高等数学讲义第一章Word格式文档下载.docx
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f(x2)]则称f(x)在X上是单调增加的[单调减少的];
若对任意x1∈X,x2∈X,x1<
x2都有f(x1)≤f(x2)[f(x1)≥f(x2)],则称f(x)在X上是单调不减[单调不增]
(注意:
有些书上把这里单调增加称为严格单调增加;
把这里单调不减称为单调增加。
)1
4.周期性:
设f(x)在X上有定义,如果存在常数T≠0,使得任意x∈X,x+T∈X,都有
f(x+T)=f(x),则称f(x)是周期函数,称T为f(x)的周期。
由此可见,周期函数有无穷多个周期,一般我们把其中最小正周期称为周期。
(乙)典型例题
一、定义域与值域
例1设f(x)的定义域为[-a,a](a>
0)求f(x2-1)的定义域
解:
要求-a≤x2-1≤a,则1-a≤x2≤1+a,
当a≥1时,1-a≤0,∴x2≤1+a,则x≤+a
当0<
a<
1时,1-a>
0,∴-a≤x≤+a也即-a≤x≤+a或-+a≤x≤--a
⎧3-x3,x<
-2
例2求y=f(x)=⎪⎨5-x,-2≤x≤2的值域,并求它的反函数。
⎪⎩1-(x-2)2,x>
2
x<
-2,y>
3+8=11,x=3-y,
-2≤x≤2,3≤y=5-x≤7,x=5-y,
x>
2,y=1-(x-2)2<
1,x=2+-y,
所以y=f(x)的值域为(-∞,1)⋃[3,7]⋃(11,+∞)⎧2y<
1
反函数x=⎪⎨5-y,3≤y≤7
⎪⎩y>
11
二、求复合函数有关表达式
例1设f(x)=x
+x2,求f[f(f(x))]=fn(x)
n重复合
x2x=/+=解:
f2(x)=f[f(x)]=,22221+x+f(x)+x+2xf(x)x
x2x若fk(x)=,则fk+1(x)==/+=2xfk(x)x+kx2+f2kx2
k(x)+
根据数学归纳法可知,对正整数n,fx
n(x)=+nx2
例2已知f'
(ex)=xe-x,且f
(1)=0,求f(x)
令ex=t,x=lnt,因此f'
(ex)=f'
(t)=lnt
t,
f(x)-f
(1)=⎰xlntx1
1tdt=1
2ln2t1=2ln2x
f
(1)=0,∴f(x)=1
2ln2x
三、有关四种性质
例1设F'
(x)=f(x),则下列结论正确的是[
(A)若f(x)为奇函数,则F(x)为偶函数
(B)若f(x)为偶函数,则F(x)为奇函数
(C)若f(x)为周期函数,则F(x)为周期函数
(D)若f(x)为单调函数,则F(x)为单调函数
例2求I=⎰1
-1x[x5+(ex-e-x)ln(x+x2+1)]dx
解fx
1(x)=e-e-x是奇函数,f1(-x)=e-x-ex=-f1(x)f2(x)=ln(x+x2+1)是奇函数,
f2(x2+1)-x2
2(-x)=ln(-x+x+1)=lnx+x2+1
=ln1-ln(x+x2+1)=-f2(x)因此x(ex-e-x)ln(x+x2+1)是奇函数
31+kx+(k+1)x2]
于是I=⎰1
-1x6dx+0=2⎰x6dx=0127
例3设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数,且f'
(x)g(x)-f(x)g'
(x)<
0,则当a<
b时,下列结论成立的是[]
(B)f(x)g(a)>
f(a)g(x)(D)f(x)g(x)>
f(a)g(a)(A)f(x)g(b)>
f(b)g(x)(C)f(x)g(x)>
f(b)g(b)
思考题:
两个周期函数之和是否为周期函数
四、函数方程
例1.设f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=0,反函数为g(x),且⎰f(x)
0g(t)dt=x2ex,求f(x)。
x解:
两边对x求导得g[f(x)]f'
(x)=2xex+x2ex,于是xf'
(x)=x(2+x)ex,故f'
(x)=(x2+)e,
f(x)=(x+1)ex+C,由f(0)=0,得C=-1,则f(x)=(x+1)ex-1。
例2设f(x)满足sinf(x)-
令g(x)=sinf(x),则11sinf(x)=x,求f(x)33
11g(x)-g(x)=x,33
11111g(x)-2g(2x)=2x,33333
11111g(x)-g(x)=x,3232333334
„„
111g(x)=x,n-1n-1nn2(n-1)33333
