高等数学讲义第一章Word格式文档下载.docx
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f（x2）]则称f（x）在X上是单调增加的[单调减少的]；
若对任意x1∈X，x2∈X,x1<
x2都有f（x1）≤f（x2）[f（x1）≥f（x2）]，则称f（x）在X上是单调不减[单调不增]
（注意：
有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；
把这里单调不减称为单调增加。
）1
4．周期性：
设f（x）在X上有定义，如果存在常数T≠0，使得任意x∈X，x+T∈X，都有
f（x+T）=f（x），则称f（x）是周期函数，称T为f（x）的周期。
由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。
（乙）典型例题
一、定义域与值域
例1设f（x）的定义域为[-a,a]（a>
0）求f（x2-1）的定义域
解：
要求-a≤x2-1≤a，则1-a≤x2≤1+a，
当a≥1时，1-a≤0，∴x2≤1+a，则x≤+a
当0<
a<
1时，1-a>
0，∴-a≤x≤+a也即-a≤x≤+a或-+a≤x≤--a
⎧3-x3,x<
-2
例2求y=f（x）=⎪⎨5-x,-2≤x≤2的值域，并求它的反函数。
⎪⎩1-（x-2）2,x>
2
x<
-2，y>
3+8=11，x=3-y，
-2≤x≤2，3≤y=5-x≤7，x=5-y，
x>
2，y=1-（x-2）2<
1，x=2+-y，
所以y=f（x）的值域为（-∞,1）⋃[3,7]⋃（11,+∞）⎧2y<
1
反函数x=⎪⎨5-y,3≤y≤7
⎪⎩y>
11
二、求复合函数有关表达式
例1设f（x）=x
+x2，求f[f（f（x））]=fn（x）
n重复合
x2x=/+=解：
f2（x）=f[f（x）]=，22221+x+f（x）+x+2xf（x）x
x2x若fk（x）=，则fk+1（x）==/+=2xfk（x）x+kx2+f2kx2
k（x）+
根据数学归纳法可知，对正整数n，fx
n（x）=+nx2
例2已知f'
（ex）=xe-x，且f
（1）=0，求f（x）
令ex=t，x=lnt，因此f'
（ex）=f'
（t）=lnt
t，
f（x）-f
（1）=⎰xlntx1
1tdt=1
2ln2t1=2ln2x
f
（1）=0，∴f（x）=1
2ln2x
三、有关四种性质
例1设F'
（x）=f（x），则下列结论正确的是[
（A）若f（x）为奇函数，则F（x）为偶函数
（B）若f（x）为偶函数，则F（x）为奇函数
（C）若f（x）为周期函数，则F（x）为周期函数
（D）若f（x）为单调函数，则F（x）为单调函数
例2求I=⎰1
-1x[x5+（ex-e-x）ln（x+x2+1）]dx
解fx
1（x）=e-e-x是奇函数，f1（-x）=e-x-ex=-f1（x）f2（x）=ln（x+x2+1）是奇函数，
f2（x2+1）-x2
2（-x）=ln（-x+x+1）=lnx+x2+1
=ln1-ln（x+x2+1）=-f2（x）因此x（ex-e-x）ln（x+x2+1）是奇函数
31+kx+（k+1）x2]
于是I=⎰1
-1x6dx+0=2⎰x6dx=0127
例3设f（x）,g（x）是恒大于零的可导函数，且f'
（x）g（x）-f（x）g'
（x）<
0，则当a<
b时，下列结论成立的是[]
（B）f（x）g（a）>
f（a）g（x）（D）f（x）g（x）>
f（a）g（a）（A）f（x）g（b）>
f（b）g（x）（C）f（x）g（x）>
f（b）g（b）
思考题：
两个周期函数之和是否为周期函数
四、函数方程
例1．设f（x）在[0,+∞）上可导，f（0）=0，反函数为g（x），且⎰f（x）
0g（t）dt=x2ex，求f（x）。
x解：
两边对x求导得g[f（x）]f'
（x）=2xex+x2ex，于是xf'
（x）=x（2+x）ex，故f'
（x）=（x2+）e，
f（x）=（x+1）ex+C，由f（0）=0，得C=-1，则f（x）=（x+1）ex-1。
例2设f（x）满足sinf（x）-
令g（x）=sinf（x），则11sinf（x）=x，求f（x）33
11g（x）-g（x）=x，33
11111g（x）-2g（2x）=2x，33333
11111g（x）-g（x）=x，3232333334
„„
111g（x）=x，n-1n-1nn2（n-1）33333
1111各式相加，得g（x）-ng（nx）=x[1+++n-1]9339
11g（x）≤1，∴limng（nx）=0n→∞33g（x）-11
