新课标全国3卷理数Word文档格式.docx
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21100
9
二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如下茎叶图:
(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?
并说明理由;
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人
数填入下面的列联表:
超过m
不超过m
第种生产方式
(3)根据
(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异?
附.K2=m一丨:
1'
:
in:
ub
P(K>
k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
19.(12分)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧I所在平面垂直,M是I上异于C,D的点.
(1)证明:
平面AMD丄平面BMC;
(2)
当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
|成等差数列,
(0,—匚)且倾斜角为a的
kv—1;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且齐+■■+■!
.=I•证明:
|,Pl'
|,
并求该数列的公差.
21.已知函数f(x)=(2+x+ax2)In(1+x)-2x.
(1)若a=0,证明:
当-1vxv0时,f(x)v0;
当x>
0时,f(x)>
0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
[选修4-4:
坐标系与参数方程](10分)fx=cose
22.在平面直角坐标系xOy中,OO的参数方程为一,(B为参数),过点
ty=smy
直线I与OO交于A,B两点.
(1)求a的取值范围;
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.
[选修4-5:
不等式选讲](10分)
23.(2018?
新课标川)设函数f(x)=|2x+11+|x—1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x€[0,+8)时,f(x)wax+b,求a+b的最小值.
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标川)
参考答案与试题解析
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.C;
2.D;
3.A;
4.B;
5.C;
6.A;
7.D;
8.B;
9.C;
10.B;
11.C;
12.B;
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.丄;
14.—3;
15.3;
16.2;
z—一一
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)(2018?
0},B={0,1,2},则AAB=()
A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}
【分析】求解不等式化简集合A,再由交集的运算性质得答案.
【解答】解:
IA={x|x—1>
0}={x|x>
1},B={0,1,2},
•••AAB={x|x>
1}A{0,1,2}={1,2}.
故选:
C.
新课标川)(1+i)(2—i)=()
A.—3—iB.—3+iC.3—iD.3+i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【解答】解:
(1+i)(2—i)=3+i.
D.
3.(5分)(2018?
新课标川)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,
图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼
的木构件的俯视图可以是()
【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法,判断选项的正误即可.
【解答】解:
由题意可知,如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体,是榫头,从图形看出,轮廓是长方形,内含一个长方形,并且一条边重合,另外3边是虚线,所以木构件的俯视图是A.
A.
4.(5分)(2018?
新课标川)若
sin
1
a=,
则COS2a=(
A.二B.|C.-丄D.-—
9999
【分析】C0S2a=1-2sina,由此能求出结果.
•••sina=,
3
•••C0S2a=—2Sin2a=-2X_L=I
99
B.
5.(5分)(2018?
新课标川)(x2+…)5的展开式中x4的系数为()
X
A.10B.20C.40D.80
r=:
m「丨,由10-3r=4,
u
【分析】由二项式定理得(X2+:
:
)5的展开式的通项为:
Tr+1=-(x2)5-r('
)
解得r=2,由此能求出(x2+2)5的展开式中x4的系数.
x
由二项式定理得(x2+■)5的展开式的通项为:
Tr+1=-(x2)5-「(&
「=」•・-:
°
Z
由10-3r=4,解得r=2,
•(x2+—)5的展开式中x4的系数为三=40.
X5
22
P在圆(x-2)+y=2上,则厶
.'
.II-'
),点P到直线x+y+2=0
由此能求出△ABP面积的取值
6.(5分)(2018?
新课标川)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点ABP面积的取值范围是()
A.[2,6]B.[4,8]C.[■:
3'
]D.[2■:
3■:
]
【分析】求出A(-2,0),B(0,-2),|AB|=2、应,设P(2血CQS&
£
的距离:
d=一—门
V2V2
范围.
•••直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,
•••令x=0,得y=-2,令y=0,得x=-2,
•A(-2,0),B(0,-2),|AB|=.17二2匚,
•••点P在圆(x-2)2+y2=2上,•设P(2+Y丄),
•••点P到直线x+y+2=0的距离:
12+V2cos06+21
d=
V2
|2sin(9+-^)+4|
€[心2],
兀|2sin(6
•••sin(;
)€[-1,1],-d=
•△ABP面积的取值范围是:
[「—-「一:
二[]=【2,6]-
7.(5分)(2018?
