变量的极限Word文档格式.docx
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x^x0x宾0x^9
例当|a|：
1时，求
n护a
解；
|a|：
1,liman=0.即当n—•—时，an是一个无穷小量）而|sin斗匸1,即sin斗是一个有界变量，故有limansin斗=0.
aanYa
复合函数的极限
定理：
设（中间变量）uh卩（x）,y=f（u）分别在x=x0及u=u0的邻
域内（去掉X°
及U0）有定义，若
（1）lim（x）二u0且当xX0的心邻域时:
（x）=U0；
^^x0
（2）limf（u）=A,
uTu°
则复合函数f（（X））在X0处有极限A，即limf（「（x））=A.
（要证！
曾（。
））"
，只需证：
一°
，「°
，使当
Oc|x-x0£
6时，恒有f（®
（x））-Ave.）
证vlimf（u）=A「.，尹>
0,使当Ocu-uovH时，
uTuo
f（u）-A：
又-lim申（x）=u°
”；
wn>
0,MaO,使当Ocx—xo£
6时，
X_^o
恒有
玖X）—u°
=u—u°
£
口.x式x°
时e（x）Hu°
）二0£
u—u°
<
H.从而
f（「（x））-A=f（u）-A：
，即limf（「（x））=A（证毕）
x■■X0
“无穷小变量”概念）
例1.2.29limu（x）=A,AaO,limv（x）=Bnlim[u（x）]v（X）=AB.
xtxoJXoxtxo
证设y=[u（x）]v（Jev3nu（X）..lim[u（x）严"
imev（x）lnu（x）^Xo—X。
limv（x）Inu（x）
二exxoeBInA=AB.利用例1.2.26（p.52）,1.2.23
（2）（p.47）.
例1.2.30求lim土空辛亟."
0"
型（设法消零因子x2.）_0X20
例1.2.31求lim1X一15N,n1）.型
x0
令n1X-1=u,二X=（1u）n-1.
（分子有理化）+分子分母同除以x2,x==6」=4.
32
例若lim（X1-ax-b）=0,求a,b的值。
P.73.EX.30.
XT=Ox+1
解第一、二项的极限都不存在，故不能用极限运算法则，但
22
x1,（1-a）x-（ab）x（1-b）
ax-b.
x1x1
此为多项式之比，其极限为0,可知应有x2的系数（1—a）等于0,x的系数（ab）亦等于0，即1-a=0,ab0，解出a=1,b1.
例若lim（..ax2bxc-kx-m）=0，（a.0）试求k,m的值，并计算x_.
极限limx（ax2•bx•c-kx-m）的值。
解lim（...ax2・bx・c-kx-m）（因极限=0,.k.0）-：
"
型
在上述条件下
两个重要极限
sinx
xim。
〒汀
本节主要介绍如下两个重要极限：
lim（1\x=e（
x—;
.：
x'
并介绍极限存在的两个准则
极限存在的准则
定理1（两边夹定理）若存在正数、•，使得当o:
:
|x-X0|:
、：
时，有关系g（x）乞f（X）乞h（x），且ling（x）linh（x）二A，贝S必有limf（x）=A.（书.P.55）
X=xo
定理2（单调有界定理）
（1）单调有界数列必有极限；
（2）若f（x）在Xo的某一侧邻域内单调有界，则当X—•Xo时，f（x）在此侧的单侧极限必存在。
定理3（Heine定理）:
limf（x）二Au对任何含于U（x0,a）且收敛于x0
X）X0
的数列{xn},都有limf（xn）=A.其中a>
0.
n—JpC
定理4（Cauchy准则）：
limf（x）=A=于呂a0,日6a0,当O<
|x"
-X0且Ocx"
-x（）|v6时，有
X―rx0
f（x）-f（xj£
&
例1证明limsinx=0.
X—
证当x在0附近，即当|x|：
?
时，有关系0_|sinx|_|x|，而limO=0；
lim|x|=0,由两边夹定理可知，lim|sinx|=O,从而000
limsinx=0.
x「0
例2证明limcosx=1.
