高一清北班资料2映射函数的表示及基本性质docWord文件下载.docx
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)••…/(2012)./(血)。
练习:
X?
——2x+1
已知函数/(%)=-―,求值:
1+X2
/(-2012)+/(-2011)+・・・+/(-1)+/(0)+/⑴+…+/(2011)+/(2012)。
求/(4)的值。
(2)设函数/(切=[:
一玄(X~20)
[/[/(兀+5)],(兀<20)
(3)已知:
函数/(兀)对于兀>
0有意义,且满足:
①/
(2)=1:
②f(xy)=f(x)+f(y);
③x>
yf(x)>
f(y)o
1)证明:
/(l)=0;
x
2)证明:
/(-)=/«
-/(J);
y
3)求了⑷的值;
4)女口果/(切+/(兀一3)52,求无的取值范围。
(4)已知函数/(x)满足:
/
(1)=右,4/(x)/(y)=/(x+y)+/(兀-y)(x,yw/?
),则/(2012)二o
例4.设函数于(劝=竺必(兀hc)不恒为零,且对定义域内的任意兀都有/(4-x)=-/(x),
x-c
而/(/W)=一—,求0、b、c的值。
2c-x
解法一:
由/(劝的解析式代入/(4-^)=-/(%)有:
仔+纠_处=竺必对一切
(4-c)-xc-xxeR(xc)恒成立二>
2ax2-Sax+(4ac+2bc-4b)=0为关于兀的恒等式。
从而有:
J2a=—8a=0[4ac+2bc-4/?
=0
h.
a=0
V/(x)不恒为0,且a=0.b^09于是c=2ob(c_2)=0
2(兀_c)2(兀_2),又...广(于(劝)=_匕—_,
/(兀)—2(b+4)—2x
b(x-2)
••/(x)=-,.f(.f(兀))
x-22c-x4-x
:
.*_2)二2(—2)为兀的恒等式=(%_2)[(4-b)兀+(2b-8)]=0(x工2)为兀的恒
@+4)—2兀4-x
等式=>
(4_b)兀+(2方一8)=0对一切兀wR(兀工2)恒成立。
4—/?
=2/2—8=0=>
Z?
=4o于是a=0,b=4,c=2o
解法二:
在/(4-x)=一/'
O)中,
4d+Z?
h令兀=0时,/(4)=-/(0),即旦上=J2b—2ac=be…①
4-cc令x=l时,f(3)=-/(I),即^二一£
±
^n3d—2ac+2b—方c=0…②
3-c1-c
f
(2)=0,即竺卫=0=>
方=一20…③
2-c
a=b=0,与条件矛盾;
a=h=0,与条件矛盾。
令兀=2时,
③代入①得:
③代入②得:
③既与①矛盾也与②矛盾,这说明③不成立,即兀工2,于是c=2o
将c=2代入①或②都有:
a=0,・・・q=0,c=2,由/(x)不恒为零知:
bHO。
A/(x)=,/(l)=—b,/(/(l))=/(-^)=—^-=^^=>
^=4,
x-2-b-24-1
综上知:
a=0,b=4,c=2。
考点二:
函数的单调性及应用
例1.
