高一清北班资料2映射函数的表示及基本性质docWord文件下载.docx
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）••…/（2012）./（血）。
练习：
X?
——2x+1
已知函数/（%）=-―,求值：
1+X2
/（-2012）+/（-2011）+・・・+/（-1）+/（0）+/⑴+…+/（2011）+/（2012）。
求/（4）的值。
（2）设函数/（切=[:
一玄（X~20）
[/[/（兀+5）],（兀＜20）
（3）已知：
函数/（兀）对于兀>
0有意义，且满足：
①/
（2）=1:
②f（xy）=f（x）+f（y）；
③x>
yf（x）>
f（y）o
1）证明：
/（l）=0；
x
2）证明：
/（-）=/«
-/（J）；
y
3）求了⑷的值;
4）女口果/（切+/（兀一3）52,求无的取值范围。
（4）已知函数/（x）满足：
/
（1）=右，4/（x）/（y）=/（x+y）+/（兀-y）（x,yw/?
）,则/（2012）二o
例4.设函数于（劝=竺必（兀hc）不恒为零，且对定义域内的任意兀都有/（4-x）=-/（x）,
x-c
而/（/W）=一—，求0、b、c的值。
2c-x
解法一：
由/（劝的解析式代入/（4-^）=-/（%）有：
仔+纠_处=竺必对一切
（4-c）-xc-xxeR（xc）恒成立二>
2ax2-Sax+（4ac+2bc-4b）=0为关于兀的恒等式。
从而有：
J2a=—8a=0[4ac+2bc-4/?
=0
h.
a=0
V/（x）不恒为0,且a=0.b^09于是c=2ob（c_2）=0
2（兀_c）2（兀_2）,又...广（于（劝）=_匕—_,
/（兀）—2（b+4）—2x
b（x-2）
••/（x）=-，.f（.f（兀））
x-22c-x4-x
:
.*_2）二2（—2）为兀的恒等式=（%_2）[（4-b）兀+（2b-8）]=0（x工2）为兀的恒
@+4）—2兀4-x
等式=>
（4_b）兀+（2方一8）=0对一切兀wR（兀工2）恒成立。
4—/?
=2/2—8=0=>
Z?
=4o于是a=0,b=4,c=2o
解法二：
在/（4-x）=一/'
O）中,
4d+Z?
h令兀=0时，/（4）=-/（0）,即旦上=J2b—2ac=be…①
4-cc令x=l时，f（3）=-/（I）,即^二一£
±
^n3d—2ac+2b—方c=0…②
3-c1-c
f
（2）=0,即竺卫=0=>
方=一20…③
2-c
a=b=0,与条件矛盾；
a=h=0,与条件矛盾。
令兀=2时,
③代入①得：
③代入②得：
③既与①矛盾也与②矛盾，这说明③不成立，即兀工2,于是c=2o
将c=2代入①或②都有：
a=0,・・・q=0,c=2,由/（x）不恒为零知：
bHO。
A/（x）=，/（l）=—b,/（/（l））=/（-^）=—^-=^^=>
^=4,
x-2-b-24-1
综上知：
a=0,b=4,c=2。
考点二：
函数的单调性及应用
例1.
