高中数学最全数列通项公式求法详解Word下载.docx
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二、递推数列:
类型一、累加法形如%=%+/（%）的递推式
条件:
f
（1）+f
（2）+…f（n・1）的和要可以求出才可用
在｛%｝中,己知〃i=1,%=%.i+n（论2）,求通项%.
解：
、:
%=%-1+”与-1=a—+'
2-1
^n-2=%—3+〃—2an_.=+n-3
%=%+3
%=QI+2
以上各式相加得
aR=%+（2+3+4+--•+〃）
（u十2）（n-1）
—ll
练:
已知｛%｝中，/=1,才=3"
t十与t（〃之2）证明:
3n一1
a=
n2
类型二、累乘法形如4+1=/（〃）・为的递推式
条件：
f
（1）f
（2）...f（n-1）的积要可以求出才可用
例4：
已知｛心｝中，〃]=2皿向=3"
・0,求通项心.
.……%=3、e=3
%%
以上各式相乘得（=%•3.32-33…3^.3-
21+2+3dF｛rt-1）
n（n-l）
=2-3~^~
一（止1）
%=2.3k
（2
练：
已知｛%｝中，%=2,%+1=2+—・%,求通项〃「
类型三、形如"
+1=+/S）的递推式通用方法：
待定系数法
1、形如以计产
例5；
数列｛〃/满足Q]=1,Q41=2%+1，求”.
分析：
构造等比数列｛a「*x｝,若可.以观察X值更好解,由4=2%+1得二4+1二2（%十1）
•・.｛an+1｝是以4+1=2为首项，2为公比的等比数列
故q+1=2・2片=2”
=2"
-1
2、形如。
肝尸内，十如十3
例6.已知数列&
｝满足a计]=次+（%—1）,且％二2,求通项％分析：
构造等比数列｛a/kn+b｝,
设%+1+左5+1）+6=2（凡2+奶+与，
（
k二2
T:
解得左=24=1
b—k--1
故%,=5・2"
i-2"
—1
3、形如依计i二?
％+//+Bn+C
例7,已知数列｛丽｝满足％=1,且％=24+，?
？
—刁+1,求通项4
分析:
构造等比数列{an+xM+yn+z},
设可-1+尤5+1）2+〉'
。
2+1）42=2（44文/+y%+z）,
X=1
歹=1
2=3
对比系数得
y-2x=-l解得v
2—x—y=1
故｛q?
+1+〃+3｝以2为公比，q+F+1+3=6为首项的等比数列。
故*+/+〃+3=6-2"
一1=3・2”即％=3・2”—小―孔―3
4、形如明尸网+匈+3
例8.已知数列｛/｝满足日7=4+2・3）+卜q=3,求数列｛4｝的通项公式
构造等比数列（an+xqn+y｝,
设Q注+无・3粕1+y=2（4+x-3"
+y）,
｛
—Y=2fV———2
，解得「I
v=lIV=1
故｛4—2，3应+1｝以2为公比，4-23+1=2为首项的等比数列。
故4—2・3%+1=・2・2
=—2〃BP^=2-3'
-2w-l
类型四、形如。
…二—P%—的递推式
夕口枕+r
取倒法构造辅助数列
例6：
数列｛仁｝满足：
*=1,3
求｛%｝通项公式
%=味2%+1
2a1+11
——=——+2
an-lan-l
［1］是以上为首项,IaJ为
以2为公差的等差数列
-=—+（n-l）2=2n-l=a=^—
”心2«
类型五、
（1）形如一=月心+外,父的递推式'
相除法
例7：
数列｛%｝满足叫=3,%十］=36+3”、求｛册｝通项公式.
=%=3%_]+3"
/.2=第+1
二｛争｝是以m为首项'
以1为公差的等差数列
—=—+（/?
