解一元一次方程提高篇Word文档格式.docx
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此类问题一般先把方程化为ax+b=c的形式，分类讨论：
⑴当C:
0时'
无解；
（2）当c=o时'
原方程化为：
axb=o；
（3）当c0时，原方程可化为：
axb=c或axb--c.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax
=b，再分三种情况分类讨论：
（1）当a^O时，x=b；
（2）当a=0,b=0时，x
a
为任意有理数；
（3）当a=0,bK时，方程无解.
【典型例题】
类型一、解较简单的一元一次方程
.解方程：
（1）2x-5=x3；
（2）15.4x32=-0.6x.
32
【答案与解析】
解：
⑴討5誇3.
移项，合并得*8.
系数化为1,得x=48.
（2）15.4x+32=-0.6x.
移项，得15.4x+0.6x=-32.
合并，得16x=-32.
系数化为1,得x=-2.
【总结升华】方法规律：
解较简单的一元一次方
程的一般步骤：
（1）移项：
即通过移项把含有未知数的项放在等式的左边，把不含未知数的项（常数项）放在等式的右边.
（2）合并：
即通过合并将方程化为ax=b（aH0.）
（3）系数化为1:
即根据等式性质2:
方程两边都除以未知数系数a,即得方程的解X」.
举一反三：
【变式】下列方程的解法对不对？
如果不对，错在哪里？
应当怎样改正？
3x+2=7x+5
移项得3x+7x=2+5，合并得10x=7,
系数化为1得x=10.
【答案】以上的解法是错误的，其错误的原因是在移项时没有变号，也就是说将方程中右边的7x
移到方程左边应变为-7x，方程左边的2移到方程右边应变为-2.
正确解法：
移项得3x-7x=5-2,合并得-4x=3,系
数化为1得x「3.
类型二、去括号解一元一次方程。
2・解方程：
卜一扣一1）］=2（x_1）
223
【答案与解析】解法1:
先去小括号得:
再去中括
11122
xxx-
24433
解法3：
原方程可化为：
2【（x—1）1一扣-1）］今（x-1）
去中括号，得如一1严2-：
x（-（一1）
移项、合并，得
【总结升华】解含有括号的一元一次方程时，一般方法是由内到外或由外到内逐层去括号，但有时根据方程的结构特点，灵活恰当地去括号，以使计算简便•例如本题的方法3:
方程左、右两边都含（x-1），因此将方程左边括号内的一项x变为（X-1）后，把（x-1）视为一个整体运算.
❾3•解方程：
*2【2伊「卜卜=0.
2L2212丿一J
解法1:
（层层去括号）
去小括号1-4jL—m，
去中括号0
去大括号4^^8^442_1=0，
移项、合并同类项，得挣=驾系数化为1,得x=30.
解法2:
（层层去分母）
移项，得4榜2F1H「*，两边都乘2，得4」2；
2xT，卜1'
1=2，
移项，得3
两边都乘2,得1》一1一1=6
移项，得證x_1卜7，两边都乘2,得庆1=14,移项，得*=15，系数化为1,得X=30.
【总结升华】此题既可以按去括号的思路做，也可以按去分母的思路做.
【变式】解方程1呼卩_1）一61+4[=1.
213]4「5丿一J
【答案】
方程两边同乘2,得丄丄亠^一64=2，
3]4帖丿」
移项、合并同类项，得黑（*1卜6卜2，
两边同乘以3,得**1一6=一6.
移项、合并同类项，得寸*1=0,
两边同乘以4,得¥
一1=0,
移项，得5^1，系数化为1,得x=5.
类型三、解含分母的一元一次方程
【思路点拨】先将方程中的小数化成整数，再去分母，这样可避免小数运算带来的失误.
约分，得：
8x-3-25x+4=12-10X
移项，合并得:
方程两边同乘以1,去分母得：
8x-3-25x+4
=12-10x
移项，合并得：
11
x_7・
【总结升华】解此题一般是先将分母变为整数，再去分母，如解法1;
但有时直接去分母更简便一些，如解法2.
【变式】解方程.
0.50.3
原方程可化为专2尹=i.
53
去分母，得3（4y+9）-5（3+2y）=15.
去括号，得12y+27-15-10y=15.移项、合并同类项，得2y=3.
系数化为1,得y=|.
类型四、解含绝对值的方程
°
5•解方程：
3|2x|-2=0
【思路点拨】将绝对值里面的式子看作整体，先求出整体的值，再求x的值.
2x=|
|
当X时，得2x=f，解得:
X=|,当X<
0时，得-2x=|，解得：
x=-|,所以原方程的解是x=1或x=-1.
33
【总结升华】此类问题一般先把方程化为|ax+b=c的形式，再根据（axb）的正负分类讨论，注意不要漏解.
【变式】解方程|x-2卜1=0.
|x-2|=1，当x-2>
Q即x》2时,
原方程可化为x-2=1，解得x=3;
当x-2v0,即xv2时，原方程变形为-（x-2）=1,解
得x=1.K]
所以原方程的解为x=3或x=1.
类型五、解含字母系数的方程
6.解关于x的方程：
mx-1=nx
（m_n）x=1
当m—n=O，即m=n时，方程有唯一解为：
x=^^；
m—n
当m-n=O，即m=n时，方程无解.
【总结升华】解含字母系数的方程时，先化为最简形式ax=b，再根据x系数a是否为零进行分类讨论.
【变式】若关于x的方程
（k-4）x=6有正整数解，求自然数k的值.
•••原方程有解，•••k-4=0
约数，即k-4可为：
1，2，3，6
・•・k为：
5,6,7,10
答：
自然数k的值为：
5,6,7,10.
