尺规作图Word下载.docx

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3、将初步改进后的成果交由指导老师评价，接受老师的意见，对成果进一步改进。

研究过程中的困难及解决

研究的初步成果

通过对多种图形的作法研究，我们总结出了两种尺规作图的常用方法——等线段法和性质法。

等线段法：

用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。

性质法：

先分析所求作图形与已知图形的性质关系，然后根椐这些相关性质和关系作出图形

研究的主要方法

由简单到复杂的归纳法

查证的主要文献资料

《十万个为什么之数学分册》少年儿童出版社

成果论文

自古时候起，尺规作图就是一个引人入胜的数学问题。

时至今日，这个如希腊神话般神秘的数学问题仍吸引着无数学者的目光、受到人们的重视，并且在初中课本中也渗透了一些关于基本图形的尺规作法。

但是我们并不满足于课本上的内容，并且在不断学习和探索中发现了更多关于尺规作图的问题及其解决方法，总结归纳了解决尺规作图的一般思路。

关键词尺规作图正多边形两圆的公切线

希腊是奥林匹克运动的发源地。

奥运会上的每一个竞赛项目，对运动器械都有明确的规定，不然的话，就不易显示出谁“更快、更高、更强”。

一些古希腊人认为，几何作图也应像体育竞赛一样，对作图工作作一番明确的规定，不然的话，就不易显示出谁的逻辑思维能力更强。

应该怎样限制几何作图工具呢？

他们认为，几何图形都是由直线和圆组成的，有了直尺和圆规，就能作出这两样图形，不需要再添加其他的工具。

于是规定在几何作图时，只准许使用圆规和直尺，并且规定只准许使用有限次。

它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：

∙直尺必须没有刻度，无限长，只有一只角。

只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度。

∙圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。

它只可以拉开成你之前构造过的长度。

由于有了这样一个规定，一些普普通通的几何作图题，顷刻间变得身价百倍，万众瞩目，甚至有不少题目让西方数学家苦苦思索了2000多年。

一、几种正多边形的作法

尺规作图以它特有的魅力，使无数的人沉湎其中，乐而忘返。

连拿破仑这样一位威震欧洲的风云人物，在转战南北的余暇，也常常沉醉于尺规作图的乐趣中。

有一次，他还编了一道尺规作图题，向全法国数学家挑战呢。

拿破仑出的题目是：

"

只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分。

由于圆心O是已知的，求出这个题目的答案并不难。

正四边形的作法：

1、在圆周上任意选一点Ａ，以A点为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于点B；

2、以点B为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于点C；

3、以点C为圆心，OA长为半径作弧，交圆O于点D；

4、分别以A点和D点为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点M；

5、用圆规量出OM的长度，以点A为起点，逐一在圆周上划分，便可将圆周4等分。

证明：

设AO=a

∵AO=BO=AB

∴∠BOA=60°

同理，∠BOC=∠COD=60°

∴点A、D、O在同一直线上，AD为圆的直径

由勾股定理，AC²

=AD²

-CD²

=3a²

∵AM=DM，AO=DO

∴MO⊥AD，由勾股定理，MO²

=AM²

-AO²

=2a²

∴2AE²

∴四边形AEDF是正四边形

如果再增添一把直尺，将这些4等分点连接起来，就可以得到一个正4边形。

由此不难看出，等分圆周与作正多边形实际上是一回事。

如果再加上一把直尺来作正四边形，那就更加容易了。

四边形作出来了,那么怎样用尺规作出一个正五边形和正六边形呢？

以下是一种正五边形的作法：

1、作一个圆，设它的圆心为O；

2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；

3、作OY的中点M；

4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；

5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。

以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。

正六边形的作法：

1、作直径AD；

2、分别为A、D为圆心，以⊙O半径OA为半径画弧交⊙O于B、F、C、E；

3、依次连结AB、BC、CD、DE、EF、FA．则六边形ABCDEF即为所求作的正六边形．

连结OB、OC、OE、OF．

∵AB=OA=OB，∴∠AOB=60°

，

同理∠DOE=∠COD=∠AOF=60°

．

　　∵∠AOD=180°

　　∴∠BOC=∠EOF=60°

　　∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA

　　∴六边形ABCDEF是正六边形．

上面这种尺规作图的方法运用了所作图形与载体圆的特殊关系和性质，这也是尺规作图中的一种常见作法——性质法，即先分析所求作图形与已知图形的性质关系，然后根椐这些相关性质和关系作出图形。