1111各式相加,得g(x)-ng(nx)=x[1+++n-1]9339
11g(x)≤1,∴limng(nx)=0n→∞33g(x)-11
lim[1+n→∞11++n-1]=9911-1
9=98
4
因此g(x)=9x,于是8
99f(x)=arcsinx+2kπ或(2k+1)π-arcsinx(k为整数)88
思考题
设b>
a均为常数,求方程
sin(x+b)ln[(x+b)+-sin(x+a)ln[(x+a)+=0的一个解。
1.2极限
一、极限的概念与基本性质
1.极限的概念
(1)数列的极限limxn=An→∞
(2)函数的极限limf(x)=A;
limf(x)=A;
limf(x)=Ax→+∞x→-∞x→∞
f(x)=A;
limf(x)=Alimf(x)=A;
lim+-x→x0x→x0x→x0
2.极限的基本性质
定理1(极限的唯一性)设limf(x)=A,limf(x)=B,则A=B
定理2(极限的不等式性质)设limf(x)=A,limg(x)=B
若x变化一定以后,总有f(x)≥g(x),则A≥B
反之,A>
B,则x变化一定以后,有f(x)>
g(x)(注:
当g(x)≡0,B=0情形也称为极限的保号性)
定理3(极限的局部有界性)设limf(x)=A
则当x变化一定以后,f(x)是有界的。
定理4设limf(x)=A,limg(x)=B
则
(1)lim[f(x)+g(x)]=A+B
(2)lim[f(x)-g(x)]=A-B
5
(3)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅B
(4)limf(x)A=(B≠0)g(x)B
(5)lim[f(x)]g(x)=AB(A>
0)
二、无穷小
lim1.无穷小定义:
若limf(x)=0,则称f(x)为无穷小(注:
无穷小与x的变化过程有关,
当x→∞时1=0,x→∞x11为无穷小,而x→x0或其它时,不是无穷小)xx
2.无穷大定义:
任给M>
0,当x变化一定以后,总有f(x)>
M,则称f(x)为无穷大,记以limf(x)=∞。
3.无穷小与无穷大的关系:
在x的同一个变化过程中,
若f(x)为无穷大,则1为无穷小,f(x)
1为无穷大。
f(x)若f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则
4.无穷小与极限的关系:
limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limα(x)=0
5.两个无穷小的比较
设limf(x)=0,limg(x)=0,且limf(x)=lg(x)
(1)l=0,称f(x)是比g(x)高阶的无穷小,记以f(x)=o[g(x)]
称g(x)是比f(x)低阶的无穷小
(2)l≠0,称f(x)与g(x)是同阶无穷小
(3)l=1,称f(x)与g(x)是等阶无穷小,记以f(x)~g(x)
6.常见的等价无穷小,当x→0时
sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1-cosx~12x,ex-1~x,2
6
ln(1+x)~x,(1+x)α-1~αx。
7.无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小。
三、求极限的方法
1.利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2.两个准则
准则1:
单调有界数列极限一定存在
(1)若xn+1≤xn(n为正整数)又xn≥m(n为正整数),则limxn=A存在,且A≥mn→∞
(2)若xn+1≥xn(n为正整数)又xn≤M(n为正整数),则limxn=A存在,且A≤Mn→∞
准则2:
夹逼定理
设g(x)≤f(x)≤h(x)。
若limg(x)=A,limh(x)=A,则limf(x)=A
3.两个重要公式
公式1:
limsinx=1x→0x
11n1u公式2:
lim(1+)=e;
lim(1+v)v=en→∞u→∞v→0nu
4.用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5.用泰勒公式(比用等价无穷小更深刻)(数学一和数学二)
x2xn
+++o(xn)当x→0时,e=1+x+2!
n!
x
x3x5x2n+1
nsinx=x-++(-1)+o(x2n+1)3!
