古典概型教学案Word格式.docx
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那么这样的概率模型称为古典概率模型,简称古典概
型.
2计算公式:
对于古典概型,任何事件的概率为P=A
包含的基本事件的个数基本事件的总数.
[问题思考]
若一次试验的结果所包含的基本事件的个数是有限个,
则该试验是古典概型吗?
不一定是,还要看每个事件发生的可能性是否相
同,若相同才是,否则不是.
掷一枚不均匀的骰子,求出现点数为偶数点的概率,这
个概率模型还是古典概型吗?
不是.因为骰子不均匀,所以每个基本事件出现
的可能性不相等,不满足特点.
“在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为2的概率是多少?
”这个概率模型属于古典概型吗?
不是,因为在区间[0,_10]上任取一个数,其试
验结果有无限个,故其基本事件有无限个,所以不是古典概
[课前反思]
通过以上预习,必须掌握的几个知识点:
基本事件的定义:
;
基本事件的特点:
古典概型的定义:
古典概型的计算公式:
.掷一枚质地均匀的硬币两次,
观察哪一面朝上.
[思考1]这个试验共有哪几种结果?
基本事件总数有多少?
事件A={恰有一次正面朝上}包含哪些试验结果?
名师指津:
共有正正、正反、反正、反反四种结果.基本事件有4个.事件A包含的结果有:
正反、反正.
[思考2]基本事件有什么特点?
基本事件具有以下特点:
不可能再分为更小的随机事件;
两个基本事件不可能同时发生.
讲…讲
.先后抛掷3枚均匀的壹分,贰分,伍分硬币.
求试验的基本事件数;
求出现“2枚正面,1枚反面”的基本事件数.
[尝试解答]因为抛掷壹分,贰分,伍分硬币时,各自
都会出现正面和反面2种情况,所以一共可能出现的结果有
8种.可列表为:
硬币种类试验结果
壹分正面正面正面正面反面反面反面反面
贰分正面反面正面反面正面反面正面反面
伍分正面反面反面正面正面反面反面正面
所以试验基本事件数为8.
从中表格知,出现“2枚正面,1枚反面”的结果有3种,即,,.所以“2枚正面,1枚反面”的基本事件数为3.
基本事件的两个探求方法
列表法:
将基本事件用表格的形式表示出来,通过表格可以清楚地弄清基本事件的总数,以及要求的事件所包含的基本事件数,列表法适合于较简单的试验的题目,基本事件较多的试验不适合用列表法.
树状图法:
树状图法是用树状的图形把基本事件列举出来的一种方法,树状图法便于分析基本事件间的结构关系,对于较复杂的问题,可以作为一种分析问题的主要手段.树状图法适合于较复杂的试验的题目.
练一练
.从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验
中,有哪些基本事件?
解:
所求的基本事件共有6个:
即A={a,b},B={a,c},c={a,d},D={b,c},
E={b,d},F={c,d}.
观察图形,思考下列问题
[思考1]某射击运动员随机地向一靶心进行射击,试
验的结果有:
命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环,你认为这是古典概型吗?
试验的所有结果只有11个,但是命中10环,命中9环,…,命中1环和命中0环的出现不是等可能的,这个试验不是古典概型.
[思考2]若一个试验是古典概型,它需要具备什么条件?
若一个试验是古典概型,需具备以下两点:
有限性:
首先判断试验的基本事件是否是有限个,若基本事件无限个,即不可数,则试验不是古典概型.
等可能性:
其次考查基本事件的发生是不是等可能的,若基本事件发生的可能性不一样,则试验不是古典概型.
.某校夏令营有3名男同学A,B,c和3名女同学X,y,乙其年级情况如下表:
一年级二年级三年级
男同学ABc
女同学XyZ
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛.
用表中字母列举出所有可能的结果;
设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件发生的概率.
[尝试解答]从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,c},{A,X},{A,y},{A,Z},{B,c},{B,X},{B,y},{B,Z},{c,X},{c,y},{c,Z},{X,y},{X,Z},{y,Z},共15种.
选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{c,X},{c,y},共6种.
因此,事件发生的概率P=615=25.
古典概型求法步骤
1确定等可能基本事件总数n;
2确定所求事件包含基本事件数;
3P=n.
使用古典概型概率公式应注意
1首先确定是否为古典概型;
2所求事件是什么,包含的基本事件有哪些.