四、五、六边形都作出来了，不过，要用尺规作出正７边形可就不那么容易了。

别看由6到7，仅仅只增加了一条边，却一跃成为古代几何的四大名题之一。

尺规作图题就是这样变化莫测。

这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策。

后来，大数学家阿基米德发现了前人之所以全都失败了的原因：

正7边形是不能由尺规作出的。

阿基米德从理论上严格证明了这一结论。

那么，采用尺规作图法，究竟有哪些正多边形作得出来，有哪些作不出来呢？

　　有人猜测：

如果正多边形的边数是大于5的质数，这种正多边形就一定作不出来。

7是一个比5大的质数，按上面这种说法，正17边形是一定作不出来的。

在过去的2000年里，确实有许多数学家试图作出正17边形，但无一不遭受失败。

岂料在1796年，18岁的大学生高斯居然用尺规作出了一个正17边形，顿时震动了整个欧洲数学界。

　　这件事也深深震动了高斯，使他充分意识到自己的数学能力，从此决心献身于数学研究，后来终于成为一代数学大师。

　　高斯还发明了一个判别法则，指出什么样的正多边形能由尺规作出，什么样的正多边形则不能，圆满地解决了正多边形的可能性问题。

高斯指出，如果仅用圆规和直尺，作圆内接正多边形，当边数满足如下特征之一方可做出：

1）　正偶数；

2）正奇数且边数为费马质数或不同的费马质数乘积（费马质数是质数且型如

k是非负正整数）

高斯的判别法则表明，能够由尺规作出的正多边形是很少的，例如，在边数是100以内的正多边形中，能够由尺规作出的只有24种。

　　有趣的是，正7边形的边数虽少，却不能由尺现作出；

而正257边形，边数多得叫人实际上很难画出这样的图形，却一定可由尺规作出。

1832年，数学家黎克洛根据高斯指出的原则，解决了正257边形的作图问题。

他的作图步骤极其繁琐，写满了80页纸，创造了一项"

世界纪录"

。

　　不久，德国人赫尔梅斯又刷新了这个纪录。

他费了10年功夫，解决了正65537边形的作图问题。

这是世界上最繁琐的尺规作图题。

据说，赫尔梅斯手稿可以装满整整一手提箱呢！

二、两圆的公切线的作法

了解以圆为载体作出正多边形的作法并不是我们最终的目的，掌握其中的数学思想和分析解题方法才是最重要的。

下面就以作两圆的公切线为例，逐步阐明有关这类问题的一般分析解决方法。

两圆的外公切线有多种情况，有两圆相切、相离和相交三种情况，在不同的情况下，这些切线具有一些不同的性质。

我们先从最特殊的两圆相切的外公切线入手。

相切两圆的公切线

（1）内公切线

由于两圆相切，切点即为两圆心连线与圆相交的点，所以只需过切点作直线垂直于两圆心的连线即为两圆的内公切线。

（2）外公切线

作法：

1、过点A作两圆的内公切线MN，连结BC；

2、以BC为直径作圆，交MN于点F；

3、以点F为圆心，AF长为半径作圆，分别交圆B和圆C于点D、点E；

4、过点D和点E作直线DE，直线DE即为两圆的外公切线。

连结DF、FE

∵BC是⊙C的直径，点F在⊙C上∴∠CFB是直角

∵DF=AF，DB=AB，BF=BF

∴⊿FDB≌⊿FAB

∴∠FDA=∠FAB=90°

，∠DFB=∠AFB，同理∠CEF=90°

，∠AFC=∠CFE

又∵∠BFC=90°

∴∠DFA+∠AFE=180°

∴点E、F、D在同一直线上

∴直线ED为两圆的公切线

分析过程：

1、先粗略作出两圆的内外公切线，观察它们之间的联系与性质；

2、由草图可知由于AF=FD=FE（点E、D分别为两圆切点，F为内外公切线的交点，A为相切两

圆的切点），所以只要作出F点，又因为AF是可求的，就可以作出外公切线；

3、因为∠DFB=∠AFB，∠AFC=∠EFC，所以∠BFC=90°

，所以只需以BC为圆心作圆，就可作出

90°

的角，而点F又在圆的内公切线上，故所作新圆与内公切线的交点即为F点。

由上面的分析过程可总结出尺规作图的一种一般思路，即对于先粗略地作出所求作图形，然后找出可作出所求图形的关键点（线），把作图转化为求作关键点（线），接着研究分析关键点（线）的性质，试图从这些性质中找出作出这一点（线）的方法。