5!
(2n+1)!
2nx2x4
nxcosx=1-+-+(-1)+o(x2n)2!
4!
(2n)!
nx2x3
n+1xln(1+x)=x-+-(-1)+o(xn)23n
2n+1x3x5
n+1xarctanx=x-+-+(-1)+o(x2n+1)352n+1
(1+x)α=1+αx+
6.洛必达法则α(α-1)2!
x2++α(α-1)[α-(n-1)]n!
xn+o(xn)
7
法则1:
(0型)设
(1)limf(x)=0,limg(x)=00
(2)x变化过程中,f'
(x),g'
(x)皆存在
(3)limf'
(x)=A(或∞)'
g(x)
则limf(x)=A(或∞)g(x)
(注:
如果lim
形)
法则2:
(f'
(x)f(x)不存在且不是无穷大量情形,则不能得出lim不存在且不是无穷大量情'
g(x)g(x)∞型)设
(1)limf(x)=∞,limg(x)=∞∞
(x)=A(或∞)g'
(x)
7.利用导数定义求极限基本公式:
lim∆x→0f(x0+∆x)-f(x0)=f'
(x0)[如果存在]∆x
8.利用定积分定义求极限11nk基本公式lim∑f()=⎰f(x)dx0n→∞nnk=1[如果存在]
9.其它综合方法
(乙)典型例题
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
amxm+am-1xm-1+a1x+a0例1设am≠0,bn≠0,求limn-1x→∞bxn+bx+bx+bnn-110
amxm+am-1xm-1+a1x+a0解:
limn-1x→∞bxn+b++b1x+b0nn-1x
8
xm-n[am+am-1x-1++a1x1-m+a0x-m]=lim-11-n-nx→∞bn+bn-1x++b1x+b0x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩0,当m<
n时am,当m=n时bn∞,当m>
n时
n-1
n→∞例2设a≠0,r<
1,求lim(a+ar++ar)解:
lim(a+ar++arn→∞n-11-rna)=lima=n→∞1-r1-r
特例
(1)求lim⎢-()+()-+(-1)⎡2
n→∞3⎣2322
33n+12⎤()n⎥3⎦
例2中取a=22,r=-,可知原式=33221-(-)3=25
11+()n
24
(2)lim==n→∞11331+++()n
3321+
3n+1-2n
例3.求limn+1nn→∞2+3
分子、分母用3除之,n
23-()n
=3原式=limn→∞22()n+13
主要用当r<
1时,limr=0)n→∞n
二、用两个重要公式
例1求limcosn→∞xxxcoscosn242
当x=0,原式=1
9
xxxx2nsin
当x≠0时,原式=limncos2cos4cosn
n→∞2nsinx
2n
2n-1cosxcosxcosxx=limn-1⋅sinn-1n→∞2nsinx
=„
=limsinxsinxnsinxn→∞=lim⋅=2nsinxn→∞xxx
2nsin2n
例2求limx-1
x→∞(x+1)x1
x-1(x-1)/xx(1-)x
⎡1
解一:
lim(x+1)x=limx→∞⎢⎤⎣(x+1)/x⎦=limx
x→∞=e-=e-2x→∞⎥(1+1e
x)x
(x+1
解二:
limx-1-2)(-2x
x+1)