^^0
证当x在0附近，即当时，由半角公式知
两边夹定理类似数列极限
lim-—y=limn―=0；
lim=佃丄=0.由两边夹定理可知nr'
（2n）2n「.「4n2n_,：
n2
111
lim[二2討=0
n—"
n（n1）（2n）
1
（复习2）求lim（12n-3n）n.
n—^pd
1111
解•/⑶卩：
（12n-3n）n:
（33n）n-3n3，而
lim（3n）n=lim3=3；
且lim3n3=3lim3n=31-3.故知
n：
n：
n—）：
11
lim（12n3n）n=3.容易证明：
lim（12n3n...Knf=k;
n■n
若a0,b0,c0=]im：
（anbncn）n=max{a,b,c}
（练习题：
若x^0,求悝畀+xn+（才）n.提示：
将0,「：
分成四个区间X，[0,1）,[1,、.2）122）,[2,二）来讨论）
（复习3）给定：
10/0,令〉-讨宀二），证明］叩一存在,
并求其值
证g=2⑺二）-22「—.有下界
故有极限。
将：
「=2（“J两边取极限'
可得叮…
sinx
lim
-1
x
重要极限一:
（x的单位为弧度）
即可。
为此，作一个半径为1的单位圆，比较三角形OPR，扇形OQR和三角形OQS三者的面积，显然有1.1
cosxsinxx11tanx
222即Icosxsinx:
-
遍乘以正数2
limcosx=lim—-=1.故由两边夹定理知
X「oX7cosx
lim亠=1，其倒数极限亦等于1，即
x0sinx
limsinx=1（注意，此结论是在弧度制下）。
F面介绍第二个重要极限重要极限二：
已知蚁十1）—要证酣十丁十（"
仟"
型）
证先证Jim（1
=e当x1,-
xLx_〔x「1,—
「（UP
=lim—
…：
1VIxl
xlim：
（1护
lim（1
X.
X"
由两边夹准则，有
X・
_）x=e.
只需作变换U（x・1）,=x=-（1u）,当X>
—口时,U_.•“，便可
证出lim（1」）xlim（1l）u（1e.=
XUT耘uu
X
若令二J
lim（1」）x=e.
Jx
则有如下重要极限
i
lim（1：
■;
）：
=e.
■-.0
利用复合函是极限性质，
若在X0的空心邻域（xp^0,lim（X^0,则有
sin（x）
（1）lim心'
、，=1；
（2）
申（X）
lim[1（x）]（x）二e.
X「Xo
求lim电.
tanxsinxlimlim
x—0xx）0x
求lim—箋.
x0X
1sinx1
limlim—cosxx刃xx0cosx
=11=1.
解利用倍角公式沁十間号可知
2X2sin—
1-cosx2
lim2lim厂厶
xTxx-0x
.X
sin—
=lim-
（2）2
xQ2X
2
sin
T
（即
l-cosx/x2,
当XT0）.
例10求lim沁沁
xT0
解limsin（sinX）
x^0
sin（sinx）二lim
x—0sinx
処=lim
xx—0
sin（sinx）
例11求limJg.（可用
x-0xsinx
1-cosx〜
解原式
2sin2仝
lim
x，2前3彳
222
x—0x
cos—
*例12求limansin'
（a=0,t为常数）.
nYa
解若t=0,sinA=0,.ansin2=0,故limansin£
=0.aa“护a
若t=0,分三种情况讨论:
综合以上讨论，有如下结论：
0,
sin飞=fsint,a
J,
作业p.721，2班：
27（1,4）,28（1,4,7,10,13）
3班:
27（2,5）,28（2,5,8,11,14）
4班:
27（3,5）,28（3,6,9,12,15）
例13
求lim』^
x>
G（°
）2ji
2sinx二2sin（二-x）原式工limr2lim
—兀兀-xJ兀（兀+x）（兀一x）
Rot+Pa-P
（cos：
-cos--2sinsin）
2sin2xsinxsin2x
=4lim
^_0
原式工lim4lim.=41=4
2x
txsinx
例15求limxsin1.
tx
时）。
例16求』mA（1•十）mt.其中r0,t,A）皆为常数。
解令n』，当m—「心，则n—；
所以
r
丿叫汕1护訓从护讥职心*）丁*rt.