lim[1+n→∞11++n-1]=9911-1
9=98
4
因此g（x）=9x，于是8
99f（x）=arcsinx+2kπ或（2k+1）π-arcsinx（k为整数）88
思考题
设b>
a均为常数，求方程
sin（x+b）ln[（x+b）+-sin（x+a）ln[（x+a）+=0的一个解。
1.2极限
一、极限的概念与基本性质
1．极限的概念
（1）数列的极限limxn=An→∞
（2）函数的极限limf（x）=A；
limf（x）=A；
limf（x）=Ax→+∞x→-∞x→∞
f（x）=A；
limf（x）=Alimf（x）=A；
lim+-x→x0x→x0x→x0
2．极限的基本性质
定理1（极限的唯一性）设limf（x）=A，limf（x）=B，则A=B
定理2（极限的不等式性质）设limf（x）=A，limg（x）=B
若x变化一定以后，总有f（x）≥g（x），则A≥B
反之，A>
B，则x变化一定以后，有f（x）>
g（x）（注：
当g（x）≡0，B=0情形也称为极限的保号性）
定理3（极限的局部有界性）设limf（x）=A
则当x变化一定以后，f（x）是有界的。
定理4设limf（x）=A，limg（x）=B
则
（1）lim[f（x）+g（x）]=A+B
（2）lim[f（x）-g（x）]=A-B
5
（3）lim[f（x）⋅g（x）]=A⋅B
（4）limf（x）A=（B≠0）g（x）B
（5）lim[f（x）]g（x）=AB（A>
0）
二、无穷小
lim1．无穷小定义：
若limf（x）=0，则称f（x）为无穷小（注：
无穷小与x的变化过程有关，
当x→∞时1=0，x→∞x11为无穷小，而x→x0或其它时，不是无穷小）xx
2．无穷大定义：
任给M>
0，当x变化一定以后，总有f（x）>
M，则称f（x）为无穷大，记以limf（x）=∞。
3．无穷小与无穷大的关系：
在x的同一个变化过程中，
若f（x）为无穷大，则1为无穷小，f（x）
1为无穷大。
f（x）若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则
4．无穷小与极限的关系：
limf（x）=A⇔f（x）=A+α（x），其中limα（x）=0
5．两个无穷小的比较
设limf（x）=0，limg（x）=0，且limf（x）=lg（x）
（1）l=0，称f（x）是比g（x）高阶的无穷小，记以f（x）=o[g（x）]
称g（x）是比f（x）低阶的无穷小
（2）l≠0，称f（x）与g（x）是同阶无穷小
（3）l=1，称f（x）与g（x）是等阶无穷小，记以f（x）~g（x）
6．常见的等价无穷小，当x→0时
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~12x，ex-1~x，2
6
ln（1+x）~x，（1+x）α-1~αx。
7．无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小。
三、求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1：
单调有界数列极限一定存在
（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正整数），则limxn=A存在，且A≥mn→∞
（2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正整数），则limxn=A存在，且A≤Mn→∞
准则2：
夹逼定理
设g（x）≤f（x）≤h（x）。
若limg（x）=A，limh（x）=A，则limf（x）=A
3．两个重要公式
公式1：
limsinx=1x→0x
11n1u公式2：
lim（1+）=e；
lim（1+v）v=en→∞u→∞v→0nu
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）
x2xn
+++o（xn）当x→0时，e=1+x+2!
n!
x
x3x5x2n+1
nsinx=x-++（-1）+o（x2n+1）3!
5!
（2n+1）!
2nx2x4
nxcosx=1-+-+（-1）+o（x2n）2!
4!
（2n）!
nx2x3
n+1xln（1+x）=x-+-（-1）+o（xn）23n
2n+1x3x5
n+1xarctanx=x-+-+（-1）+o（x2n+1）352n+1
（1+x）α=1+αx+
6．洛必达法则α（α-1）2!
x2++α（α-1）[α-（n-1）]n!
