双缝干涉条纹间距公式的推导Word格式.docx
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+r：
Q2N
~•d*,d所以：
Vr产一X即：
6=—xd
11
当S等于光波波长入的整数倍时〉两列波在P点同相加强/出现亮条纹3
Rna（k=0>
±
19±
2J+31一）
1
则*V
所以円一xk
=（k+l）—入一k—
-A二一A
3
d
1即Ax二了
（4）2
当5等于光波半波长2的奇数倍时〉两列波在P•点反
相減弱“出现暗条鎮：
7
（k=0•+1,土2,±
3,
则皿“L占（k二0•土1>
±
2f±
3>
—）
d2
所以Ax二xk■xk=（2id3）—---（2kH）—•
即△龙二一A
根据（4）、（5）两式町知：
相邻两条明纹（或暗纹）间距离均为△x二1/dA,而I、d和入都为定值，所以屏上的干涉条纹是等间距的。
［应用］相干光经双缝产生干涉现象，半发生如下变化时，干涉条纹如何变化？
（1）屏幕移近；
（2）缝距变小；
（3〉波长变长；
［分析］由公式Ax=1/d入可知，相邻两条明纹（或暗纹）间距离△X与I、入成正比，与d成反比。
（1）若屏幕移近，则I变小，因此条纹间距Ax变小，条纹变得密集。
（2）若缝距d变小，则Ax变大，条纹变得稀疏。
（3）若波长入变长，则从变大。
因此若入射光为口光，则中央明纹（白色）的两侧，出现彩色条纹，且靠近中央明纹的是紫光。
另外在研究干涉现象时，一般不称呼明条纹和暗条纹它们的宽度是多少，这是因为从光的能量角度讲，从明条纹到暗条纹衔接处，是连续变化的，没有分界线。
如图建立直角坐标系，其
X轴上横坐标为
差为波长整数倍
（零除外）的双曲线簇。
其中
用直线
的点与-的点为两波源。
这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离
29
-,o为所有双曲线的公共焦点。
这个双曲线簇的方程为:
9
tv
I去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。
将
yI代入双曲线簇的方程，有:
£
d22n
~2
解得：
|2
（4d2n2
xnJ4•
Vd2
其中I的数量级为10°
ni,
d的数量级为10故
101,X的表达式简化为
可见，交点横坐标成一等差数列，公差为
（1）条纹是等间距的；
（2）相邻两条纹的间距为
至此，证明了条纹间距公式:
杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的
海军航空工程学院李磊梁吉峰选自《物理教师》2008年第11期
在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：
△x=L入/d,其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光
而言，其波长入为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如
图1。
我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。
问题到底出在哪里呢
SI
首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图
设定双缝S、S8的间距为d,双缝所在平面与光屏P平行。
为双缝双缝与屏之间的垂直距离为L,我们在屏上任取一点P】,设定点P1与双缝S、S的距离分别为r】和「2,0
S、S2的中点，双缝S、S2的连线的中垂线与屏的交点为发出的光到达屏丹，设巳与Po的距离为x,为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L»
d,在这种情况下由双缝S】、S2
上Pi点的光程差△r为
Sgr2一ri~dsin0,
（1）
其中0也是OP与OR所成的角。
因为d«
L,0很小，所以
sin0~
tan0=
（2）
因此△
r、dsin
X
dL
当厶r
-dL=±
k入
时，屏上表现为明条纹，其中
k-0,1,2,
—dL二土（k+
2）入时，屏上表现为暗条纹，
其中是k=0,1,2,…
O
⑶）
我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。
当”=±
kd.时，屏上表现为明条纹，其中k=°
12
1L
当x=±
（k+-）7入时，屏上表现为暗条纹，其中k=0,1,2,…。
（4‘）
2d
我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为
L
A■■■■、■
至此我们得出结论：
杨氏双缝干涉条纹是等间距的。
△r二「2—rrdsin0的时候，此式近似成立的条件是/S1R1S2很小，因此有SM!
SR,SiM
问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式因此△r~dsin0是满足的。
丄OR,因此/ROR二/S2S1M,如果要保证/SP】S2很小，只要满足d«
L即可，第2次近似是因为1来比较sin0与tan0的数值。
d«
L,0很小，所以sin0~tan0。
下面我们通过表
2：
3。
4。
5°
6'
7。
sin
tan
8°
9°
10°
11°
从表
1中我们可以看岀当0二
fanA_oinA
-％因此当2\时，相对误差就超过了
%因此我们通常说二g
>
5°
时，立的，而当用了。
是成
sin0、tan0就不再成立。
干涉条纹是等间距的。
X较大时，也就是光屏上离
而在杨氏双缝干涉实验中，0
很小所对应的条件应该是
x«
L,这应该对应于光屏上靠近
Po的点,
此时
X2
P。
较远的点所对应的0角也较大,
当0〉5°
时,sin0~tan
0就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了,
成立的条件是。
〈5。
，当。
在此种情况下上述的推导过程
（2）式就不能再
所以，△rdsin0世°
TL2
二土k入，屏上表现为明条纹，其中
ax
k=0,1,2,•
△r~dsin0=——二±
（k+T）入，屏上表现为暗条纹，其中
ITT22
vLx
因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为
x=±
Lk
屏上表现为明条纹，其中k-0,1,2,
L（k]
x二士k二0]2…。
~-I3—,屏上表现为暗条纹，其中’’’°
丽（k»
则相邻的明条纹中心问距为
L（k1）Lk
△X明二Xk+1明一■Xk明二,・
Jd2（kl）22Jd2k22
邻暗条纹中心间距为
AY■vL（k1-）L（k-）
△x暗二Xk±
1暗——■Xk
_2
吩2_Jd2（k1l）2=
—d2（k2）22
由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。
下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。
例1：
用氧氛激光器（频率为XlO^Hz）的红光照射间距为2mm勺双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。
解：
因为△r=dsin0=k入，所以
dsin0Vdsin0亠斗“
k==二错误！
二
5条。
入c
考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为
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