（1）设PwR,讨论函数f（x）=-y/x-l-kx在其定义域上的单调性。
（3）已知定义域为R的函数/（兀）满足/（-%）=-/（%+4）,当x>
2时,/（X）单调递增。
如果Xj+x2<
4且（%,-2）（x2-2）<
0,则/（%|）+f（x2）的值为（）
A可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负
（4）实数尢、y满足（尤一1）3+2012（兀一1）=一1,且（丿一1）3+2012（丿一1）=1,求兀+丁的值。
X1
（5）定义在［0,1］上的函数于（兀）满足/（0）=0,f（x）+/（I-x）=1,/（-）=-/（x）,II当
0<
X,<
X2<
1时，/（西）5/（吃）,则/（计巨）二（）
例2.定义在R上的函数/（x）满足:
对任意实数m,n,总有f（m+ri）=f（m）•f（n），且当x>
0时，0v/（x）<
1o
（1）试求/（0）的值；
（2）判断/（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（卜一4卜卜+4|）]>
/（八_4/+13）对tg[4,6]恒成立，求实数兀的取值范围。
例3.定义在正实数集疋上的函数/（x）,对任意的疋,恒有f（mn）=f（ni）+f（n）成立，当x>
l时，/（x）vO。
1计算/⑴的值；
2证明：
函数y=/（x）在上是单调函数；
3比较/（呀）与5）;
弘）的大小,并证明。
例4.已知函数y=/（x）,xgN'
满足：
1对任意兀]，兀2GN*,X\工兀2,都有兀|/（兀1）+兀2/（兀2）>
Xl/（X2）+X2/（X1）;
2对任意nGN*都有/[/（H）]=3/1。
（1）试证明:
/（兀）为N*上的单调增函数;
（2）求/
（1）+/（6）+/（28）。
考点三：
函数奇偶性与应用
例1.
（1）函数y=/（x）与丁=&
（兀）有相同的定义域,且对定义域屮任意兀，有
/（—兀）+/（x）=0,g（劝•g（-x）=1,且g（0）=1,则两数F（Q=姜2+/⑴是（）
A.奇函数B.偶函数
g（x）-l
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
（2）函数/（兀）的定义域为R,若/（兀+1）与/（兀一1）都是奇函数，贝肛）
A./（兀）是偶函数B./（x）是奇函数
C./（%）=/（%+2）D./（x+3）是奇函数
（3）定义在R上的偶函数/（兀）满足：
对任意的旺,吃丘（一00,0]（曲HE），有（兀2一斗）（/（兀2）一/（西））>
0。
则当底N*时，有（）
A./（-n）<
/（/?
-l）<
/（7i+l）B./（n-l）<
/（-M）<
/（7i+l）
C./（«
4-1）<
/（-/?
）<
/（m-1）D・/（n+!
）<
-!
/（-；
!
）
（4）已知函数y=f（x）是定义在[-2,2]±
的偶函数,当xg[0,2]时/（兀）是单调减函数,则不等式/（x+1）>
/（1-2x）的解集是o
（5）设奇函数于（劝在（0,+oo）上为增函数，且/（I）=0,则不等式/⑴一'
UV0的解集x
为（）
A.（―l,O）U（l，+s）B.（-oo,-l）U（0,l）
C.（-oo,-l）U（l,+oo）D.（-1,0）u（0,1）
（6）设函数/（x）（xg/?
）为奇函数，于⑴二丄J（x+2）=/（兀）+/
（2）,则/（5）=（）
5
A.0B.1C.-D.5
（7）己知函数g（x）是定义域为/?
的奇函数，函数f（x）=g（x）+x2,则
/（-4）+/（—3）+/（-2）+/（-1）+/（0）+/（I）+/
（2）+/⑶+/（4）=
（8）已知函数/（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数兀都有
Xf{x+1）=（1+兀）/（兀）,则/（/（|））的值是（）
C.1
A.0例2.已知函数f（x）,g（x）在R上有定义，对任意的R有f（x-y）=f（x）g（y）一g（x）f（y）且/（I）丰0。
（1）求证：
/（兀）为奇函数；
（2）若/（I）=/
（2）,求g⑴+g（—l）的值。
例3.已知定义在/?
上的函数/⑴满足：
/
（1）=上，且对于任意实数兀y,总有
=/（%+>
'
）+f（x-y）成立。
（1）求/（0）的值，并证明函数/（兀）为偶函数；
（2）若对于任意非零实数y,总有/（y）>
2o设有理数召满足|x,|<
|x2|,判断/（壬）和/（勺）的大小关系，并证明你的结论。
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