311应力状态.docx

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311应力状态

第13章应力分析stressanalysis

本章内容：

应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为

本章重点：

点的应力状态分析

应力stress：

单位面积上的内力。

材料力学方法：

切面法，将物体切开,利用内力外力平衡条件求切面上的应力分布。

塑性力学方法：

把物体切成无数个微六面体（或其他形状），称微元体或单元体，根据单元体静力平衡条件写出平衡微分方程，再考虑其他条件求解。

满足条件：

连续，均质，同性，平衡，无体积力，体积不变。

可列方程：

平衡微分方程（平衡，3个），

几何方程（连续均质，6个），

物理方程（应力应变关系，6个）

屈服准则（1个）

（共16个）

变量（共18个）：

坐标x,y,z,位移u,v,w,应力6个，应变6个。

力的类型有面力：

作用力，反作用力，摩擦力

体积力：

重力，磁力，惯性力——高速成形不能忽略

13．1应力状态分析

目标：

任意一点的应力状态stressstate——整个变形体的应力状态

13．1．1应力分析截面法

外力outsideforces——产生内力

应力：

正应力（stress）σ，切应力（shearstress）τ

要点：

截开物体后，内力变外力。

13．1．1．1单向拉伸uniaxialtensile应力分析

C1面上全应力：

S=F/A=F/（A0/cosθ）=σ0cosθ

正应力：

σ=Scosθ=σ0cos2θ

切应力：

τ=Ssinθ=σ0cosθsinθ

结论：

任意方向都可由σ0和θ确定其全应力S，正应力σ，切应力τ，即：

单向拉伸只需σ0即可确定任意面的应力状态。

13．1．1．2两向应力状态

设任意斜面AB（夹角θ）上的全应力S，

S可以分解为正应力σ，切应力τ

由于静力平衡

即有：

解得：

13．1．2应力分析单元体法

变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！

设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分量stresscomponents，可写为矩阵：

作用面

作用方向

注意：

应力是张量tensor（标量，矢量，张量）

张量的定义：

满足坐标系转换关系的分量集合

正负号：

正面正向、负面负向取正号，正面负向、负面正向取负号。

单元体平衡有：

τxy=τyxτxz=τzxτyz=τzy

因此σij=是对称张量

当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点的应力状态未改变。

圆柱坐标——柱坐标应力张量

球坐标——球坐标应力张量

13．1．3任意斜面上的应力stressontheobliqueplane

已知应力状态σij=，求斜面ABC上的应力（全应力S，正应力σ，切应力τ）,设斜面ABC的法线方向余弦为l,m,n即：

l=cos（N,x）m=cos（N,y）n=cos（N,z）

解：

将全应力沿坐标方向分解为：

SxSySz

由静力平衡forceequilibrium

SxdA-σxdAx-τyxdAy-τzxdAz=0

而dAx=ldAdAy=mdAdAz=ndA

所以Sx=σxl+τyxm+τzxn

同理Sy=τxyl+σym+τzyn

Sz=τxzl+τyzm+σzn

因此S2=Sx2+Sy2+Sz2

σ=Sxl+Sym+Szn

=σxl2+σym2+σxn2+2（τxylm+τyzmn+τxzln）

τ2=S2-σ2

习题：

13章1、7

1、什么叫张量？

张量有什么性质？

7、已知受力物体内一点的应力张量为Mpa，求外法线方向余弦为的斜切面上的全应力、正应力和切应力。

13．1．4主应力与应力不变量stressinvariants

主平面principalplane——切应力为0的平面。

主应力principalstress——主平面上的正应力。

应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。

也就是将变换为，即将实对称阵变为对角阵。

13．1．4．1任意坐标系

设ABC为主平面，在主平面上有τ=0

由于τ2=S2-σ2即可得S=σ

所以Sx=Sl=σlSy=σmSz=σn

因此有：

（σx-σ）l+τyxm+τzxn=0

τxyl+（σy-σ）m+τzyn=0

τxzl+τyzm+（σz-σ）n=0

而：

l2+m2+n2=1此为隐含条件

所以有：

