第七讲 解析几何新题型的解题技巧.docx

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第七讲解析几何新题型的解题技巧

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耐力,是一种不显山石露水的执着；是一种不惧风不畏雨的坚忍；是一种不图名不图利的忠诚。

第七讲解析几何新题型的解题技巧

【命题趋向】

解析几何例命题趋势：

１.注意考查直线的基本概念,求在不同条件下的直线方程,直线的位置关系,此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现,每年必考

2.考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现

3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现,有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题,如求轨迹，与向量结合,与求最值结合,属中档题

分值一般在1７-－-22分之间,题型一般为１个选择题,1个填空题，1个解答题.

【考点透视】

一.直线和圆的方程

１.理解直线的斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式,掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程.

２.掌握两条直线平行与垂直的条件,两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系.

3.了解二元一次不等式表示平面区域.

4.了解线性规划的意义，并会简单的应用．

５.了解解析几何的基本思想，了解坐标法.

6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念,理解圆的参数方程．

二．圆锥曲线方程

1.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．

2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.

3.掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

【例题解析】

考点１.求参数的值

求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手，构造方程解之.

例1.（2006年安徽卷）若抛物线的焦点与椭圆　的右焦点重合，则的值为（　）

A．　　　Ｂ．　　C.　　　Ｄ.

考查意图:

本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质．

解答过程：

椭圆　的右焦点为（2，0）,所以抛物线　的焦点为（2,0），则，故选D.

考点2．　求线段的长

求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之．

例2.（20０７年四川卷文）已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+ｙ＝0对称的相异两点A、B,则|AB|等于

Ａ.3　　B.4　　　Ｃ.3　　D.4

考查意图:

　本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.

解:

设直线的方程为　,由，进而可求出的中点，又由　在直线上可求出，

∴,由弦长公式可求出．

故选C

例3.（2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴

分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部

分于七个点,是椭圆的一个焦点，

则　＿__＿__＿＿____.

考查意图:

本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.

解答过程：

由椭圆的方程知　

∴

故填35.

考点３.曲线的离心率

曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:

（1）椭圆的离心率e＝∈（0，１）（e越大则椭圆越扁）;

（2）双曲线的离心率e=　∈（１,＋∞）　（e越大则双曲线开口越大）.

结合有关知识来解题．

例４.（2007年全国卷）文（４）理（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是　,　，则双曲线方程为

A.　Ｂ．　　C.　　D.

考查意图:

本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.

解答过程：

　所以故选（A）.

小结:

对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念,要注意认真掌握．尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会．

例5.（20０6年广东卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点Ｐ到右焦点的距离与点Ｐ到右准线的距离之比等于（）

　　Ａ.　　　　　B．C.2　　Ｄ．４

考查意图：

本题主要考查双曲线的性质和离心率e=∈（1，+∞）的有关知识的应用能力.

解答过程:

依题意可知　.

考点4.求最大（小）值

求最大（小）值,是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值：

特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.

例６．（20０6年山东卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4，0）的直线与抛物线相交于A（ｘ１，ｙ1）,B（ｘ2，y2）两点，则y12+ｙ22的最小值是　　　　.

考查意图:

　本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法.

解:

设过点P（4,0）的直线为

故填３２.

考点5　圆锥曲线的基本概念和性质

圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.

例７．（2０0７年广东卷文）

在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为２　的圆Ｃ与直线y=x相切于坐标原点O．椭圆=１与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.

（1）求圆Ｃ的方程;

（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段ＯF的长.若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

[考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．

[解答过程]

（1）设圆C的圆心为　（m,ｎ）

　则解得

所求的圆的方程为　　

（2）由已知可得　,．

椭圆的方程为　,　右焦点为Ｆ（　4,　0）;

假设存在Ｑ点使,

.

整理得　,　代入．　

得:

　.

因此不存在符合题意的Q点.

例8．（2007年安徽卷理）

如图,曲线Ｇ的方程为．以原点为圆心,以

为半径的圆分别与曲线G和y轴的　正半轴相交于Ａ与点B.

直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A　的横坐标a　与点C的横坐标ｃ的关系式；

（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为,求证：

直线CD的斜率为定值.

[考查目的］本小题综合考查平面解析几何知识,主要涉及平面直角坐标素中的

两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系

考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.