x→∞(x+1)x=lim⎡-2⎤
x→∞⎢⎣1+(x+1)⎥⎦=e-2
cos2x1
例3limcot2xsinx2x)⋅(-2)
x→0(cosx)=limx→0(1-sin2x)2=limx→0[1+(-sinx)cos2x(-sin=e-1
三、用夹逼定理求极限
例1.求lim1352n-
n→∞(2⋅4⋅61
2n)解:
令x=1
2⋅3
4⋅5
62n-1
2n,y=242n
nn3⋅52n+1,则0<
x21
n<
yn,于是0n<
xnyn=2n+1由夹逼定理可知:
limx2
n→∞n=0,于是原极限为0
n
例2求limn→∞∑kk=1n2+n+k
10
n1+2++nk1+2++n解:
≤≤∑222n+n+nn+n+1k=1n+n+k
1n(n+1)1+2++n1=lim=而lim2n→∞n→∞n(n+2)2n+2n
1n(n+1)1+2++n1lim2=lim2=n→∞n+n+1n→∞n+n+12
由夹逼定理可知limk1=∑2n→∞2n+n+kk=1n
四、用定积分定义求数列的极限
例1.求limn∑22n→∞k=1n+kn
分析:
如果还想用夹逼定理中的方法来考虑
nn2nn2
≤∑≤n2+n2k=1n2+k2n2+12
n21n2
=,lim22=1而lim2n→∞n+n22n→∞n+1
由此可见,无法再用夹逼定理,因此我们改用定积分定义来考虑n1n
=lim∑解:
lim∑22n→∞n→∞nn+kk=1k=1n1k21+()n
=⎰1πdx=arctanx=01+x2041
例2求limn→∞∑k=1nsinkπn1n+k
sinkπ
n≤1sinkπ∑n1nk=1n+kn1nkπ解:
∑sinn≤∑n+1k=1k=1
11nkπ2而lim∑sin=⎰sinπxdx=0n→∞nnπk=1
1nkπn1nkπ2limsin=lim()(∑sin)=∑n→∞n+1nn→∞n+1nk=1nπk=1
由夹逼定理可知,limn→∞∑k=1nsinkπ=21πn+k
五、用洛必达法则求极限
"
0"
∞"
型和型0∞
11-sin例1.求limn→∞1sin3
n1.
离散型不能直接用洛必达法则,故考虑
x-sinxx-sinx等价无穷小代换lim3x→0sin3xx→0x
1-cosxsinx1=lim=lim=x→0x→06x63x2
1∴原式=6lim
ex
例2.求lim10x→0x
12-x-2(3)e"
exx解:
若直接用型洛必达法则1,则得lim=lim12(不好办了,分母x的次数反而9x→0x→05x010x1-12
增加)为了避免分子求导数的复杂性,我们先用变量替换,令1=t2x
exe-tt5"
于是lim10=lim-5=limt(型)x→0xt→+∞tt→+∞e∞2-1
5t45!
=limt==limt=0t→+∞et→+∞e
12
⎰例3设函数f(x)连续,f(0)≠0,求limx→0x0(x-t)f(t)dtxx⎰f(x-t)dt0
原式=limx→0x⎰f(t)dt-⎰tf(t)dt00xxx⎰f(u)du0
0x(分母作变量替换x-t=u)⎰=limx→0f(t)dt+xf(x)-xf(x)⎰x
0(用洛必达法则,分子、分母各求导数)f(u)du+xf(x)
(用积分中值定理)
=limx→0
(ξ→0)xf(ξ)(ξ在0和x之间)xf(ξ)+xf(x)
=f(0)1=f(0)+f(0)2
2."
