高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形47正弦定理和余弦定理学案理Word文档格式.docx
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A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
B
（2）[教材习题改编]在△ABC中，已知∠A＝60°
，∠B＝75°
，c＝20，则a＝________.
10
解三角形的一般类型：
已知两边及一角；
已知两角及一边；
已知三边．
（1）在△ABC中，已知a＝5，b＝2，C＝30°
，则c＝________.
解析：
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝52＋
（2）2－2×
5×
2cos30°
＝7，所以c＝.
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，sinA＝，b＝，则a＝________.
由正弦定理＝，得a＝＝.
（3）在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶4∶3，则cosC＝________.
设a＝2k，b＝4k，c＝3k（k>
0），
则cosC＝＝.
[典题1] [2017·
山师大附中一模]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.
（1）求角B的大小；
（2）若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．
[解]
（1）∵bsinA＝acosB，
由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.
在△ABC中，sinA≠0，
即得tanB＝，∴B＝.
（2）∵sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
即9＝a2＋4a2－2a·
2acos，
解得a＝，∴c＝2a＝2.
[点石成金] 1.解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；
以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．
2．三角形解的个数的判断：
已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；
已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cosB＝.
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A－B）的值．
解：
（1）由余弦定理，得
cosB＝＝＝，
即a2＋c2－4＝ac.
∴（a＋c）2－2ac－4＝ac，∴ac＝9.
由得a＝c＝3.
（2）在△ABC中，cosB＝，
∴sinB＝＝＝.
由正弦定理，得＝，
∴sinA＝＝＝.
又A＝C，∴0＜A＜，
∴cosA＝＝，
∴sin（A－B）＝sinAcosB－cosAsinB
＝×
－×
＝.
考点2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
三角形中的角的关系判断误区：
角的大小比较的误区；
角的个数的误区．
（1）在△ABC中，若sinA>
sinB，则A与B的大小关系是________．
A>
由正弦定理，得sinA＝，sinB＝.
若sinA>
sinB，则>
，即a>
b，故A>
B.
（2）在△ABC中，若A＝60°
，a＝4，b＝4，则B等于________．
45°
由正弦定理，有＝，则sinB＝＝＝.又a>
b，所以A>
B，故B＝45°
.
注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况．
判断三角形的形状．
利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径实现：
（1）把角的条件转化为边，通过边的关系判断；
（2）把边的条件转化为角，通过计算角的大小进行判断．
[典题2]
（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形
C．锐角三角形D．等边三角形
[答案] A
[解析]由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得
a2＋b2－c2＝－ab，
所以cosC＝＝＝－＜0，
所以90°
＜C＜180°
，即△ABC为钝角三角形．
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．不确定
[答案] B
[解析] 依据题设条件的特点，由正弦定理，
得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，
有sin（B＋C）＝sin2A，
∵A∈（0，π），∴sinA≠0.
从而sin（B＋C）＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，
∴A＝，故选B.
[题点发散1] 若将本例条件改为“若2sinAcosB＝sinC”，那么△ABC一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
解法一：
由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin（A－B）＝0，因为－π<
A－B<
π，所以A＝B.
解法二：
由正弦定理，得2acosB＝c，再由余弦定理得
2a·
＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.
[题点发散2] 若将本例条件改为“若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC”，确定△ABC的形状．
利用边的关系来判断：
由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝＝.
又由余弦定理，得cosA＝，
∴＝，
即c2＝b2＋c2－a2，∴a2＝b2，∴a＝b.
又∵a2＋b2－c2＝ab.
∴2b2－c2＝b2，∴b2＝c2，
∴b＝c，∴a＝b＝c.
∴△ABC为等边三角形．
利用角的关系来判断：
∵A＋B＋C＝180°
，
∴sinC＝sin（A＋B），
又∵2cosAsinB＝sinC，
∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，
∴sin（A－B）＝0.
又∵A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，
又由a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
又0°
<
C<
180°
，所以C＝60°
[题点发散3] 若将本例条件改为“若△ABC的三个内角满足sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13”，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
C
在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝5∶11∶13，
∴a∶b∶c＝5∶11∶13，
故设a＝5k，b＝11k，c＝13k（k>
由余弦定理可得
cosC＝＝＝－<
0，
又∵C∈（0，π），∴C∈，
∴△ABC为钝角三角形．
[题点发散4] 若将本例条件改为“（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B）”，试判断三角形的形状．
∵（a2＋b2）sin（A－B）＝（a2－b2）sin（A＋B），
∴b2[sin（A＋B）＋sin（A－B）]＝a2[sin（A＋B）－sin（A－B）]，
∴2sinAcosB·
b2＝2cosAsinB·
a2，
即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，
又sinA·
sinB≠0，
∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，
∴2A＝2B或2A＝π－2B，
∴A＝B或A＋B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
由正弦定理、余弦定理，得
a2b＝b2a，
∴a2（b2＋c2－a2）＝b2（a2＋c2－b2），
∴（a2－b2）（a2＋b2－c2）＝0，
∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.
即a＝b或a2＋b2＝c2.