上面的作图方法中还体现了一种尺规作图中常见的思路，即直角法。

我们知道在圆中直径所对的角为直角，这样我们就可以在只知道直角三角线斜边的情况下作出直角，如果再知道这个直角的项点在圆周上的位置，那么就可作出这个直角了。

特殊的两圆的公切线作出来了，那么一般的两圆的公切线该如何作呢？

思路一：

1、粗略地作出已知两圆的外公切线，观察它们的一般性质；

2、由于两圆的外公切线与两圆心连线交于一点，连结各圆心与切点就能构出两个有一个角是直角的相似三角形；

3、分析这两个相似三角形的边的比例关系，根据课本中一种用尺规作成比例线段的作法，试图用已知边来作出未知边。

1、任意作直线l和直线p交于点C；

2、在l上截取CF等于圆A的半径，CD等于圆A与圆B的半径之差；

3、在p上截取CE=AB，连结DE；

4、过点F作FG∥DE交直线p于点G；

5、在直线AB上截取AO=CG，并且点O和点A分别在点B的两侧；

6、以BO为圆心作圆交圆B于点N，则直线ON即为两圆的外公切线。

过点A作AM⊥ON于点M设圆A的半径为a，圆B的半径为b，

∵DE∥FG∴⊿CDE∽⊿CFG

∴CE∶CG=CD∶CG，即AB∶AO=（a-b）∶a∴BO∶AO=b∶a

∵∠BNO=∠AMO=90°

∴⊿AMO∽⊿BNO

∴BO∶AO=BN∶AM，即BO∶AO=b∶AM∴AM=b，即AM为圆A的半径，

∴直线NO为两圆的外公切线

上面的作图方法主要是运用了等线段法，思考过程是按照前面所介绍的一般思路来思考，在粗略地作出草图后，找到了关键点O，然后根据点O所具有的特殊性质作出点O，再用直角法作出切线。

上面的作图过程还体现了尺规作图中一种其本图形画法的应用——比例线段作法。

用此法可以解决求作已知成比例线段的问题。

上面的作图方法虽然烦琐，但也是一种重要的作图方法。

下法就介绍一种更简便的方法。

思路二：

1、粗略作出草图，分析其间关系；

2、在平时做求公切线长度的题中，常用的作辅助线的作法就是，过小圆圆心作直线，垂直于大圆圆心与切点连结而成的线段，然后用勾股定理来求公切线的长度；

3、按此作辅助线的作法作出辅助线，分析发现其中关系，作出图形。

1、以AB为直径作圆，交以点A为圆心，⊙A和⊙B的半径之差长为半径作的圆于点E；

2、连结AE并延长AE交⊙A于点F；

3、过点F作AF的垂线l，则直线l即为两圆的外公切线。

过点B作BG⊥l，并且交l于点G，设圆A的半径为a，圆B的半径为b

∵∠FEB=∠EFG=∠FGB=90°

∴四连形EFGB是矩形

∴BG=EF=AF-AE=a-（a-b）=b

∴直线l是两圆的外公切线

上面的作图方法是性质法，作图过程也遵守了上面所介绍的一般思维方法，找出关键点E，然后作出图形。

这种方法与平时的一般作辅助线的方法联系紧密，这也从某种角度说明了尺规作图与作辅助线间的关系，我们可以从平时的作题过程中积累作辅助线的方法，这会对研究尺规作图有很大的帮助。

上面作的都是两圆的外公切线，其实内公切线用上面的两种的作图、分析方法也一样可以作出来，这里就不多加介绍了。

尺规作图在人类社会的发展史上发挥着重要的作用。

尺规作图的研究，促成数学上多个领域的发展。

好些数学结果就是为解决尺规作图三大难题而得出的副产品，对尺规作图的探索推动了对圆锥曲线的研究，发现了一批著名的曲线，等等。

二十世纪六十年代前的工程图学的理论基础是尺规作图，因为二十世纪六十年代以前的工程图样生产方式是手工尺规作图，手工尺规作图决定了整个传统工程图学学科结构模式。

通过对尺规作图的研究，能丰富我们的知识，加强我们的动手能力，拓展我们的思维方式，对今后数学甚至其它学科的学习都有很大的帮助。

让我们投入尺规作图的行列中，使这个古老的经典问题焕发新的生机吧！

参考文献

中基网