新课标川)函数y=-x4+x2+2的图象大致为()
【分析】根据函数图象的特点,求函数的导数利用函数的单调性进行判断即可.
函数过定点(0,2),排除A,B.
函数的导数f'
(x)=-4x3+2x=-2x(2x2-1),
由f'
(x)>
0得2x(2x2-1)v0,
得xv-二丄或0v,此时函数单调递增,排除C,
8.(5分)(2018?
新课标川)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设
X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)VP(X=6),则p=()
A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3
【分析】利用已知条件,转化为二项分布,利用方差转化求解即可.
某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,看做是独立重复事件,满足X〜B(10,p),
P(x=4)VP(X=6),可得CiOp4(l-p)e<
CiOp6Cl-p)4,可得1-2pv0.即p>
£
.
因为DX=2.4,可得10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4(舍去).
•••△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
2bc
ji
-0VCvn,--C=.
4
10.(5分)(2018?
新课标川)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9「,则三棱锥D-ABC体积的最大值为()
A.12「;
B.18■:
C.24:
D.54■:
【分析】求出,△ABC为等边三角形的边长,画出图形,判断D的位置,然后求解即可.
△ABC为等边三角形且面积为9二,可得亠丄—八比I;
解得AB=6,
球心为O,三角形ABC的外心为0'
显然D在O0的延长线与球的交点如图:
O'
C=,仝,00=J••:
-=2,
则三棱锥D-ABC高的最大值为:
6,
则三棱锥D-ABC体积的最大值为:
..|,'
=18
11.
(5分)(2018?
新课标川)设F1,F2是双曲线C:
-'
=1(a>
0.b>
0)的左,右焦点,O是坐标原点.过
a2bZ
F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若IPFJn^lOP,则C的离心率为()
A.;
.级B.2C.「;
D.■:
【分析】先根据点到直线的距离求出|PFJ=b,再求出|OP=a,在三角形F1PF2中,由余弦定理可得
IPF|2=|PF2|2+|F1F2I2-2|PF2I?
|F1F2Icos/PF2O,代值化简整理可得、:
-a=c,问题得以解决.
双曲线C:
二一-==1(a>
0.b>
0)的一条渐近线方程为y」x,
_212凤
•••点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,•••lOPl=.'
「-=a,cos/PRO-,
•-IPFi|=7|OP|,
•••IPFi|詁0,
在三角形FiPFF中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2I2-2|PR|?
|FiR|COSZPF2O,
•6a2=b2+4c2-2Xbx2cx一=4c2-3b2=4c2-3(c2-a2),
c
即3a2=c2,
即呼'
ja=c,
•e==■:
a
12.(5分)(2018?
新课标川)设a=logo.20.3,b=log20.3,则()
A.a+bvabv0B.abva+bv0C.a+bv0vabD.abv0va+b
【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.
•a=log02°
.3」呂。
山,b=log20.3」或"
*,
7吕51§
5
7„〔:
「「〕;
=「:
Ig21g5
IgO.31§
0,31戎”・lg罟
一•二>
lg2lg5lg21E5
•abva+bv0.
1呂2鹿5'
十十十
13.(5分)(2018?
新课标川)已知向量吐(1,2),b=(2,-2),C=(1,门.若C//(2日+卜),贝U入―豆一.
【分析】利用向量坐标运算法则求出2;
+b=(4,2),再由向量平行的性质能求出入的值.
••向量3=(1,2),b=(2,-2),
•:
!
=(4,2),
•=(1,)71(2i+■■),
「■
•■一,
解得入=.
故答案为:
;
.
14.(5分)(2018?
新课标川)曲线y(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,贝Va=-3【分析】球心函数的导数,利用切线的斜率列出方程求解即可.
曲线y(ax+1)ex,可得y'
=ae(ax+1)ex,曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,可得:
a+仁-2,解得a=-3.
-3.
15.(5分)(2018?
新课标川)函数f(x)=cos(3x+)在[0,n的零点个数为
可得3x+=+kn,k€Z,即x=+kn,
6293
【分析】由题意可得f(x)=cos(3x+)=0,
即可求出.
•••f(x)=cos(3x+"
=0,
/•3x+卫_JL+kn,k€Z,
62
•••x=+一kn,k€Z,
93
k=0
时,
X—,
k=1
x=n,
k=2
7x=n,
k=3
x=n,
x€[
0,
n,
JI
X=—
或x=…n,
当
或x=n,
故零点的个数为3,
16.(5分)(2018?