[题点发散5] 若将本例条件改为：
“2asinA＝（2b＋c）·
sinB＋（2c＋b）sinC，且sinB＋sinC＝1”，试判断△ABC的形状．
由已知，根据正弦定理，得
2a2＝（2b＋c）b＋（2c＋b）c，
即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－，sinA＝，
则sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.
解得sinB＝sinC＝.
故B＝C＝，
所以△ABC是等腰钝角三角形．
[点石成金] 1.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
2．判断三角形形状主要有以下两种途径：
（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；
（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若<
cosA，则△ABC为（ ）
A
依题意得<
cosA，
sinC<
sinBcosA，
所以sin（A＋B）<
即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA<
所以cosBsinA<
0.
又sinA>
0，于是有cosB<
0，B为钝角，△ABC是钝角三角形．
考点3 与三角形面积有关的问题
三角形中常用的面积公式
（1）S＝ah（h表示边a上的高）；
（2）S＝bcsinA＝acsinB＝absinC；
（3）S＝r（a＋b＋c）（r为三角形的内切圆半径）．
[教材习题改编]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，S△ABC＝，则角C的值为________．
60°
或120°
由S△ABC＝absinC＝×
2×
3sinC＝，得sinC＝，因为C为三角形ABC的内角，所以C＝60°
或C＝120°
三角形面积公式．
利用正余弦定理三角形的面积还可以写成：
S＝2R2sinAsinBsinC，
S＝.
[典题3] [2017·
河北衡水模拟]如图，在△ABC中，sin∠ABC＝，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝.
（1）求BC的长；
（2）求△DBC的面积．
[解]
（1）因为sin∠ABC＝，
所以cos∠ABC＝1－2×
在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，
则由余弦定理可得，9b2＝a2＋4－a，①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得，
cos∠ADB＝，cos∠BDC
因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，
所以有＝－，
所以3b2－a2＝－6.②
由①②可得，a＝3，b＝1，即BC＝3.
（2）由
（1）得△ABC的面积为
S＝×
3×
＝2，所以△DBC的面积为.
[点石成金] 三角形面积公式的应用原则
（1）对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．
（2）与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
[2017·
湖北武汉质量预测]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2－b2－c2＋bc＝0,2bsinA＝a，BC边上中线AM的长为.
（1）求角A和角B的大小；
（2）求△ABC的面积．
（1）由a2－b2－c2＋bc＝0，得
b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝＝，∴A＝，
由2bsinA＝a，得b＝a，∴B＝A＝.
（2）设AC＝BC＝x，由余弦定理，
得AM2＝x2＋－2x·
·
＝（）2，
解得x＝2，故S△ABC＝×
＝2.
真题演练集训
1．[2014·
新课标全国卷Ⅱ]钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（ ）
A．5B.
C．2D．1
由题意可得AB·
BC·
sinB＝，
又AB＝1，BC＝，所以sinB＝，
所以B＝45°
或B＝135°
当B＝45°
时，由余弦定理可得
AC＝＝1，
此时AC＝AB＝1，BC＝，易得A＝90°
，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去．所以B＝135°
AC＝＝.
2．[2014·
新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC，则△ABC面积的最大值为________．
∵＝＝＝2R，a＝2，又（2＋b）（sinA－sinB）＝（c－b）sinC可化为（a＋b）（a－b）＝（c－b）c，∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cosA，∴A＝60°
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·
cos60°
＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc（当且仅当b＝c时等号成立），
∴S△ABC＝·
bc·
sinA≤×
4×
3．[2016·
新课标全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝，cosC＝，a＝1，则b＝________.
因为cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝，sinC＝，
从而sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC
＋×
由正弦定理＝，得b＝＝.
从而cosB＝－cos（A＋C）＝－cosAcosC＋sinAsinC＝－×
由正弦定理＝，得c＝＝.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝.
解法三：
因为cosA＝，cosC＝，所以sinA＝，sinC＝，
从而b＝acosC＋ccosA＝.
解法四：
如图，作BD⊥AC于点D，
由cosC＝，a＝BC＝1，知CD＝，BD＝.
又cosA＝，所以tanA＝，从而AD＝.
故b＝AD＋DC＝.
4．[2016·
新课标全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB＋bcosA）＝c.
（1）求C；
（2）若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
（1）由已知及正弦定理，得
2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinC，
2cosCsin（A＋B）＝sinC，
故2sinCcosC＝sinC，C∈（0，π）．
可得cosC＝，所以C＝.
（2）由已知，absinC＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理，得a2＋b2－2abcosC＝7，
故a2＋b2＝13，从而（a＋b）2＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
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转化与化归思想在解三角形中的应用
[典例] [2016·
[审题视角]
（1）利用正弦定理进行边角互化求解；
（2）利用三角形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出a＋b，进而求得△ABC的面积．
[解]
（1）由已知及正弦定理得，
①
2cosCsin（A＋B）＝sinC．故2sinCcosC＝sinC.
（2）由已知，得absinC＝.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7.
故②
满分心得
1．
（1）题中①处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的式子转化为同类．
（2）题中②处不能结合余弦定理将（a＋b）视为整体进行求解而走入误区．
2．转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性．
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