.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号
码的3个黑球,从中摸出2个球.求:
基本事件总数;
事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件?
摸出2个黑球的概率是多少?
由于4个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等的,所以是古典概型.
将黑球编号为黑1,黑2,黑3,从装有4个球的口袋内摸出2个球,所有基本事件构成集合Q={,,,,,},其
中共有6个基本事件.
事件“摸出2个黑球”={,,},共3个基本事件.
基本事件总数n=6,事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数=3,故P=12.
讲讲
.袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2
个黑球和编号为c,d,e的3个红球,从中任意摸出2个球.
写出所有不同的结果;
求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率;
求至少摸出1个黑球的概率.
[思路点拨]可以利用初中学过的树状图写出;
找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件,利用古典概型的概率计算公式求出;
找出至少摸出1个黑球的基本事件,利用
古典概型的概率计算公式求出.
[尝试解答]用树状图表示所有的结果为
所以所有不同的结果是
ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de.
记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A,
则事件A包含的基本事件为ac,ad,ae,be,bd,be,共6个基本事件,
所以P=610=0.6,
即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.
记“至少摸出1个黑球”为事件B,
则事件B包含的基本事件为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共7个基本事件,
所以p=710=0.7,
即至少摸出1个黑球的概率为0.7.
利用事件间的关系求概率
在求解较复杂事件的概率时,可将其分解为几个互斥的简单事件的和事件,由公式P=P+P+-+P求得,或采用
正难则反的原则,转化为求其对立事件,再用公式P=1-P
求得.
.先后掷两枚大小相同的骰子.
求点数之和出现7点的概率;
求出现两个4点的概率;
求点数之和能被3整除的概率.
如图所示,从图中容易看出基本事件与所描点一一
对应,共36个.
记“点数之和出现7点”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的基本事件共6个:
,,,,,.故P=636=16.
记“出现两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的基本事件只有1个,即.故P=136.
记“点数之和能被3整除”为事件c,则事件c包含的
基本事件共12个:
,,,,,,,,,,,.
故P=1236=13.
[课堂归纳?
感悟提升]
.本节课的重点是了解基本事件的特点,能写出一次试验所出现的基本事件,会用列举法求古典概型的概率.难点是理解古典概型及其概率计算公式,会判断古典概型.
.本节课要掌握以下几类问题:
基本事件的两种探求方法,见讲1.
求古典概型的步骤及使用古典概型概率公式的注意点,见讲2.
利用事件的关系结合古典概型求概率,见讲3.
.本节课的易错点有两个:
列举基本事件时易漏掉或重复,如讲1;
判断一个事件是否是古典概型易出错.
课下能力提升
[学业水平达标练]
题组1基本事件的列举问题
.同时投掷两颗大小完全相同的骰子,用表示结果,记
A为“所得点数之和小于5”,则事件A包含的基本事件数是
A.3B.4c.5D.6
解析:
选D事件A包含的基本事件有6个:
,,,,.故选D.
.做试验“从0,1,2这3个数字中,不放回地取两次,每次取一个,构成有序数对,x为第1次取到的数字,y为
第2次取到的数字”.
1写出这个试验的基本事件;
2求出这个试验的基本事件的总数;
3写出“第1次取出的数字是2”这一事件包含的基本事件.
①这个试验的基本事件为,,,,,.
2基本事件的总数为6.
3“第1次取出的数字是2”包含以下2个基本事件:
.
题组2简单古典概型的计算
.下列关于古典概型的说法中正确的是
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
②每个事件出现的可能性相等;
③每个基本事件出现的可能性相等;
④基本事件的总数为n,随机事件A若包含个基本事件,则P=n.
A.②④B.①③④c.①④D.③④
选B根据古典概型的特征与公式进行判断,①
③④正确,②不正确,故选B.
.下列试验中,属于古典概型的是
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为250±
0.6的一批合格产品中任意抽一
根,测量其直径d
c.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
选c依据古典概型的特点判断,只有c项满足:
②每个基本事件出现的可能性相同.
.设a是掷一枚骰子得到的点数,则方程x2+ax+2=0
有两个不相等的实根的概率为
A.23B.13C.12D.512
选A基本事件总数为6,若方程有两个不相等的实根则a2-8>
0,满足上述条件的a为3,4,5,6,故P=46=23.
