八年级数学上册 14 整式的乘法与因式分解教案 新版新人教版.docx

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八年级数学上册14整式的乘法与因式分解教案新版新人教版

第十四章　整式的乘法与因式分解

1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题.

2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算.

3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法.

4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数）.

让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力.

通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣.

本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识.

本章主要有如下特点:

1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移.

2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征.

3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担.

4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯.

5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.

【重点】

1.理解和掌握幂的运算性质.

2.掌握整式的乘除运算方法,理解乘法公式,能对多项式进行因式分解.

【难点】

1.整式的乘除运算.

2.利用乘法公式进行计算,利用提公因式法和因式分解法对多项式进行因式分解.

1.幂的运算是整式乘除的基础,在教学幂的运算性质时,要让学生经历探索的过程,通过特例计算,自己概括出有关运算法则,理解并掌握这些法则,并能用来进行简单的计算.要注意留给学生探索与交流的空间,让学生在自己的实践中获得运算法则.在教学中要注意渗透化归的思想.对于整式的乘除法要让学生通过适当的尝试,获得一些直接体验,体验单项式与单项式相乘的运算规律,在此基础上总结出整式乘除法的一些运算法则,对于一些法则的获得要注意结合图形,让学生体会特点,从而加深对知识的理解和掌握.

2.对于乘法公式的教学,要留出更多的时间和空间让学生自主探索,发现规律,体验乘法公式的来源,理解公式的意义和作用,降低对公式的记忆要求.教学时可以让学生直接计算较为简单的情况,在此基础上指出这一乘法结果的普遍性.教师要注意从已有的整式乘法的知识中提炼出这一乘法公式,让学生明确公式来源于整式的乘法,又应用于整式乘法的辩证性.

3.对于因式分解这部分内容,要注意留给学生讨论的时间,引导学生进行归纳、概括.注意教给学生因式分解的方法和步骤,强化提公因式法和公式法的结构特点,让学生在不断练习中得以巩固和提高.

总之,在本章的教学中,教师要创造性地使用教材,充分发挥自己在教学中的组织、引导、合作的作用,通过创设一定的问题情境,帮助学生在做一做、探索、交流与讨论中,主动地去获取知识.本章的教学中,教师不要人为地增加学生的记忆负担,提高对学生的要求,也不要人为地补充一些繁、难、偏、旧的内容,根据学生的具体情况,可以在某些具体问题上,让一部分学有余力的学生得到更好的发展,体现教材的弹性.

14.1　整式的乘法

14.1.1　同底数幂的乘法（1课时）

14.1.2　幂的乘方（1课时）

14.1.3　积的乘方（1课时）

14.1.4　整式的乘法（4课时）

7课时

14.2　乘法公式

14.2.1　平方差公式（1课时）

14.2.2　完全平方公式（1课时）

2课时

14.3　因式分解

14.3.1　提公因式法（1课时）

14.3.2　公式法（2课时）

3课时

单元复习

1课时

14.1　整式的乘法

1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算.

2.从幂的运算入手,逐步展开整式的乘法,要了解单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘的法则,会进行简单的整式乘法的计算.

3.通过计算,提高学生独立思考、主动探索的能力.

1.在推理的过程中,让学生学会类比的方法,培养学生的观察、抽象、概括的能力.

2.在观察的过程中,让学生掌握整式乘法的一些计算方法,并能运用这些方法进行计算.

1.让学生体验从特殊到一般的过程,能自己在实践中总结概括法则.

2.培养学生学习数学的积极性,让学生树立热爱数学的情感.

【重点】

1.同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法法则.

2.整式的乘法法则.

【难点】

1.能正确进行同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法计算.

2.整式的乘法的一些计算.

14.1.1　同底数幂的乘法

1.理解同底数幂的乘法法则.

2.能运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题.

1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.

2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解特殊到一般,一般到特殊的认知规律.

体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.

【重点】　正确理解同底数幂的乘法法则.

【难点】　正确理解和应用同底数幂的乘法法则.

【教师准备】　多媒体课件（1,2,3）.

【学生准备】　复习幂的意义.

导入一:

复习an的意义:

an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂;a叫做底数,n是指数.

提出问题:

一种电子计算机每秒可进行1千万亿（1015）次运算,它工作103秒可进行多少次运算?

【师】　能否用我们学过的知识来解决这个问题呢?

【生】　运算次数=运算速度×工作时间,所以计算机工作103秒可进行的运算次数为:

1015×103.

【师】　1015×103如何计算呢?

【生】　根据乘方的意义可知:

1015×103=×（10×10×10）==1018.

【师】　很好,通过观察大家可以发现1015,103这两个因数是同底数幂的形式,所以我们把像1015×103的运算叫做同底数幂的乘法,根据实际需要,我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法.

