34两个重要的极限Word文件下载.docx
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limg（x）B.例2设limf（x）A，
（1）若在某U0（x0）内有f（x）g（x），问是否有AB？
为什么？
（2）证明：
若AB，则在某U0（x0）内有f（x）g（x）.
2、质5－性质6（迫敛性、四则运算）常用于计算.
2（sinxcosxx）2P51：
1、
（1）lim
x
2
2
；
x21
1；
（2）lim2
x02xx1x212
；
（3）lim2
x12xx13
（4
）x4
4
3（3x6）70（8x5）20370820
（5）lim.9090x（5x1）52、lim
xsinx
0.
xx24sinx
1.
x0x
例lim
二、关于归结原则（Heine定理）
（一）定理的内容
（二）定理的意义（三）定理的用途
1、明极限不存在，如limx0sin1
x
的极限不存在；
2、用数列极限的性质证明函数极限的性质.
（1）证明函数极限的唯一性.
（2）证明函数极限四则运算.（3）证明单调有界定理.3、用函数极限求数列极限.
（1）nlimnsin
1
n.
11
（2）nlim（1
nn2）.
4、结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用.
三、关于单调有界定理
（一）内容.
（二）意义.
四、关于Cauchy准则
（一）内容
（二）意义（三）用途
1、明limx
f（x）存在；
2、明1
xlim
f（x）不存在.如xlim
sin
.证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则.
一、lim
sinx
1的证明
在单位圆盘D{（x,y）|x2y2
1}上，x是圆心角AOB，以弧度计，即它恰好等于AB
而
sinxBC是弦长BB之半，它的几何意义是
sinx2sinxBB1（x0）
x2xBB，
即圆心角趋于0时，对应的弦长与弧长之比趋于1.
证明设
0x
2,AOB面积扇形AOB面积AOD面积，即
111sinx
sinxxtgxcosx1222x，,
用偶函数性质，这不等式在
令x0,x0
x0
时也成立.
lim
limcosx1
1
x0x,两边夹得出.
推论xR，sinxx，等号成立当且仅当x0.
sinx|sinx|1x0x
|x|2显然成立，而x0时等号成立，且只2时,x证明,当
有x0时等号成立.二、lim
1的应用
1cosx
例1求x0x.
解x
2sin2
x1（sin）2
t2
x22，则
x，令
1cosx1sint21lim（）t02t0；
故有x0x2t2.
例2求xx.
解令tx，则sinxsin（t）sint；
且当x时t0，
sinxsint
lim1
xxt0t故.
sinmx
例3求x0sinnx（n0,x0）.
证明当m0时
sinmxmxm
sinnxsinnxnn
nx；
m
当m0时原式0.
limnsin1，直接利用limsinx1是不严注利用归结原则，可求数列极限.如求lim
x0nn1xn
n
sinx
1，故取xn,（n1,2,，则）格的；
但已知lixn0（n），从而由归结原则
x0xn
1limf（xn）.0nnn
1三、证明lim1e或lim1e.
0x
x
证明先证x情况，当x1时，有
1
111
11[x]1x[x].1x11
）
（1）x
（1）x
[x]1x[x]，
（1
1[x]11
）
（1）x
（1）[x]1
[x]1x[x]
e
e
lim
（1）xe
x所以x.
再证x情况,令xy,y，
xlim（11x）xylim（11y）yylim1y11
（1y1）（1y1）e由极限与单侧极限关系定理，得limx（11
x）xe
.
t
推论limt0
（1t）e
证明令t
x,即得.
四、应用
1例1求limx0
（12x）
12解令u2x，则x
u；
且当x0时u0（x0时u0），
12xu
因此，limx0（12x）lim0（1u）lim1
u0[（1u）u]2e2
u.
1x
例2求limx0
（1x）
解令xu，则当x0时u0，
1limx）x
lim1u
1因此，x0
（1u（1u）
limu0[（11u）u]1
例3求xlim（
2x1x
2x3）.
解
（
2x1）x
12x3
（121
x12x1）（1x2）x
lim1x（1
x2）xlimx（11x2）x2（11x2）
e1e
，
故原式
1e.
limf（x）A0
limf（x）B
也可利用以下结论：
xa，xa，则xa
limf（x）g（x）AB
2x1x2x2（）
（1）[
（1）2x32x32x3
11n
）.nn2
2x32x
2x32
]
e1
例4求lim（1
n
1n
练习Ｐ394
（1）为递增数列.
n1
1
Ｐ399
（1）n1为为递减数列.
Ｐ552设f为定义在[a,）上的增（减）函数，证明：
limf（x）存在f在[a,）
x
上有上（下）界.
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