此式即

展开整理为：

σ3-J1σ2-J2σ-J3=0*****

其中：

J1=σx+σy+σz

可以求出三个实根σ1σ2σ3

分别代入前式可求出三个主方向：

l1m1n1l2m2n2l3m3n3

注意：

应力状态确定——主应力唯一，即方程*****唯一,也即J1J2J3为不变值，分别为应力张量的第一不变量J1第二不变量J2第三不变量J3

应力不变量stressinvariants

13．1．4．2主轴坐标系

若以主应力（σ1σ2σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴为1，2，3方向轴。

此时，

在此坐标系下的任意斜面（l,m,n）上有：

S1=σ1lS2=σ2mS3=σ3n

以及：

S2=σ12l2+σ22m2+σ32n2

σ=σ1l2+σ2m2+σ3n2

τ2=S2-σ2

而且：

J1=σ1+σ2+σ3

J2=-（σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1）

J3=σ1σ2σ3

又由于：

l2+m2+n2=1

所以有：

此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。

其中S1S2S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。

概念：

单向应力状态——两个主应力为0

平面应力状态——一个主应力为0

可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量

13．1．4．3解例

例题：

Mpa，求主应力及主方向

解：

方法1，可以求J1J2J3，然后求解。

方法2，用即

行变换后

即

再列变换有

所以：

σ1=20，σ2=0，σ3=-10

注意：

σ1σ2σ3按大小顺序排列。

将σ1=20代入求l1m1n1有方程组：

（10-σ1）l+0×m-10n=0

0×l+（-10-σ1）m+0×n=0

-10×l+0×m+（10-σ1）n=0

且有：

l2+m2+n2=1

可求出：

l1=-n1=±m1=0

同理代入σ2=0可求出l2=n2=±m2=0

σ3=-10可求出l3=n3=0m3=±1

实际上解本题：

将对称阵经正交变换转变为对角阵，且求正交变换，即：

已知，求

使

练习：

Mpa，求主应力及主方向。

13．1．5主切应力和最大切应力maximumshearstress

主切应力principalshearstress——当切应力为极大值时，注意：

此时正应力不一定为0。

推导：

取应力主轴作为坐标轴

τ2=S2-σ2

=σ12l2+σ22m2+σ32n2-（σ1l2+σ2m2+σ3n2）

求τ的极值且条件为l2+m2+n2=1

解出三个极值为：

l=0m=±n=±

此时τ23=±（σ2-σ3）/2

此面上有σ=（σ2+σ3）/2

l=±m=0n=±

此时τ31=±（σ3–σ1）/2

此面上有σ=（σ1+σ3）/2

l=±m=±n=0

此时τ12=±（σ1–σ2）/2

此面上有σ=（σ1+σ2）/2

若σ1>σ2>σ3则τmax=（σ1–σ3）/2

此切应力为最大值即最大切应力。

主切应力平面

特性：

1）三向等拉等压状态σ1=σ2=σ3=±σ，则

τ12=τ23=τ13=0

2）三应力同时增减同值时，主切应力值不变。

13．1．6应力球张量与应力偏张量sphericaltensorofstressanddeviatortensorofstress

13．1．6．1应力张量的分解

σij=

应力偏张量应力球张量

其中：

σm=（σx+σy+σz）/3=J1/3

特点：

应力偏张量使形状变化，应力球张量使体积变化

结论：

材料的塑性变形由应力偏张量引起。

13．1．6．2应力偏张量性质

应力偏张量有三个不变量J1/J2/J3/

其中J1/=0J2/和J3/的表达式与前述类似。

在主坐标系中有：

J1/=0

J2/=[（σ1–σ2）2+（σ2-σ3）2+（σ3–σ1）2]/6

J3/=σ1，σ2，σ3，

作用：

根据应力偏张量判断变形类型

J3/>0伸长，J3/<0压缩，J3/=0平面应变

在三向静水压力下金属如何变形？

习题：

13章4、8

4、应力偏张量和应力球张量的物理意义是什么？

8、已知受力体内一点的应力张量分别为

MPa,MPa,MPa,

（1）画出该点的应力单元体

（2）求出该点的主应力及主方向、主切应力、最大切应力、等效应力。

（3）画出该点的应力莫尔圆。

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