巩固练习题
一、选择题
1.关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k的值为（）.
A.-2B.3C.2D.-4
2•下列说法正确的是（）
A•由7x=4x-3移项得7x-4x=-3
B.由•口去分母得2（2x-1）=1+3（x-3）
C.由2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4X-2-3X-9=4
D.由2（x-1）=x+7移项合并同类项得x=5
3.将方程筈去分母得到方程6x-3-2x-2=6,
其错误的原因是（）
A.分母的最小公倍数找错
B.去分母时，漏乘了分母为1的项
C•去分母时，分子部分的多项式未添括号，造成符号错误
D•去分母时，分子未乘相应的数
4.解方程4牛-30卜7，较简便的是（）•
A.先去分母B.先去括号C.先两边都
除以5d.先两边都乘以5
55
5.小明在做解方程作业时，不小心将方程中一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：
2『冷十+■怎么办呢？
小明想了想，便翻看了书后的答案，此方程的解是y=5，于是小明很快补上了
3
这个常数，并迅速完成了作业.同学们，你们能补出这个常数吗？
它应是（）.
A.1B.2C.3D.4
6.（山东日照）某道路一侧原有路灯106盏，相
邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则
需更换的新型节能灯有（）
A.54盏B.55盏C.56
盏D.57盏
7.△"
表示一种运算符号，其意义是a」b=2a-b，若xA（1A3）=2,则x等于（）。
A.1B.*C.|D.2
8.关于x的方程（3m8n）x7=0无解，则mn是（）
A•正数B.非正数C.负数D.非
负数二、填空题
9.（福建泉州）已知方程|x|=2，那么方程的解
是.
10.当x=时，x—字的值等于2.
11.已知关于X的方程的|a-x拧+3解是4，则
（-a）2_2a=.
12.若关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，
则整数a的值是
13•已知关于x的方程mx3=2（x-m）的解满足x-2-3=0,则m的值是.
14.a、b、c、d为有理数，现规定一种新的运算:
三、解答题
15.解下列方程：
17.如图所示，用三种大小不同的六个正方形和一
个缺角的正方形拼成长方形ABCD,其中，GH=2cm，GK=2cm，设BF=xcm，
（1）用含x的代数式表示
（2）若DC=10cm,求x的值.
（3）求长方形ABCD的面积.
1.【答案】C
【解析】方程3x+5=0的解为x—5，代入方程3
3x+3k=1,再解方程可求出k.
2.【答案】A.
【解析】由7x=4x-3移项得7x-4x=-3;
B.宁=1导去分母得2（2x-1）=6+3（x-3）;
C.把2（2x-1）-3（x-3）=1去括号得4x-2-3x+9=1;
D.2（x-1）=x+7,2x-2=x+7,2x-x=7+2,x=9
3.【答案】C
【解析】把方程筈1去分母，得23
3（2x-1）-2（x-1）=6,6x-3-2x+2=6与6x-3-2x-2=6相比较，很显然是符号上的错误.
4.【答案】B
【解析】因为4与5互为倒数，所以去括号它
54
们的积为1.
5.【答案】B
【解析】设被污染的方程的常数为k,则方程为2y-2=2y+k，把y=5代入方程得詈-养^栋，移项得
心51罟，合并同类项得-k=-2,系数化为1得k
623
=2,故选B.
6.【答案】B
【解析】设有x盏，则有（x_1）个灯距，由题意可得：
36（106-1）=70（x-1），解得:
x=55
7.【答案】B
【解析】由题意可得：
△”表示2倍的第一个
数减去第二个数，由此可得：
1,3=21一3=一1,而xg）—2X仁2,解得：
V
8.【答案】B
【解析】原方程可化为：
（3m8n）x「7，将“m8n”看作整体，只有3m8n=0时原方程才无解，由此可得m,n均为零或一正一负，所以mn的值应为非正数.
9.【答案】Xi=2,X2=-2
10.【答案】-31
11.【答案】24
【解析】把x=4代入方程，得号a-4=]3，解得a
=6,从而（-a）2-2a=24.
12•【答案】2或3
【解析】由题意，求出方程的解为：
ax-4x=l-3
（a_4）x—2,x—二,因为解为正整数，所以
a_477
a_4二一1或一2,即a=2或3.
13.【答案】-5或1
【解析】由|X—2—3=0，得：
%-2=3或-3，即x为5或-1。
当x=5时，代入mx3=2（x—m）得，m=1；
当x—1时，代入得m=一5.
14.【答案】3
【解析】由题意，得2>
5-4（1-x）=18,解得x=3.
15.【解析】
（1）原方程可化为：
，宁
（3）原方程可化为:
去分母，化简得：
—15x=13
16.【解析】
⑴原方程可化为：
（-4）x=b8
当a=4时，方程有唯一解:
当a=4,b—8时，方程无解；
当a=4，b「8时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.
（2）（m-1）x=（m-1）（m-2）
当m—1=0，即m=1时，方程有唯一的解：
x二m—2.当m-1=0，即m=1时，原方程变为0x=0.原方程的解为任意有理数，即有无穷多解.
⑶（m—1）（m—2）x=mT
m"
m=2时，原方程有唯一解：
..1・x_m-2；
当m=1时，原方程的解为任意有理数，即有无穷多解；
当m=2时，原方程无解.
17.【解析】
（1）x2,2x2（或3x）.
（2）2x+2+x+2=10.解得x=2.
（3）从两个角度表示线段DM长度时可得:
3x=2x+2,解得x=2.
长方形的长为:
x+x+x+x+2+x+2=14Cm,
宽为:
4x+2=4x2+2=10Cm.
所以长方形的面积为：
1410=140cm2
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