[设计意图]　首先让学生回忆幂的一些知识,然后根据教材中的问题1让学生列式、观察并计算出结果,从而导入到本节课的学习之中.

导入二:

“盘古开天辟地”的故事:

公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混沌的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.

【师】　盘古的左眼变成了太阳,那么太阳离我们多远呢?

光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远吗?

【生】　可以列出算式:

3×105×5×102=15×105×102=15ד?

”.（引入课题）

[设计意图]　从远古到现代,让学生感受传说,极大地激发了学生的学习热情,同时相应问题的提出,也为学习同底数幂的乘法埋下了伏笔.

导入三:

北京奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?

【师】　你们能列式吗?

（学生讨论得出108×105）

【师】　108,105我们称之为什么?

（幂）

【师】　我们再来观察底数有什么特点?

【生1】　都是10.

【生2】　是一样的.

【师】　像这样底数相同的两个幂相乘的运算,我们把它叫做同底数幂的乘法.（揭示课题）

[设计意图]　利用提问题,一方面可以集中学生注意力,使之较快进入课堂学习状态,另一方面可以对学生进行爱国主义教育,增强学生的环保意识.

　　[过渡语]　刚才我们通过计算知道1015×103=1018,下面我们再来观察几道题.

问题1

【课件1】　计算下列各式:

（1）25×22;

（2）a3·a2;

（3）5m·5n（m,n都是正整数）.

你发现了什么?

注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言描述.

【师】　根据乘方的意义,同学们可以独立解决上述问题.

【生】　25×22=（2×2×2×2×2）×（2×2）=27=25+2.

25表示5个2相乘,22表示2个2相乘,根据乘方的意义:

a3·a2=（a·a·a）·（a·a）=a5=a3+2.

5m·5n==5m+n.（让学生自主探索,在启发性设问的引导下发现规律,并用自己的语言叙述）

【生】　我们可以发现下列规律:

（1）这三个式子都是底数相同的幂相乘;

（2）相乘结果的底数与原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.

【师生共析】　am·an表示同底数幂的乘法,根据幂的意义可得:

am·an==am+n.

于是有am·an=am+n（m,n都是正整数）,用语言来描述此法则即为:

“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”.

[知识拓展]　同底数幂是具有相同底数的幂.

（1）幂可以看做是代数式中的一类,是形如an的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而an中的n只能是正整数.

（2）35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.（3）53与515是同底数幂,因为它们的底数相同（都是5）.同理,x3与x5,（a+b）2与（a+b）5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.

问题2

（针对导入三）

1.探索108×105等于多少.（鼓励学生大胆猜想）

学生可能会出现以下几种情况:

①10013;②1040;③10040;④1013.

[设计意图]　猜想产生疑问,激发兴趣,为学生推导公式做好情感铺垫.

【师】　那到底谁的猜想正确呢?

小组合作讨论,生回答,师板演:

108×105

=

=

=1013.

即108×105=108+5.

[设计意图]　师给出适当的提示后,相信学生能在已有的知识基础上,利用集体的智慧,找出猜想中的正确答案,并通过“转化”思想得出结论,也找到了正确的推理过程.

2.出示问题:

（学生口答,课件显示过程）

a6·a9

=·

=

=a15.

即a6·a9=a6+9.

3.观察以上两个式子,你有什么发现?

【师】　这是两个特殊的式子,它们的指数分别是8,5;6,9.底数相同的两数的任何次幂相乘,都是底数不变,指数相加吗?

能找到一个具有一般性,代表性的式子吗?

am·an怎么计算?

[设计意图]　a6·a9和am·an的推导过程由于108·105打好了坚实的基础,所以用填空的形式简化公式的推导过程,既避免了重复教学过程,也节约时间,同时也能达到让学生经历从具体到一般的推导过程.

【板书】　am·an=am+n（m,n都是正整数）.

师补充解释m,n都是正整数的原因,并请学生用自己的语言概括该结论,之后全体学生用精炼的文字概括表述.

【板书】　同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

[设计意图]　全班学生参与活动,经历从理解法则的含义的概括到用十分准确简练的语言概括过程,从而提高学生的表达能力.

问题3

　　[过渡语]　刚才通过探究,我们知道了同底数幂的乘法法则,现在我们就可以利用这个法则进行同底数幂的乘法计算.

【课件2】

　（教材例1）计算:

（1）x2·x5;

（2）a·a6;

（3）（-2）×（-2）4×（-2）3;

（4）xm·x3m+1.

　计算am·an·ap后,能找到什么规律?

【师】　我们先来看例1,是不是可以用同底数幂的乘法法则呢?

【生1】　

（1）

（2）（4）可以直接用“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”的法则.