∞-∞"
型和"
0⋅∞"
型
1cos2x-)例1求lim(x→0sin2xx2
x2-sin2x⋅cos2x解:
原式=lim22x→0xsinx
1x2-sin22x=lim4x→0x42x-sin2xcos2x=limx→04x31x-sin4x=lim3x→02x1-cos4x=lim2x→06x4sin4x=limx→012x4=3
13
例2设a>
0,b>
0常数。
求limx(ax-bx
x→+∞)11令1=t
原式=ax-bxxat-bt"
xlim→+∞lim(型)
t→0+t0
用洛必达法则
=limt→0+(atlna-btlnb)
=lna-lnb
=lna
b
3.“1∞”型,“00”型和“∞0”型
这类都是lim[f(x)]g(x)形式可化为elimg(x)ln[f(x)]
而limg(x)ln[f(x)]都是“0⋅∞”型,按2的情形处理例1求xsin2x
xlim→0+
令y=xsin2x,lny=sin2xlnx
xlim→0+lny=xlim→0+sin2xlnx=0
∴lim+=e0x→0y=1
设a>
0常数,求例2n
n→∞
xx
先考虑lim(a+bx
x→+∞2)它是“1∞”型
x11
令y=(a+bx
2)x,lny=x[ln(ax+bx)-ln2]
ln(ax+bx)-ln2令1=tx
xlim→+∞lny=xlim→+∞1limln(at+bt)-ln2
t→0+t
14"
0型)(
atlna+btlnb1=lim=(lna+lnb)=lnabt→0+2at+bt
因此,lim(x→+∞a+bx)=ab21x1x
a+n于是,lim()=abn→∞2
六、求分段函数的极限例求lim(x→02+e1+e
x1x4x+sinx)|x|解:
lim(-x→02+e1+e+sinx)=2-1=1(-x)
x→0lim(+2e
e4-+x-4
xe-3x++1
xsinx)=0+1=1x∴lim(x→02+e1+e+sinx)=1|x|
七、用导数定义求极限
例1设f'
(x0)=2,求lim∆x→0f(x0+3∆x)-f(x0-2∆x)∆x
原式=lim[f(x0+3∆x)-f(x0)]-[f(x0-2∆x)-f(x0)]∆x→0∆x
=3lim∆x→0f(x0+3∆x)-f(x0)f(x0-2∆x)-f(x0)+2lim∆x→03∆x(-2∆x)
=3f'
(x0)+2f'
(x0)=5f'
(x0)=10
15
例2设曲线y=f(x)与y=sinx在原点相切,求limnf()n→∞2n
由题设可知f(0)=0,f'
(0)=(sinx)'
x=0=12f()-f(0)2于是limnf()=lim2⋅=2f'
(0)=2n→∞n→∞2n-0n
八、递推数列的极限
例1设0<
x1<
3,xn+1=xn(3-xn),证明linxn存在,并求其值。
n→∞
∵x1>
0,3-x1>
0,∴0<
x2=
(几何平均值≤算术平均值)
用数学归纳法可知n>
1时,0<
xn≤
又当n>
1时,xn+1-xn=x1(3-x1)≤x1+(3-x1)3=223,∴{xn}有界。
2xn(3-xn)-xn=xn(3-xn-xn)
xn(3-2xn)
-xn+xn≥0=
∴xn+1≥xn,则{xn}单调增加。
根据准则1,
把xn+1=limxn=l存在n→∞xn(3-xn)两边取极限,得l=l(3-l)
33,∴limxn=n→∞22l2=3l-l2,l=0(舍去)得l=
九、求极限的反问题
x2+ax+b例1设lim=3,求a和bx→1sin(x2-1)
由题设可知lim(x+ax+b)=0,∴1+a+b=0,再由洛必达法则得x→12
16
x2+ax+b2x+a2+alim=lim==3x→1sin(x2-1)x→12xcos(x2-1)2
a=4,b=-5
f(x+hx)h例2设f(x)在(0,+∞)内可导,f(x)>
0,limf(x)=1,且满足lim[]=ex,求x→∞h→0f(x)
f(x)。
lim[lnf(x+hx)-lnf(x)]f(x+hx)h解:
lim[]=eh→0h
h→0f(x)
limx[lnf(x+hx)-lnf(x)]1111=eh→0hx=ex[lnf(x)]'
因