.一枚硬币连掷3次,有且仅有2次出现正面向上的概
率为
A.38B.23C.13D.14
选A所有的基本事件是,,,,,,,,共有
8个,仅有2次出现正面向上的有:
,,,共3个.则所求
概率为38.
.袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
A:
取出的两球都是白球;
B:
取出的两球1个是白球,另1个是红球.
设4个白球的编号为1,2,3,4;
2个红球的编号为
5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法
从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的取
法共有6种,为,,,,,.
•••取出的两个球全是白球的概率为P=615=25.
从袋中的6个球中任取两个,其中一个是红球,而另一
个是白球,其取法包括,,,,,,,共8种.
•••取出的两个球一个是白球,一个是红球的概率为P=
815.
题组3较复杂的古典概型的计算
.某停车场临时停车按时段收费,收费标准如下:
每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元,超过1小时的部分每小时收费8元.现有甲、乙两人在该地停车,两人停车都不
超过4小时.
若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为13,亭车费多于14元的概率为512,求甲的停车费为6元的概率;
若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相
同,求甲、乙两人停车费之和为28元的概率.
记“一次停车不超过1小时”为事件A,“一次停
车1到2小时”为事件B,“一次停车2到3小时”为事件5“一次停车3到4小时”为事件D.
由已知得P=13,P=512.
又事件A,B,c,D互斥,所以P=1-13-512=14.
所以甲的停车费为6元的概率为14.
易知甲、乙停车时间的基本事件有,,,,,,,,,共16个;
而“停车费之和为28元”的事件有,,,共3个,
所以所求概率为316.
[能力提升综合练]
.下列是古典概型的是
A.任意掷两枚骰子,所得点数之和作为基本事件时
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为基本事件时
c.从甲地到乙地共n条路线,求某人正好选中最短路
线的概率
D.抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
选cA项中由于点数的和出现的可能性不相等,
故A不是;
B项中的基本事件是无限的,故B不是;
c项满足古典概型的有限性和等可能性,故c是;
D项中基本事件可能会是无限个,故D不是.
.已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这
5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为
A.0.4B.0.6
c.0.8D.1
选B5件产品中有2件次品,记为a,b,有3件合格品,记为c,d,e,从这5件产品中任取2件,有10种结果,分别是,,,,,,,,,,恰有一件次品,有6
种结果,分别是,,,,,,设事件A={恰有一件次品},
则p=610=0.6,故选B.
.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从123,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为
A.310B.15C.110D.120
选c从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如
下10个不同的结果:
,,,,,,,,,,其中勾股数只
有,所以概率为110.故选c.
.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,
其个位数为0的概率是
A.49B.13C.29D.19
选D分类讨论法求解.
个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数,所以可以分两类.
当个位为奇数时,有5X4=20个符合条件的两位数.
当个位为偶数时,有5X5=25个符合条件的两位数.
因此共有20+25=45个符合条件的两位数,其中个位数为0的两位数有5个,所以所求概率为P=545=19.
.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为.
该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为26=13.
答案:
13
.从三男三女共6名学生中任选2名,则2名都是女同学的概率等于.
用A,B,c表示三名男同学,用a,b,c表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为:
AB,Ac,Aa,Ab,Ac,Bc,Ba,Bb,Bc,ca,cb,cc,ab,ac,bc,2名都是女同学的选法为:
ab,ac,bc,故所求的概率为315
15
.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为
27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运
动员组队参加比赛.
求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数.
将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A1,A2,A3,A4,A5,A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
1用所给编号列出所有可能的结果;
2设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有
1人被抽到”,求事件A发生的概率.
应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别
为3,1,2.
1从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可
能结果为{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15种.
2编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的
所有可能结果为{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9种.
因此,事件A发生的概率P=915=35.
.海关对同时从A,B,c三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量如下表所示.
工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进
行检测.
地区ABc
数量50150100
求这6件样品中来自A,B,c各地区商品的数量;
若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.
因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150
+100=150,
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:
0X150=1,150X150=3,100X150=2.
所以AB,c三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.
设6件来自AB,c三个地区的样品分别为:
A;
B1,
B2,B3;
c1,c2.
则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件
为:
{A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,c1},{A,c2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,c1},{B1,c2},{B2,B3},{B2,c1},{B2,c2},{B3,c1},{B3,c2},{c1,c2},共15个.
每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现
是等可能的.
记事件D:
“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D包含的基本事件有:
{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{c1,c2},共4个.
所以P=415,即这2件商品来自相同地区的概率为415.