【生2】　（3）也可以,先算2个同底数幂相乘,将其结果再与第三个幂相乘,仍是同底数幂相乘,再用法则运算就可以了.

【师】　同学们分析得很好.请自己做一遍,每组出一名同学板演,看谁算得又准又快.

【生板演】　

（1）解:

x2·x5=x2+5=x7.

（2）解:

a·a6=a1+6=a7.

（3）解:

（-2）×（-2）4×（-2）3=（-2）5×（-2）3=（-2）8=256.

（4）解:

xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1.

【师】　接下来我们来看例2.受例1中第（3）题的启发,能自己解决吗?

与同伴交流一下解题方法.

解法1:

am·an·ap=（am·an）·ap=am+n·ap=am+n+p.

解法2:

am·an·ap=am·（an·ap）=am·an+p=am+n+p.

解法3:

am·an·ap==am+n+p.

【归纳】　解法1与解法2都直接应用了运算法则,同时还运用了乘法的结合律;解法3是直接应用乘方的意义.三种解法得出了同一结果,我们需要这种开拓思维的创新精神.

【生】　那我们就可以推断,不管是多少个幂相乘,只要是同底数幂相乘,就一定是底数不变,指数相加呢?

【师】　是的,能不能用符号表示出来呢?

【生】　···…·.

【师】　（鼓励学生）那么例1中的第（3）题我们就可以直接应用法则运算了.

（-2）×（-2）4×（-2）3=（-2）1+4+3=（-2）8=256.

1.同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,应注意两点:

一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加,即am·an=am+n（m,n都是正整数）.

2.推广:

am·an·ap=am+n+p.

3.（课件3）注意:

在应用同底数幂乘法法则时,注意以下几点:

（1）底数必须相同,如23与25,（a2b2）3与（a2b2）4,（x-y）2与（x-y）5等.

（2）a可以是单项式,也可以是多项式.

（3）按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.

1.计算a6×a3的结果是（　　）

　　A.a9B.a2C.a18D.a3

解析:

原式=a6+3=a9.故选A.

2.下列计算正确的是（　　）

A.x·x2=x2B.x2·x2=2x2

C.x2+x3=x5D.x2·x=x3

解析:

A.底数不变,指数相加,故A错误;B.底数不变,指数相加,故B错误;C.不是同底数幂的乘法,指数不能相加,故C错误;D.底数不变,指数相加,故D正确.故选D.

3.计算（-a）3·（-a）2的正确结果是（　　）

A.a5B.-a5C.a6D.-a6

解析:

原式=（-a）3+2=（-a）5=-a5.故选B.

4.计算.

（1）（-5）×（-5）2×（-5）3;

（2）（-a）·（-a）3;

（3）-a3·（-a）2;

（4）（a-b）2·（a-b）3;

（5）（a+1）2·（1+a）·（a+1）3.

解析:

利用同底数幂乘法法则进行计算,底数不同的利用互为相反数的奇偶次幂的性质进行转化.

解:

（1）（-5）×（-5）2×（-5）3=（-5）6=56.

（2）（-a）·（-a）3=（-a）4=a4.　（3）-a3·（-a）2=-a3·a2=-a5.　（4）（a-b）2·（a-b）3=（a-b）5.

（5）（a+1）2·（1+a）·（a+1）3=（a+1）6.

14.1.1　同底数幂的乘法

1.法则

2.公式

例题讲解

例1

例2

一、教材作业

【必做题】

教材第96页练习.

【选做题】

教材第104页习题14.1第9,10题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.计算（-x2）·x3的结果是（　　）

A.x5B.-x5C.x6D.-x6

2.下列计算正确的是（　　）

A.a3·a2=a6B.b4·b4=2b4

C.x5+x5=x10D.y7·y=y8

3.下列运算正确的是（　　）

A.a5·a5=2a5B.a5+a5=a10

C.a5·a5=2a10D.a5·a5=a10

4.a2014可以写成（　　）

A.a2010+a4B.a2010·a4

C.a2014·aD.a2007·a2007

5.下列运算错误的是（　　）

A.（-a）（-a）=（-a）2

B.-32·（-3）4=（-3）6

C.（-a）3·（-a）2=（-a）5

D.（-a）3·（-a）3=a6

【能力提升】

6.设am=8,an=16,则am+n等于（　　）

A.24B.32C.64D.128

7.下列各式成立的是（　　）

A.（x-y）2=-（y-x）2

B.（x-y）n=-（y-x）n（n为正整数）

C.（x-y）2（y-x）2=-（x-y）4

D.（x-y）3（y-x）3=-（x-y）6

【拓展探究】

8.阅读材料:

求1+2+22+23+24+…+22013的值.