17
求lim（12）x
1、22
=lim
（1）
X,x
I"
622
=lim[
（1）2]=e2
18
求lim（:
）x
j：
x2-1
xx1x1x
门）vm（门）xim（R）
lim（1」）x
x_,：
x
19
求li
例20
例21求
呵（1匚
3secx
cosx）
（"
1：
cosx=：
，贝ylim.（1Cosx）3secx
=lim（1：
）」lim[（1：
）]3
r，r0r.r0
求lim（12x）「二
x_
—2+
lim（12x）2x
2x^0
=lim[（12x）2x]2
2x）0
■2^+2x^e2
1]叫（1-sinx）x.
=lim[1（-sinx）]
-sinx—0
1sinx
（•-3）
-sinxx
例22求极限lim（1k）cxbx护x
解当k=0,原式=lim1x^jpc
x—]：
=[lim（V）'
f=e3.
r.0
=lim[（12x）2x]2（12x）
2x]0
1二e2
lim3133
lim（1（—sinx））』inx]x0x}=（e\=e
-sinx）0
（b,c,k为常数）
cxb=lim1=1
X—）：
（1）.
当k=0，令kJ,x二ky,
xy
当x—:
时，
yr：
因此,原式=lim（1^）ckyb
yim」（1LT
Pm。
y）y]ckymdt）b=
y—》：
ckck
=e1=e
■'
e0=1,所以
（1）可以合并到
（2）,
lim（1k）cxb=eck.（不论k=0或k=0）
X-x
*例23
limTlimy（书p.57例1.2.37）
X卫X令ax」今y）0loga（1y）
m0
loga（1y）y
Ina.logae
xxx1
例24计算lim（ab-）^,
a0,b0,c0.
（
xx
abc
xxxa+b+c迥"
axbxcxd
-1）]^^
3x
（InaTnbTnc）
二e3
In（abc）
=e3
ln（abc）3
二e
3=X
例25
计算
lim（沁严
x—sina
sinasinx-sina1
lim[1亠-原式x>
asina
]sinx-sina
x-asina（:
心）
sinx-sina
因为
lim（sinx~sina）
XTx-a
=lim
x=a
xa.x-a
2cossin
x-a
x）a
xa
.X—asin
—二cosa所以,由
（…）知：
原式二
cosa
e
sina
cota
.（a=k二，k=0,工1,二2）
书p.57例35lim
Xr0
cosx-1
Xim°
（sin2xJcosx+1
1-cosx=啊[（
x2
'
、cosX-3cosX
・2
lim0（
x■-0
一cosx-1
1-cosx
.2
sin2x）（.cos1
1+^cosx+勺cos2x
+
1十cosx十务cos2X
1-3cosX）
sin2x
书p.57例38lim
XJ
（ix）7
e^1X）1
e」nflX）1
•IIn（1x）
JIn（1x）
书p.58例39lim1-（響）[=o.（lHospitalrule洛必达法则）
XTx
cos-1
11：
sinx
（cosxsinxin2x_[（1.cos~1）cos」]（1sinx）sin（1sinx丿_[（1sinx）]
无穷小量与无穷大量
两个定义
定义1如果lim〉（x）=0,则称变量：
（x）当x>
xo时，是一个无穷X^Xo
小量。
类似，如果li^（x）=0，a（x）也称为一个无穷小量。
同样,若limf（n）=0，贝卩f（n）也称为一个无穷小量。
n—
为简化，今后对极限过程X>
x0常常可以理解为也包含X>
的情况。
例1limX2=0,.•.当X>
0时，厂X2是一个无穷小量。
x—:
例2=lim1=0"
当xt於时，y=」是一个无穷小量。
xYxX
例3limsinx=0,当x-0时，y=sinx是一个无穷小量。
xT
例4lim^=0r当n…:
时,y号是一个无穷小量。
定义2如果当X-；
X0时，变量y二f（x）的绝对值无限增大，则
称f（x）当x-X。
时为无穷大量，记为limf（x）二；
（也包含二；
，X—iK0
或--。
（；
定义2中的f（x）的绝对值无限增大，.f（x）没有固定的常数A作为它的变化趋势，故f（x）没有极限，或说limxf（x）不存在）。
例5lim1当x_.2时，是一个无穷大量。
显然
xTx—2x—2
下列关系成立：
如果f（x）=0，而limf（x）=0，贝Slim1；
Xf^xof（x）
A
如果limf（x）二:
，则lim-0.