新课标川)已知点M(-1,1)和抛物线C:
y=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于
A,B两点.若/AMB=90°
贝Uk=
2.
【分析】由已知可求过A,B两点的直线方程为y=k(x-1),然后联立直线与抛物线方程组可得,k2x2-2(2+k2)
x+k2=0,可表示X1+X2,X1X2,y1+y2,y〔y2,由/AMB=90,向量的数量积为0,代入整理可求k.
•••抛物线C:
y2=4x的焦点F(1,0),
•••过A,B两点的直线方程为y=k(x-1),
2_
联立(屮一4葢可得,k2x2-2(2+k2)x+k2=0,
y=k(x-l)
设A(X1,yj,B(X2,y2),
4+4
X1+X2=,X1X2=1,
二y1+y2=k(X1+X2-2)=,y1y2=k2(X1-1)(X2-1)=『[X1X2-(X1+X2)+1]=-4,
M(-1,1),
-MA=(xi+i,yi-1),MB=(X2+1,y2—1),
•••/AMB=90=0,「.”,?
TI,=O
■'
■(xi+1)(X2+I)+(yi-1)(y2-1)=0,整理可得,Xix2+(X1+X2)+yiy2-(yi+y2)+2=0,
1+2+‘一-4-二+2=0,
k2k
即k2-4k+4=0,
■k=2.
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17〜21题为必考题,每个试题考生都
必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)(2018?
新课标川)等比数列{an}中,ai=i,a5=4a3.
【分析】
(1)利用等比数列通项公式列出方程,求出公比q=±
2,由此能求出{an}的通项公式.
n
(2)当ai=1,q=-2时,Sn=.,由Sm=63,得Sm='
=63,m€N,无解;
当ai=1,q=2时,Sn=2
-1,由此能求出m.
(1):
等比数列{an}中,ai=i,a5=4a3.
■1xq4=4x(1xq2),
解得q=±
2,
当q=2时,an=2n1,
当q=-2时,an=(-2)n1,
■{an}的通项公式为,an=2n-1,或an=(-2)
(2)记Sn为{an}的前n项和.
当ai=i,q=-2时,
=巧([-q11)=1-(-2)二1-(-2严
1-q3
.-1n当ai=1,q=2时,Sn===2-1,
1-q1-2
由5m=63,得Sm=2-1=63,m€N,
解得m=6.
18.(12分)(2018?
新课标川)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新
的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第
一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:
min)绘制了如下茎
叶图:
9S77654332
(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数
填入下面的列联表:
超过
m
不超过
附:
K2=M1:
1'
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P(K2>
(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数,再填写列联表;
(3)列联表中的数据计算观测值,对照临界值得出结论.
(1)根据茎叶图中的数据知,
第一种生产方式的工作时间主要集中在70〜92之间,
第二种生产方式的工作时间主要集中在65〜90之间,
所以第二种生产方式的工作时间较少些,效率更高;
(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,
排在中间的两个数据是79和81,计算它们的中位数为m-r=80;
由此填写列联表如下;
总计
15
20
40
(3)根据
(2)中的列联表,计算
n(ad-衣严=40X(15X15-5X5)2
..i'
'
■:
d:
=.II.'
•••能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.(12分)(2018?
新课标川)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是I1上
异于C,D的点.
(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.
20.(12分)(2018?
新课标川)已知斜率为k的直线I与椭圆C:
+——=1交于A,B两点,线段AB的中点为
4I;
M(1,m)(m>
0).
kv-丄
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且[+;
+—=i.证明:
|■「」,|丁|,^d成等差数列,并求该数列的公差.
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),利用点差法得6(x1—x2)+8m(y1—y2)
=0,k=^F=-6=-3x!
-x
12
又点M(1,m)在椭圆内,即^,解得m的取值范围,即可得
43
(2)设A(X1,y1),B(X2,y2),C(X3,『3),可得X1+x?
=2
由’丨'
+■「+1=I,可得X3-1=0,由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a-ex1=2-X1,|FB|=2-X2,|FP|=2-
22
13
亍3芍•即可证明|FA|+|FB|=2|FP|,求得A,B坐标再求公差.
£
(1)设A(X1,y1),B(X2,