解:

设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:

2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014,

将下式减去上式得2S-S=22014-1,

即S=22014-1,

即1+2+22+23+24+…+22013=22014-1.

请你仿照此法计算:

（1）1+2+22+23+24+…+210;

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n为正整数）.

【答案与解析】

1.B（解析:

（-x2）·x3=-x2+3=-x5.故选B.）

2.D（解析:

A.应为a3·a2=a5,故本选项错误;B.应为b4·b4=b8,故本选项错误;C.应为x5+x5=2x5,故本选项错误;D.y7·y=y8,正确.故选D.）

3.D（解析:

A.应为a5·a5=a10,故本选项错误;B.应为a5+a5=2a5,故本选项错误;C.应为a5·a5=a10,故本选项错误;D.a5·a5=a10,正确.故选D.）

4.B（解析:

A.a2010+a4不能进行计算;B.a2010·a4=a2014;C.a2014·a=a2015;D.a2007·a2007=a4014,故选B.）

5.B（解析:

A.（-a）（-a）=（-a）2,故本选项正确;B.-32·（-3）4=-32·34=-36,故本选项错误;C.（-a）3·（-a）2=（-a）3+2=（-a）5,故本选项正确;D.（-a）3·（-a）3=（-a）3+3=（-a）6=a6,故本选项正确.故选B.）

6.D（解析:

∵am=8,an=16,∴am+n=am·an=8×16=128.故选D.）

7.D（解析:

A.（x-y）2=（y-x）2,故本选项错误;B.（x-y）n=-（y-x）n（n为奇数）,故本选项错误;C.（x-y）2（y-x）2=（x-y）4,故本选项错误;D.（x-y）3（y-x）3=-（x-y）6,故本选项正确.故选D.）

8.解:

（1）设S=1+2+22+23+24+…+210,将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,将两式相减得2S-S=211-1,即S=211-1,则1+2+22+23+24+…+210=211-1.

（2）设S=1+3+32+33+34+…+3n①,两边同时乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1②,②-①得3S-S=3n+1-1,即S=（3n+1-1）,则1+3+32+33+34+…+3n=（3n+1-1）.

在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察——类比——抽象——概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.

因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.另外,对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.

教学中要适当增加难度,增加变式训练,如法则的逆应用和底数为负数的习题.法则的逆应用要重点让学生掌握,以提高学生解决问题的能力.同时,一定要让学生分清幂的底数,明确只要在同底数幂相乘的时候才能用法则进行计算,否则不行.另外,对于法则的概括以及延伸的am·an·ap=am+n+p,一定要让学生尽量发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的,教师绝不包办代替,把课堂应尽量还给学生.

练习（教材第96页）

解:

（1）原式=b5+1=b6.　

（2）原式=

-

1+2+3=

-

6=.　（3）原式=a2+6=a8.　（4）原式=y2n+n+1=y3n+1.

题型1　一般的同底数幂的乘法问题

　计算:

（1）x2·x3;

（2）（-2）4·（-2）3;

（3）（a-1）4·（a-1）2.

〔解析〕　

（1）可以直接得到x5;

（2）中将（-2）看作相同的底数,由法则可得（-2）7;（3）中将（a-1）看作一个整体作为相同的底数.

解:

（1）x2·x3=x5.　

（2）（-2）4·（-2）3=（-2）7=-27.　（3）（a-1）4·（a-1）2=（a-1）6.

题型2　间接运用同底数幂的乘法法则

　计算:

（1）-t3·（-t）4·（-t）5;

（2）（z-y）3·（z-y）·（y-z）2.

〔解析〕　虽然底数不同,但仅仅只有符号之差,如z-y与y-z,可以先把底数变为相同的底数,再用法则计算.

解:

（1）-t3·（-t）4·（-t）5=-t3·t4·（-t5）=t3·t4·t5=t12.　

（2）（z-y）3·（z-y）·（y-z）2=（z-y）3·（z-y）·（z-y）2=（z-y）6.

〔方法提示〕　对于不能直接运用同底数幂乘法法则的问题,通常先将题目中各项进行转化,化为同底数幂再运用法则计算,此过程中注意符号的确定.

题型3　同底数幂乘法法则的逆用

　计算:

（-2）2007+（-2）2008.

〔解析〕　若直接计算,则相当麻烦,可以运用同底数幂的逆运算,将（-2）2008化成（-2）2007×（-2）,再进行计算,比较简便.

解:

（-2）2007+（-2）2008=（-2）2007+（-2）2007×（-2）=（-2）2007×（1-2）=（-2）2007×（-1）=22007.

　（2014·温州中考）计算m6·m3的结果是（　　）

A.m18　　　B.m9　　　C.m3　　　D.m2

〔解析〕　根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加可知m6·m3=m9.故选B.

14.1