-Dxl=//3"
3
类型五、
（2）形如％=小的递推式相除法
变式：
勺=3,%=31+5-2"
+1求%
解法1：
两边同除以3〃
解法2：
两边同除以T
解法3：
待定系数法，构造｛氏十九2?
类型五、（3）形如。
用=P4+的扁4的递推器相除法两边同除以③什何「
例8：
已知q=24w0）且%+1—%=2%+1%,求%.
.・.=—=2%+]%
11,二一-——=2
v%
是以上为首项，以・2为公差的等差数列%
/«
、/a、f3—472+3
+（72-1）（-2）=-2h+—=
22
-4/1+5
类型六、
（1）形如4+i=parn的递推式蜉
7
例（2002上海）若教列｛4仲,国二3且44a（n是正整教），则它的通项公式是马二一
取对数后构造等比数列
由题意知g>
0,将=%一两边取对数得:
…2皿即梦=2,
所以数列｛电%｝是以坨勺二坨3为首项,公比为2的等比数列,
lg%=lg4-2小=lg3Al
类型六、
（2）形如％+1+%=0（％+工）'
递推曙瑞U.已知数列｛%｝中，&
=1,=%；
+124+10,求4
先转化后取对数再构造等比数列
a.=3%+12%+1。
变形为：
—+2=3（%+2『
两边取对数易求得：
・二①=31—2
类型七、特征根法、不动点法
（一）理论部分：
%十2=Pa讣i+QQ股
i.特征根法；
对于由递推公式%2=—i+㈣，q==/给出的数列揄｝，方程
W—/—q=0叫做数列的特征方程。
若％犬是特征方程的两个根，
（1）当可。
为时，数列懦｝的通项为4=4铲+璘*其中A、B由q=a,q=夕决定
（即把44遇访和u=12，代入4=4卜+盘匕得到关于A、B的方程组）；
（2）当西=与时，教列的通项为《=■十》源\其中A、B由4=名勾=/决定（BP
把44鸣,王和n=iz代入4=（，+“，，得到关于A、B的方程组）。
（-）理论部分：
=2当
.raYi+h
2.不动点法：
如果数列｛3｝满足下列条件：
已知q的值且对于“EN,都有
初=竺"
-±
'
（其中P、q、r、h均为常数，且phWqr"
#。
，0工一”），那么，阳力+―^r
可作特征方程工=上萼，
rr十。
（D,当特征方程有且仅有一根时两，则｛」一是等差数列；
〔4fJ
（2）,当特征方程有两个不等的根右、小时，则I%29，是等比数列。
[4F
（二）特征根法：
例.数列｛4｝满足q=L&
=3,分2=4「况（％eN*）,求通项公式解；
设/2一⑼加=JJ（Qn一⑼J整理得：
/2=（X+y^l-对比系数可得解得：
厂;
或产;
国=2[y=2[y=l
fr=9
1）取「1则有：
限一2%=1,0「2%）
匕=1
则-24=%一2q=l①即。
*1十1=2（%十1）
故%十1=2-2/7=2"
即%=2"
一1
2）取[二则有：
%十2-%7=2・4「%）
[尸2
则4-1—4=201=2〃②叠加得：
4=2"
-1综合以上两种情况一起考虑
rr—I0=2
即'
c或.1两组解都取，由上述过程可知：
卜=2IJ=1
（a.-2a=1
①©
都成立，即「间"
解得：
6=2―1
[％一4=2'
特征根解法如下；
解；
特征方程为：
x2-3^+2=0
解得F二或[钎:
[%=2区=1
因为/W马故可设巴=Ax^+Bx：
二月+3・2”
将q—1乌—3带入得:
N+2方=1乙“口A=-l
解i
4+46=3回1
所以％二2,—1
试求斐波那契数列（兔子数列）：
由々1=L，2=1得;
此数列的特征方程是；
7=
解该方程得两实根分别是和=f；
故通项公式可设为
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89……的通项公式
丝：
其递挂关系式如下:
4=1
<
%=17
-%2=0游1+4
（三）不动点法：
例.设数列图满题二出口叫11+24+5小心1）.,求包｝的通项公式。
由己知，得4_1=之二
16-8an
其特征方程为一妾解之得，为=；
或£
=（
1
2-1
4
一―
4__
5'
4-4
，①
5
^-4
5124-》
②
・・・4
2叫5
2〃+4
例.设在数列｛垢｝中，4=2,
x2+2
蟀：
由缗往方程丁==—名：
U+2
2%
，求｛“｝的通项公式。
±
、5，将朦递推式变形为:
③式可化为上=2,则数列｛瓦｝是以
E=lg
舞=坨写=2出/一1）为首项‘
公比为2的等比数列,于是&
=2lg（72+1）X2=21g（J21）,
①，②得：
——关二《二一关》
…一，2见-V2
代入④式©
:
--^==（V2-1）,,
即lg
…季④
为所求。
不动点法理论纯字母推存比较难，看一个具体的例题，捎助理解
_54+4/入7*、
例.4=2,0日二万求数列的通项程
71
解，两边同时减k,得
…）（北+芸）
2%+7
74—7左
由一*=得：
2左）一5左二4—7左即2左？
+2左一4=0
_5x+4、
另一方面由五二甚有得:
2r+7x=5x+4gp2x-+2x-4=0
通过比较我们可以看出k刚好是对应方程的根，故此方程可以当做特征方程,
此例只是为了说明不动点法中的特征方程的正确性,后续解q的步骤略.
特征根法时两类待定系数的妙用：
4,=3%_]+2,可以由x=3x+2解得：
x=—1,故可以化为3+1=3（即+1）
类型八、其他方法F
（一）开方、平方法
例、若数列｛“J中，q二2且%=、3+匕（n>
2）,求它的通项公式解将《；
=3两边平方整理得a；
-=30数列是以4二4为首项，3为公差的等差数列。
a：
=可+（〃-1）x3=3〃+1。
因为%>
0,所以a〃=+1。
求递推数列的通项的主要思路是通过转化，构造新的熟知数列，使问题化曲生为熟悉.我们要根据不同的递推关系式，采取不同的变形手段，从而达到转化的目的.
（二）裂项叠加法
例.在数列｛匕｝中，4=3,741=（72+2）%+2用为+1）（/2+2）,求通项公式3n
解£
对原递推式两边同除以M（M+D5+2）可得：
%+1_仅-।7个Wh_凤今、
（%+2）5+1）（月十X）n1n（几+1）片=
则①即为：
为2=^+2,
则数列｛&
｝为首项是久=--%-=|,公差是耳.]-4=2的等差数列,（1+1）x12
311
因而纭=-4-2（n-l）=2w--7代入②式中得%=三匕（％+1）（4H一1）。
故所求的通项公式是：
%:
抑5+1）（4孔-1）
（三）换元法1——r
eJI+OkJ-1,、
例.设。
o=Lan=^<
neX）,求通项公式3n
由已知々*>
0,引入数列｛%｝使狐==tan6-%w（。
；
上）
・•・由已知有；
即=J1-二=1-3%丽江tan%_ism8_2
・•・tan力=tan&
即&
n二巴曰,然22
aq=1j%=-1=tsn-^-jR、m61=—
jr1
即数列（8—是以二为首项,公比为上的等比数列82
冗
tan—
数列通项公式的求法
类型
方法
1、己知前儿项
观察法
2、已知前〃项和4
前〃项和法
3、形如-=an+/5）的递推」弋
累加法
4、形如%=/（〃）•%的递推式
累乘法
5、形如%二取十/（及）的递推式
6、形如%十「仲:
〃的递推式
4%,十P
取倒法
7、形如k=的递推式
%1二。
七十卯1叱
8、形如Q3P4的递推式
对数法
9、形如「二叫「。
氏的递推式
特征根法
10形如/4丝一的递推式
U十〃
不动点法
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