二：
正弦定理）
∵
又∵，
∴＜，即＜＜
∴
总结升华：
画出示意图，数形结合，正确选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好.
举一反三：
【变式1】在中，已知,,.求和.
【答案】由余弦定理得：
，
∴
由正弦定理得：
，
因为为钝角，则为锐角，∴.
∴.
【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为，若，，，求角和
【答案】根据余弦定理可得：
∵，∴；
∴由正弦定理得：
.
其他应用题详解
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ）
A．akmB.akm
C.akmD．2akm
解析 利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ACB中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a.
答案 B
2．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A．2kmB．3km
C．3kmD．2km
解析 如图，由条件知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝sin30°＝3.
答案 B
3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是（ ）
A．35海里B．35海里
C．35海里D．70海里
解析 设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E，F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，
EF＝
＝＝70.
答案 D
4．（2014·济南调研）为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是（ ）
A．20mB．20m
C．20（1＋）mD．30m
解析 如图所示，由已知可知，四边形CBMD为正方形，CB＝20m，所以BM＝20m．又在Rt△AMD中，
DM＝20m，∠ADM＝30°，
∴AM＝DMtan30°＝（m）．
∴AB＝AM＋MB＝＋20
＝20（m）．
答案 A
5．（2013·天津卷）在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝（ ）
A.B.
C.D.
解析 由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝（）2＋32－2××3×＝5，所以AC＝，再由正弦定理：
sin∠BAC＝·BC＝＝.
答案 C
6．（2014·滁州调研）线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由B向C行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小（ ）
A.B．1
C.D．2
解析 如图所示，设th后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，问题就是求DE最小时t的值．
由余弦定理，得
DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°
＝（200－80t）2＋2500t2－（200－80t）·50t
＝12900t2－42000t＋40000.
当t＝时，DE最小．
答案 C
二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
7．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为________km.
解析 如右图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos120°＝700，
∴AC＝10（km）．
答案 10
8．如下图，一艘船上午9：
30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：
00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile.此船的航速是________nmile/h.
解析 设航速为vnmile/h
在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得：
＝，
∴v＝32（nmile/h）．
答案 32
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，
BC＝＝10（米）．
在Rt△ABC中，tan60°＝，AB＝BCtan60°
＝10（米）．
答案 10
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
10．（2014·台州模拟）某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处于坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗？
解 在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝10，由正弦定理，得BC＝＝20.
在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20×＝30（米），所以升旗速度v＝＝＝0.6（米/秒）．
11.
如图，A、B是海面上位于东西方向相距5（3＋）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？
解 由题意，知AB＝5（3＋）海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－（45°＋30°）＝105°.
在△DAB中，由正弦定理，得
＝，
于是DB＝＝
＝
＝＝10（海里）．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋（90°－60°）＝60°，BC＝20（海里），
在△DBC中，由余弦定理，得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC
＝300＋1200－2×10×20×＝900.
得CD＝30（海里），
故需要的时间t＝＝1（小时），
即救援船到达D点需要1小时．
12.
（2013·江苏卷）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA＝，cosC＝.
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位
升级会员 