(1)设PwR,讨论函数f(x)=-y/x-l-kx在其定义域上的单调性。
(3)已知定义域为R的函数/(兀)满足/(-%)=-/(%+4),当x>
2时,/(X)单调递增。
如果Xj+x2<
4且(%,-2)(x2-2)<
0,则/(%|)+f(x2)的值为()
A可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负
(4)实数尢、y满足(尤一1)3+2012(兀一1)=一1,且(丿一1)3+2012(丿一1)=1,求兀+丁的值。
X1
(5)定义在[0,1]上的函数于(兀)满足/(0)=0,f(x)+/(I-x)=1,/(-)=-/(x),II当
0<
X,<
X2<
1时,/(西)5/(吃),则/(计巨)二()
例2.定义在R上的函数/(x)满足:
对任意实数m,n,总有f(m+ri)=f(m)•f(n),且当x>
0时,0v/(x)<
1o
(1)试求/(0)的值;
(2)判断/(x)的单调性并证明你的结论;
(3)若不等式f[(t-2)(卜一4卜卜+4|)]>
/(八_4/+13)对tg[4,6]恒成立,求实数兀的取值范围。
例3.定义在正实数集疋上的函数/(x),对任意的疋,恒有f(mn)=f(ni)+f(n)成立,当x>
l时,/(x)vO。
1计算/⑴的值;
2证明:
函数y=/(x)在上是单调函数;
3比较/(呀)与5);
弘)的大小,并证明。
例4.已知函数y=/(x),xgN'
满足:
1对任意兀],兀2GN*,X\工兀2,都有兀|/(兀1)+兀2/(兀2)>
Xl/(X2)+X2/(X1);
2对任意nGN*都有/[/(H)]=3/1。
(1)试证明:
/(兀)为N*上的单调增函数;
(2)求/
(1)+/(6)+/(28)。
考点三:
函数奇偶性与应用
例1.
(1)函数y=/(x)与丁=&
(兀)有相同的定义域,且对定义域屮任意兀,有
/(—兀)+/(x)=0,g(劝•g(-x)=1,且g(0)=1,则两数F(Q=姜2+/⑴是()
A.奇函数B.偶函数
g(x)-l
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
(2)函数/(兀)的定义域为R,若/(兀+1)与/(兀一1)都是奇函数,贝肛)
A./(兀)是偶函数B./(x)是奇函数
C./(%)=/(%+2)D./(x+3)是奇函数
(3)定义在R上的偶函数/(兀)满足:
对任意的旺,吃丘(一00,0](曲HE),有(兀2一斗)(/(兀2)一/(西))>
0。
则当底N*时,有()
A./(-n)<
/(/?
-l)<
/(7i+l)B./(n-l)<
/(-M)<
/(7i+l)
C./(«
4-1)<
/(-/?
)<
/(m-1)D・/(n+!
)<
-!
/(-;
!
)
(4)已知函数y=f(x)是定义在[-2,2]±
的偶函数,当xg[0,2]时/(兀)是单调减函数,则不等式/(x+1)>
/(1-2x)的解集是o
(5)设奇函数于(劝在(0,+oo)上为增函数,且/(I)=0,则不等式/⑴一'
UV0的解集x
为()
A.(―l,O)U(l,+s)B.(-oo,-l)U(0,l)
C.(-oo,-l)U(l,+oo)D.(-1,0)u(0,1)
(6)设函数/(x)(xg/?
)为奇函数,于⑴二丄J(x+2)=/(兀)+/
(2),则/(5)=()
5
A.0B.1C.-D.5
(7)己知函数g(x)是定义域为/?
的奇函数,函数f(x)=g(x)+x2,则
/(-4)+/(—3)+/(-2)+/(-1)+/(0)+/(I)+/
(2)+/⑶+/(4)=
(8)已知函数/(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数兀都有
Xf{x+1)=(1+兀)/(兀),则/(/(|))的值是()
C.1
A.0例2.已知函数f(x),g(x)在R上有定义,对任意的R有f(x-y)=f(x)g(y)一g(x)f(y)且/(I)丰0。
(1)求证:
/(兀)为奇函数;
(2)若/(I)=/
(2),求g⑴+g(—l)的值。
例3.已知定义在/?
上的函数/⑴满足:
/
(1)=上,且对于任意实数兀y,总有
=/(%+>
'
)+f(x-y)成立。
(1)求/(0)的值,并证明函数/(兀)为偶函数;
(2)若对于任意非零实数y,总有/(y)>
2o设有理数召满足|x,|<
|x2|,判断/(壬)和/(勺)的大小关系,并证明你的结论。