^^x0f（x）
例如，当x—」-■时，ex
—讼ex
而4是无穷大量（即lim1二:
）。
xxqx
二.函数（数列）极限的无穷小量表示
是无穷大量，（:
』m_e-■:
）,而e»
二A是无穷小量（即lim_4r=0）。
又如，当x>
0时，x3是无穷小量，
定理4.1limf（x）二A=f（x）=A亠:
其中lim：
=0.
XfXf
证必要性（=）Timf（x）二A,.-；
•0,_I\0,使得当0：
|x-x01<
-
时，恒有|f（x）-A|：
此表明函数（f（x）-A）是一个无穷小量（=lim（f（x）-A）=0）,记
为：
（x）,即卩f（x）-A=：
（x）,因此f（x）=A：
（x）,其中〉（x）为无穷
充分性（=）设f（X）A:
•，其中A是常数，（x）是无穷小量，即lim（x）=0,由极限定义：
*>
0,M>
0,使当
X—^0
0<
|x-Xc|£
6时，有，即|f（x）-A|<
—此表明limf（x）=A.
X—^x0
注对X」：
的情形以及对数列的情形，同样可证。
即有
”m：
yn=A=yn=A：
lim：
n=0.limf（x）二A=f（x）二A匕（x），其中lim：
（x）=0.n,x,x—,
三•无穷小量的性质
例6limx2sin0（|sin|_1）
*例7求limdx'
x—1+x+1.
jqJx2+sinx
解分子分母同除以x，原式化为
推论1.常量与无穷小量的乘积仍是一个无穷小量推论2.有限个无穷小量的乘积仍是一个无穷小量。
推论3.无穷小量除以极限不为零的变量仍是一个无穷小量证设当x>
xo时，u（x）为无穷小量，v（x）的极限为A,且A"
不妨设
A>
0，由于xlimxv（x）=A0,所以，对于三o，存在一。
，
益IAA3A
使得当0<
x—X。
<
6,时有v（x）—A<
^，即0<
_2<
v（x）£
-p
212d
亦即亦气&
气.因此——在0£
x-时是有界变量，再
v（x）
由定理4.2便知命题成立.
四.无穷小量的阶
定义设是同一极限过程中的两个无穷小量。
如果lim0，则称1是较:
•高阶无穷小，记作1=0（〉）.
a
如果lim二乂（c=0），则称［与〉是同阶无穷小。
特别是，
CL
如果lim—1则称［与:
•是等阶无穷小，记作：
■~■.
如果佃上=旳（即|计當=0）,则称B是比a较低阶无穷小量。
例12求lim2n一n*3
解先将分子分母同除以n2，得
4*21
4x32x2_1x7
3x4+1
3+-r
=0.
xim（xpm00-0
1|呼+斗）x「x
从上面的例题可以得出以下结论:
以后做题时可直接利用上述结论，如lim丝笃=-2.
^^2+4x—x
F面的例题是利用“消去零因式”，或先“分子有理化”以后
解因为当x》一1时，原式
1Q
f（x）=（-—）出现“匚―，”型，两项均不存在极限，故不
X+1X+1
原式二lim（x_x⑴-3
能直接使用极限运算法则。
需先通分母：
2小
x_x_2
=lim厂
x>
J（x1）（x-x1）
xjf（消去零因式（x1））
（消去零因式）
x_2
—lim
Xw（X-2）（-x2）（x-1）
（在x>
4的过程中,
=lim1
x4（-x'
2）（x-1）
小-2=0,故可以同除，从而可以消去）
1_1（22）（4-1）~12
2x43x3
3
解原式=limx（2x33）（消去零因子x3）=lim（2x3）-3.xTx7
例19求极限lim1x一1—x.（“0”型）Tx0
解原式jim（1x-J-xIxJ-x）
xTX（£
1+X+P
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