xn+o（xn）
7
法则1：
（0型）设
（1）limf（x）=0,limg（x）=00
（2）x变化过程中，f'
（x），g'
（x）皆存在
（3）limf'
（x）=A（或∞）'
g（x）
则limf（x）=A（或∞）g（x）
（注：
如果lim
形）
法则2：
（f'
（x）f（x）不存在且不是无穷大量情形，则不能得出lim不存在且不是无穷大量情'
g（x）g（x）∞型）设
（1）limf（x）=∞,limg（x）=∞∞
（x）=A（或∞）g'
（x）
7．利用导数定义求极限基本公式：
lim∆x→0f（x0+∆x）-f（x0）=f'
（x0）[如果存在]∆x
8．利用定积分定义求极限11nk基本公式lim∑f（）=⎰f（x）dx0n→∞nnk=1[如果存在]
9．其它综合方法
（乙）典型例题
一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限
amxm+am-1xm-1+a1x+a0例1设am≠0，bn≠0，求limn-1x→∞bxn+bx+bx+bnn-110
amxm+am-1xm-1+a1x+a0解：
limn-1x→∞bxn+b++b1x+b0nn-1x
8
xm-n[am+am-1x-1++a1x1-m+a0x-m]=lim-11-n-nx→∞bn+bn-1x++b1x+b0x⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩0，当m<
n时am,当m=n时bn∞,当m>
n时
n-1
n→∞例2设a≠0，r<
1，求lim（a+ar++ar）解：
lim（a+ar++arn→∞n-11-rna）=lima=n→∞1-r1-r
特例
（1）求lim⎢-（）+（）-+（-1）⎡2
n→∞3⎣2322
33n+12⎤（）n⎥3⎦
例2中取a=22，r=-，可知原式=33221-（-）3=25
11+（）n
24
（2）lim==n→∞11331+++（）n
3321+
3n+1-2n
例3．求limn+1nn→∞2+3
分子、分母用3除之，n
23-（）n
=3原式=limn→∞22（）n+13
主要用当r<
1时，limr=0）n→∞n
二、用两个重要公式
例1求limcosn→∞xxxcoscosn242
当x=0，原式=1
9
xxxx2nsin
当x≠0时，原式=limncos2cos4cosn
n→∞2nsinx
2n
2n-1cosxcosxcosxx=limn-1⋅sinn-1n→∞2nsinx
=„
=limsinxsinxnsinxn→∞=lim⋅=2nsinxn→∞xxx
2nsin2n
例2求limx-1
x→∞（x+1）x1
x-1（x-1）/xx（1-）x
⎡1
解一：
lim（x+1）x=limx→∞⎢⎤⎣（x+1）/x⎦=limx
x→∞=e-=e-2x→∞⎥（1+1e
x）x
（x+1
解二：
limx-1-2）（-2x
x+1）
x→∞（x+1）x=lim⎡-2⎤
x→∞⎢⎣1+（x+1）⎥⎦=e-2
cos2x1
例3limcot2xsinx2x）⋅（-2）
x→0（cosx）=limx→0（1-sin2x）2=limx→0[1+（-sinx）cos2x（-sin=e-1
三、用夹逼定理求极限
例1．求lim1352n-
n→∞（2⋅4⋅61
2n）解：
令x=1
2⋅3
4⋅5
62n-1
2n，y=242n
nn3⋅52n+1，则0<
x21
n<
yn，于是0n<
xnyn=2n+1由夹逼定理可知：
limx2
n→∞n=0，于是原极限为0
n
例2求limn→∞∑kk=1n2+n+k
10
n1+2++nk1+2++n解：
≤≤∑222n+n+nn+n+1k=1n+n+k
1n（n+1）1+2++n1=lim=而lim2n→∞n→∞n（n+2）2n+2n
1n（n+1）1+2++n1lim2=lim2=n→∞n+n+1n→∞n+n+12
由夹逼定理可知limk1=∑2n→∞2n+n+kk=1n
四、用定积分定义求数列的极限
例1．求limn∑22n→∞k=1n+kn
分析：
如果还想用夹逼定理中的方法来考虑
nn2nn2
≤∑≤n2+n2k=1n2+k2n2+12
n21n2
=，lim22=1而lim2n→∞n+n22n→∞n+1
由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑n1n
=lim∑解：
lim∑22n→∞n→∞nn+kk=1k=1n1k21+（）n
=⎰1πdx=arctanx=01+x2041
例2求limn→∞∑k=1nsinkπn1n+k
sinkπ
n≤1sinkπ∑n1nk=1n+kn1nkπ解：
∑sinn≤∑n+1k=1k=1
11nkπ2而lim∑sin=⎰sinπxdx=0n→∞nnπk=1
1nkπn1nkπ2limsin=lim（）（∑sin）=∑n→∞n+1nn→∞n+1nk=1nπk=1
由夹逼定理可知，limn→∞∑k=1nsinkπ=21πn+k
五、用洛必达法则求极限
"
0"
∞"
型和型0∞
11-sin例1．求limn→∞1sin3
n1．
离散型不能直接用洛必达法则，故考虑
x-sinxx-sinx等价无穷小代换lim3x→0sin3xx→0x
1-cosxsinx1=lim=lim=x→0x→06x63x2
1∴原式=6lim
ex
例2．求lim10x→0x
12-x-2（3）e"
exx解：
若直接用型洛必达法则1，则得lim=lim12（不好办了，分母x的次数反而9x→0x→05x010x1-12
增加）为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令1=t2x
exe-tt5"
于是lim10=lim-5=limt（型）x→0xt→+∞tt→+∞e∞2-1
5t45!
