人教A版高中数学必修2第四章 圆与方程42 直线圆的位置关系习题2文档格式.docx

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　　对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：

①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．反证法的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立；

　　②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

　　③矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系

　　直线和圆的三种位置关系：

①相离：

一条直线和圆没有公共点．

　　②相切：

一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．

　　③相交：

一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．判断直线和圆的位置关系：

设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．

　　1

　　①直线l和⊙O相交d＜r②直线l和⊙O相切d=r③直线l和⊙O相离d＞r．

　　6.切线的性质

　　切线的性质

　　①圆的切线垂直于经过切点的半径．

　　②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．切线的性质可总结如下：

　　如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：

①直线过圆心；

②直线过切点；

③直线与圆的切线垂直．切线性质的运用

　　定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：

见切点，连半径，见垂直．

　　7.切线的判定

　　切线的判定定理：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在应用判定定理时注意：

　　①切线必须满足两个条件：

a、经过半径的外端；

b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

　　②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

　　③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；

当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．

　　8.切线的判定与性质切线的性质

　　②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．常见的辅助线的：

　　①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；

②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．　　

　　9.切线长定理

　　2

　　圆的切线定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

　　切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；

切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．切线长定理包含着一些隐含结论：

①垂直关系三处；

②全等关系三对；

　　③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．

　　10.三角形的内切圆与内心内切圆的有关概念：

　　与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．三角形内心的性质：

　　三角形的内心到三角形三边的距离相等；

三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

　　11.圆与圆的五种位置关系

　　圆与圆的五种位置关系：

①外离；

②外切；

③相交；

④内切；

⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；

如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；

如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．

　　圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：

①两圆外离d＞R+r；

②两圆外切d=R+r；

　　③两圆相交R-r＜d＜R+r；

④两圆内切d=R-r；

⑤两圆内含d＜R-r．

　　12.相切两圆的性质

　　相切两圆的性质：

如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质

　　相交两圆的性质：

　　相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦．注意：

在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．两圆的公切线性质：

　　两圆的两条外公切线的长相等；

两圆的两条内公切线的长也相等．两个圆如果有两条公切线，则它们的交点一定在连心线上．　　

　　3

　　4.判断圆的切线的方法及应用

　　判断圆的切线的方法有三种：

　　与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；

　　若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；

经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

　　【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°

，BC=43，D是线段BC的中点.

　　试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理.　　过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：

直线DE是⊙O的切线.　　

　　【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.　　

　　【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：

AP是半圆O的切线.

　　4

　　【知识梳理】

　　1.直线与圆的位置关系：

2.切线的定义和性质：

　　3.三角形与圆的特殊位置关系：

　　4.圆与圆的位置关系：

相交r1r2dr1r2；

外切dr1r2；

　　内切dr1r2；

外离dr1r2；

内含0dr1r2【注意点】

　　与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】　　

　　例1.⊙O的半径是6，点O到直线a的距离为5，则直线a与⊙O的位置关系为

　　A．相离　　B．相切C．相交　　D．内含

　　例2.如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F．B50°

，C60°

，连结OE，OF，DE，DF，则EDF等于A．40°

　　B．55°

C．65°

　　D．70°

　　例3.如图，已知直线L和直线L外两定点A、B，且A、B到直线L的距离相等，则经过A、B两点且圆心在L上的圆有

　　A．0个　　B．1个　　C．无数个　　D．0个或1个或无数个

　　例4．已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为　　D.1cm或7cm

　　例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为　　例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；

　　当d满足___　　___时，两圆不外离．

　　例7．⊙O半径为，点P为直线L上一点，且OP=，则直线与⊙O的位置关系是____

　　例8．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，若PA长为2，则△PEF的周长是　　_．

　　例9.如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），B（8，0），与y轴切于点C，则圆心M的坐标是　　

　　5

　　例10.如图，四边形ABCD内接于⊙A，AC为⊙O的直径，弦DB⊥AC，垂足为M，过点D作⊙O的切线交BA的延长线于点E，若AC=10，tan∠DAE=43，求DB的长．　　

