中考数学压轴题揭秘专题16二次函数的存在性问题试题附答案Word文件下载.docx

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若相似，求出点F的坐标；

若不相似，请说明理由．

[答案]

（1），D的坐标为；

（2）①；

②以A，F，O为顶点的三角形与相似，F点的坐标为或．

[解析]

（1）将A、B两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点；

（2）①由A、C、D三点的坐标求出，，，可得为直角三角形，若，则点F为AD的中点，可求出k的值；

②由条件可判断，则，若以A，F，O为顶点的三角形与相似，可分两种情况考虑：

当或时，可分别求出点F的坐标．

[详解]

（1）抛物线过点，，

，解得：

，

抛物线解析式为；

，

顶点D的坐标为；

（2）①在中，，，

，，，

为直角三角形，且，

F为AD的中点，

；

②在中，，

在中，，

若以A，F，O为顶点的三角形与相似，则可分两种情况考虑：

当时，，

设直线BC的解析式为，

直线BC的解析式为，

直线OF的解析式为，

设直线AD的解析式为，

直线AD的解析式为，

．

综合以上可得F点的坐标为或．

[点睛]本题考查了二次函数的综合题：

熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；

会利用待定系数法求函数解析式；

理解坐标与图形性质；

会运用分类讨论的思想解决数学问题．

[变式1-1]如图，抛物线经过，两点，且与轴交于点，抛物线与直线交于，两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）坐标轴上是否存在一点，使得是以为底边的等腰三角形？

若存在，请直接写出点的坐标；

若不存在，说明理由．

（3）点在轴上且位于点的左侧，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

[答案]

（1）；

（2）存在，或，理由见解析；

（3）或．

[解析]

（1）将A、C的坐标代入求出a、c即可得到解析式；

（2）先求出E点坐标，然后作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q’，根据垂直平分线的性质可知Q、与A、E，Q’与A、E组成的三角形是以AE为底边的等腰三角形，设Q点坐标（0,x），Q’坐标（0,y），根据距离公式建立方程求解即可；

（3）根据A、E坐标，求出AE长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°

，设，由相似得到或，建立方程求解即可．

[详解]

（1）将，代入得：

，解得

∴抛物线解析式为

（2）存在，理由如下：

联立和，

，解得或

∴E点坐标为（4,-5），

如图，作AE的垂直平分线，与x轴交于Q，与y轴交于Q’，

此时Q点与Q’点的坐标即为所求，

设Q点坐标（0,x），Q’坐标（0,y），

由QA=QE，Q’A=Q’E得：

，

解得，

故Q点坐标为或

（3）∵，

∴，

当时，解得或3

∴B点坐标为（3,0），

∴

∴，，，

由直线可得AE与y轴的交点为（0,-1），而A点坐标为（-1,0）

∴∠BAE=45°

设则，

∵和相似

∴或，即或

解得或，

∴或．

[点睛]本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．

[变式1-2]如图，已知抛物线（m＞0）与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧.

（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；

（2）在

（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H，使AH+CH的值最小，若存在，求出点H的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似？

若存在，求出m的值；

若不存在，请说明理由.

（2）点H的坐标为（1，）；

（3）当m=时，在第四象限内抛物线上存在点M，使得以点A，B，M为顶点的三角形与△ACB相似.

[解析]

分析：

（1）把点（2，2）代入中，解出m的值即可得到抛物线的解析式；

（2）由

（1）中所得解析式求出点A、B、C的坐标，由题意可知，点A、B关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC与对称轴的交点即为所求的点H，根据B、C的坐标求出直线BC的解析式即可求得点H的坐标；

（3）由解析式可得点A、B、C的坐标分别为（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB和∠ABM是钝角，因此存在两种可能性：

①当△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可.

详解：

（1）把点（2，2）代入抛物线，

得2=. 

解得m=4. 

∴抛物线的解析式为. 

（2）令，解得.

则A（-2，0），B（4，0）.

对称轴x=-.

∵ 

中当x=0时，y=2，

∴点C的坐标为（0，2）.

∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，

∴连接BC与对称轴的交点即为点H，此时AH+CH的值最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得：

，解得：

∴直线BC的解析式为y=.

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