=limt==limt=0t→+∞et→+∞e
12
⎰例3设函数f（x）连续，f（0）≠0，求limx→0x0（x-t）f（t）dtxx⎰f（x-t）dt0
原式=limx→0x⎰f（t）dt-⎰tf（t）dt00xxx⎰f（u）du0
0x（分母作变量替换x-t=u）⎰=limx→0f（t）dt+xf（x）-xf（x）⎰x
0（用洛必达法则，分子、分母各求导数）f（u）du+xf（x）
（用积分中值定理）
=limx→0
（ξ→0）xf（ξ）（ξ在0和x之间）xf（ξ）+xf（x）
=f（0）1=f（0）+f（0）2
2．"
∞-∞"
型和"
0⋅∞"
型
1cos2x-）例1求lim（x→0sin2xx2
x2-sin2x⋅cos2x解：
原式=lim22x→0xsinx
1x2-sin22x=lim4x→0x42x-sin2xcos2x=limx→04x31x-sin4x=lim3x→02x1-cos4x=lim2x→06x4sin4x=limx→012x4=3
13
例2设a>
0，b>
0常数。
求limx（ax-bx
x→+∞）11令1=t
原式=ax-bxxat-bt"
xlim→+∞lim（型）
t→0+t0
用洛必达法则
=limt→0+（atlna-btlnb）
=lna-lnb
=lna
b
3．“1∞”型，“00”型和“∞0”型
这类都是lim[f（x）]g（x）形式可化为elimg（x）ln[f（x）]
而limg（x）ln[f（x）]都是“0⋅∞”型，按2的情形处理例1求xsin2x
xlim→0+
令y=xsin2x，lny=sin2xlnx
xlim→0+lny=xlim→0+sin2xlnx=0
∴lim+=e0x→0y=1
设a>
0常数，求例2n
n→∞
xx
先考虑lim（a+bx
x→+∞2）它是“1∞”型
x11
令y=（a+bx
2）x，lny=x[ln（ax+bx）-ln2]
ln（ax+bx）-ln2令1=tx
xlim→+∞lny=xlim→+∞1limln（at+bt）-ln2
t→0+t
14"
0型）（
atlna+btlnb1=lim=（lna+lnb）=lnabt→0+2at+bt
因此，lim（x→+∞a+bx）=ab21x1x
a+n于是，lim（）=abn→∞2
六、求分段函数的极限例求lim（x→02+e1+e
x1x4x+sinx）|x|解：
lim（-x→02+e1+e+sinx）=2-1=1（-x）
x→0lim（+2e
e4-+x-4
xe-3x++1
xsinx）=0+1=1x∴lim（x→02+e1+e+sinx）=1|x|
七、用导数定义求极限
例1设f'
（x0）=2，求lim∆x→0f（x0+3∆x）-f（x0-2∆x）∆x
原式=lim[f（x0+3∆x）-f（x0）]-[f（x0-2∆x）-f（x0）]∆x→0∆x
=3lim∆x→0f（x0+3∆x）-f（x0）f（x0-2∆x）-f（x0）+2lim∆x→03∆x（-2∆x）
=3f'
（x0）+2f'
（x0）=5f'
（x0）=10
15
例2设曲线y=f（x）与y=sinx在原点相切，求limnf（）n→∞2n
由题设可知f（0）=0，f'
（0）=（sinx）'
x=0=12f（）-f（0）2于是limnf（）=lim2⋅=2f'
（0）=2n→∞n→∞2n-0n
八、递推数列的极限
例1设0<
x1<
3，xn+1=xn（3-xn），证明linxn存在，并求其值。
n→∞
∵x1>
0，3-x1>
0，∴0<
x2=
（几何平均值≤算术平均值）
用数学归纳法可知n>
1时，0<
xn≤
又当n>
1时，xn+1-xn=x1（3-x1）≤x1+（3-x1）3=223，∴{xn}有界。
2xn（3-xn）-xn=xn（3-xn-xn）
xn（3-2xn）
-xn+xn≥0=
∴xn+1≥xn，则{xn}单调增加。
根据准则1，
把xn+1=limxn=l存在n→∞xn（3-xn）两边取极限，得l=l（3-l）
33，∴limxn=n→∞22l2=3l-l2，l=0（舍去）得l=
九、求极限的反问题
x2+ax+b例1设lim=3，求a和bx→1sin（x2-1）
由题设可知lim（x+ax+b）=0，∴1+a+b=0，再由洛必达法则得x→12
16
x2+ax+b2x+a2+alim=lim==3x→1sin（x2-1）x→12xcos（x2-1）2
a=4,b=-5
f（x+hx）h例2设f（x）在（0,+∞）内可导，f（x）>
0，limf（x）=1，且满足lim[]=ex，求x→∞h→0f（x）
f（x）。
lim[lnf（x+hx）-lnf（x）]f（x+hx）h解：
lim[]=eh→0h
h→0f（x）
limx[lnf（x+hx）-lnf（x）]1111=eh→0hx=ex[lnf（x）]'
因
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