[解答过程］（I）由题意知,

因为

由于　（１）

由点B（0，t），C（c,0）的坐标知，直线BC的方程为　

又因点A在直线ＢC上，故有

将

（1）代入上式，得解得　.

（II）因为，所以直线CD的斜率为

所以直线ＣD的斜率为定值.

例9．已知椭圆　，ＡB是它的一条弦，是弦ＡB的中点,若以点为焦点，椭圆Ｅ的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足　，求：

（1）椭圆Ｅ的离心率;（２）双曲线C的方程.

解答过程:

（1）设Ａ、Ｂ坐标分别为　，

　则,　,二式相减得:

所以,　，　则　;

（2）椭圆E的右准线为,双曲线的离心率　，

　设是双曲线上任一点,则:

　,

两端平方且将　代入得：

或,

　　当　时,双曲线方程为：

，不合题意,舍去；

当时,双曲线方程为：

，即为所求．

小结:

（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法;

（2）求解圆锥曲线时,若有焦点、准线,则通常会用到第二定义.

考点6　利用向量求曲线方程和解决相关问题

利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.

典型例题:

例1０．（200６年山东卷）双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为Ｃ的一条渐近线.

（1）求双曲线C的方程;

（2）过点Ｐ（０，4）的直线,交双曲线C于A,B两点，交x轴于Ｑ点（Ｑ点与C的顶点不重合）.当,且　时,求Q点的坐标.

考查意图:

本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.

解答过程:

（Ⅰ）设双曲线方程为　，　

由椭圆，求得两焦点为,

　对于双曲线,又为双曲线的一条渐近线

解得　,

　双曲线的方程为　

（Ⅱ）解法一:

由题意知直线的斜率存在且不等于零．

设的方程:

，,则　．

．

在双曲线上,　．

同理有：

若则直线过顶点，不合题意.

是二次方程的两根.

，　,此时.

所求的坐标为.

解法二：

由题意知直线的斜率存在且不等于零

设　的方程，,则．

分的比为　．

由定比分点坐标公式得

下同解法一

解法三:

由题意知直线的斜率　存在且不等于零

设的方程:

　，则.

　，　.

　，　，,

又，,即．

将代入得.

否则与渐近线平行.

　.

．

.

解法四：

由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：

,则

　．

　.同理ﻩ.

.

即.ﻩﻩﻩ（*）

又

消去ｙ得　．

当时,则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，　．

由韦达定理有：

代入（*）式得.

　所求Q点的坐标为.

例11．（2０07年江西卷理）

设动点Ｐ到点A（-l,０）和Ｂ（1,０）的距离分别为d1和d2,

∠ＡＰＢ＝２θ，且存在常数λ（０＜λ＜1＝,使得d1ｄ２ｓin２θ=λ.

（１）证明：

动点P的轨迹C为双曲线,并求出C的方程;

（2）过点Ｂ作直线交双曲线C的右支于M、Ｎ两点,试确定λ的范围,

使?

＝0,其中点O为坐标原点.

［考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力.

[解答过程］解法1:

（1）在　中，,即,

即（常数）,

点的轨迹　是以为焦点,实轴长的双曲线.

方程为：

.

（2）设,

①当　垂直于轴时,的方程为　，，在双曲线上．

即　,因为,所以.

②当不垂直于　轴时，设的方程为　.

由得：

，

由题意知:

所以,．

于是:

　．

因为　，且在双曲线右支上，所以

．

由①②知，.

解法2:

（1）同解法1

（2）设,，的中点为.

①当时，　，

因为，所以；

②当　时,.

又.所以；

由得,由第二定义得　

．

所以．

于是由得　

因为　,所以,又　,

解得:

．由①②知．

考点7　利用向量处理圆锥曲线中的最值问题

利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易.

例12.设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点,且,求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.

解答过程：

因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为　,直线方程为,

由得：

设　,

则…………①

又,故,即…………②

由①②得：

,

则=，

当,即时，面积取最大值,

此时,即,

所以,直线方程为，椭圆方程为.

小结：

利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易.

例13.已知　,，且，　求的最大值和最小值．

解答过程：

设,　,　,

因为，且　，

所以,动点P的轨迹是以A、B为