　　【当堂检测】

　　1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是A．相离　　B．外切　　C．内切　　D．相交

　　2.⊙A和⊙B相切，半径分别为8cm和2cm，则圆心距AB为A．10cm　　B．6cm　　C．10cm或6cm　　D．以上答案均不对3.如图，P是⊙O的直径CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，PB＝1，那么∠APC等于

　　A.15　　B.30　　C.45　　D.60

　　4.如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于AA）6　　25　　210　　214

　　OBDC

　　5.如图，在第3题图10×

6的网格图中第4题图（每个小正方形的边长均为第5题图1个单位长）．⊙第6A题图半径为2，⊙B半径为1，需使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A图示的位置向左平移　　个单位长.

　　6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，DC＝1，，则⊙O的半径等于

　　A.

　　54　　B.45　　C.354　　D.67.⊙O的半径为6，⊙O的一条弦AB长63，以3为半径⊙O的同心圆与直

　　线AB的位置关系是（　　）

　　A.相离　　B.相交　　C.相切　　D.不能确定

　　8.如图，在△ABC中，ABAC，A120°

，BC23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是　　．

　　9.如图，B是线段AC上的一点，且AB：

AC=2：

5，分别以AB、AC为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．

　　O1O2

　　O

　　6

　　第8题图第9题图第10题图第11题图10.如图，从一块直径为a+b的圆形纸板上挖去直径分别为a和b的两个圆，则剩下的纸板面积是___．

　　11.如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm．则大圆的半径是______cm．

　　12.如图，直线AB切⊙O于C点，D是⊙O上一点，∠EDC=30o，弦EF∥AB，连结OC交EF于H点，连结CF，且CF=2，则HE的长为_________．

　　13.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B，若直径AC=12cm。

　　∠P=60°

．求弦AB的长．A

　　PO

　　BC

　　【中考连接】一、选择题

　　1.正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（　　）

　　2.⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则△ABC的边长为A．3　　B．5　　

　　C．23　　D．253.已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30，过C点的切线PC与AB延长线交于P点．PC＝5，则⊙O的半径为A.

　　533　　B.536　　C.10　　D.5　　4.AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PC是⊙O的切线，C为切点，PC＝26，PA＝4，则⊙O的半径等于A.1　　B.2　　C.

　　32　　D.625.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外

　　切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为（　　）

　　A.钝角三角形　　B.等边三角形　　C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有

　　①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离④两圆连心线的长必大于两圆半径之差个　　个　　个　　个

　　第3题图

　　二、填空题

　　第6题图第7题图第8题图6.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一

　　第12题图

　　7

　　点，已知∠BAC＝80°

，那么∠BDC＝__________度．　　7.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，。

　　的度数

　　比为3∶2∶4，MN是⊙O的切线，C是切点，则∠BCM的度数为________．

　　8．如图，在△ABC中，ABAC5cm，cosB35．如果⊙O的半径为10cm，且经过点B、C，那么线段AO=　　cm．

　　9．两个等圆⊙O与⊙O′外切，过点O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB=　　．

　　10．如图6，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD，则图中直角三角形有　　个．

　　第

　　10题图第11题图第12题图11.如图，ACB60°

，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm．

　　12.如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，∠AOB=60°

，BC=4cm，则切线AB=　　cm.

　　13.如图，⊙A和⊙B与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都

　　在反比例函数y

　　x

　　图象上，则阴影部分面积等于　　．14.Rt△ABC中，C90°

，AC6，BC8．则△ABC的内切圆半径r______．

　　15.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、

　　r是关于x的方程x2－4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切

　　第13题图时，则m的值为_____．

　　16.已知：

⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB、BC、CA分别为　　．

　　17.⊙O的圆心到直线l的距离为d，⊙O的半径为r，当d、r是关于x的方程x2－4x+m=0的两根，且直线l与⊙O相切时，则m的值为_____．三、解答题

　　18.如图，AB是⊙O的弦，OCOA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当CEBE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？

请说明理．　　第18题图

　　19.如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC4，OAC60．求∠AOC的度数；

　　8

　　在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；

　　如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按A照逆时针的方向运动，当S△MAOS△CAO时，求动点M所经过的弧长．

　　9