第二节 二重积分的计算.docx

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第二节二重积分的计算

第二节二重积分的计算

教学目的：

掌握二重积分的计算方法，能正确计算二重积分

教学重点：

二重积分计算

教学难点：

利用极坐标计算二重积分、应用

教学时数：

6

教学内容：

一般情况下，直接利用二重积分的定义计算二重积分是非常困难的，二重积分的计算可以归结为求二次定积分（即二次积分）。

现在我们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方法。

一、利用直角坐标系计算二重积分

若二重积分存在，和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下我们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形（如图所示），于是小矩形的面积，因此在直角坐标系下，面积元素为：

于是二重积分可写成

现在，我们根据二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方法。

1．积分区域D为：

，

其中函数，在上连续（如图所示）。

不妨设，由二重积分的几何意义知，表示以D为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积（如图所示）．我们可以应用第五章中计算“平行截面面积为巳知的立体的体积”的方法，来计算这个曲顶柱体的体积．

先计算截面面积。

在区间中任意取定一点，过作平行于面的平面，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底，曲线为曲边的曲边梯形（图中阴影部分），其面积为

一般地，过区间上任意一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

于是，由计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体的体积为

即

上式右端是一个先对y、再对x的二次积分．就是说，先把x看作常数，把只看作y的函数，并对y计算从到的定积分，然后把所得的结果（是x的函数）再对x计算从a到b的定积分．这个先对y、再对x的二次积分也常记作

从而把二重积分化为先对y，再对x的二次积分的公式写作

在上述讨论中，我们假定．但实际上公式的成立并不受此条件限制。

2．积分区域D为：

，

其中函数，在区间上连续（如图所示）。

仿照第一种类型的计算方法，有

这就是把二重积分化为先对x、再对y的二次积分的公式。

3．如果积分区域D不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将D分割，使其各部分符合第一种类型或第二种类型（如图所示）。

例1：

计算积分，其中D为矩形区域：

，。

解法一：

矩形区域既属于第一种类型，也属于第二种类型，所以，可以先对x积分，也可以先对y积分。

先选择先对y积分。

解法二：

再选择先对积分

例2：

计算积分，其中D为矩形区域：

，。

解：

积分区域虽然是矩形区域，但先对x进行积分，需要用分步积分法，比较麻烦。

如果先对y积分，则比较简单。

所以此题选择先对y积分。

例3：

计算，其中D是直线与抛物线围成的区域。

解：

积分区域D如图所示。

直线与抛物线的交点是与。

（1）若先对y后对x积分，则积分区域D表示为：

，

故

（2）若先对x后对y积分，则积分区域D表示为：

，

故

例4：

计算二重积分，其中D是抛物线，直线所围成。

解：

画出积分区域的图形（如图所示），解方程组

得抛物线和直线的两个交点，。

选择先对x积分，后对y积分，则积分区域D表示为：

，

当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，即先对y后对x积分，如图所示。

但必须把积分区域划分成两个区域和，分别表示为：

：

，

：

，

例5：

计算二重积分，其中D是由直线，及双曲线所围成的区域（如图所示）。

解：

直线与双曲线在第一象限的交点为，选择先对y后对x积分，则积分区域D可表示为：

，

于是

当然，这个积分也可以选择另一种积分次序，即先对x后对y积分。

但必须把积分区域划分成两个区域，分别表示为：

，

，

从例4、例5两例可以看出，积分次序的选择直接影响着二重积分计算的繁简程度。

显然，积分次序的选择与积分区域有关。

例6：

计算，其中D是由直线，，围成的（如图所示）。

解：

选选对x后对y积分，则积分区域D表示为：

，

如果改变积分次序，即先对y积分，后对x积分，则得

由于的原函数不能用初等函数表示，所以无法计算出二重积分的结果．

从例6知道，选择积分次序也要考虑到被积函数的特点。

从我们所作的这些例题看到，计算二重积分关键是如何化为二次积分，而在化二重积分为二次积分的过程中又要注意积分次序的选择。

由于二重积分化为二次积分时，有两种积分顺序，所以通过二重积分可以将已给的二次积分进行更换积分顺序，这种积分顺序的更换，有时可以简化问题的计算。

二、利用极坐标计算二重积分

对于某些被积函数和某些积分区域，利用直角坐标系计算二重积分往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。

下面介绍在极坐标系下，二重积分的计算方法。

在极坐标系下计算二重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表示即可。

为此，分割积分区域，用r取一系列的常数（得到一族中心在极点的同心圆）和取一系列的常数（得到一族过极点的射线）的两组曲线将D分成小区域。

如图所示。

设是半径为和的两个圆弧及极角和的两条射线所围成的小区域，其面积可近似地表示为

因此在极坐标系下的面积元素为

再分别用，代替被积函数中的x，y。

于是得到二重积分在极坐标系下的表达式

下面分三种情况，给出在极坐标系下如何把二重积分化成二次积分

1．极点O在区域D之外，D是由，，和围成（如图所示），这时有公式

2．极点O在区域D的边界上，D是由，，围成（如图所示），这时有公式

3．极点O在区域D之内，区域是由所围成（如图所示），这时有公式

例7：

计算二重积分，其中D：

。

解：

积分区域D（如图所示），D的边界曲线的极坐标方程为。

属于第二种情况，于是

例8：

计算二重积分，其中D为二圆和之间的环形区域。

解：

积分区域D（如图所示），属于第一种情况。

在极坐标下D可表示为：

，

于是

例9：

计算球体被圆柱面所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积（如图所示）。

解：

由对称性

其中D为半圆周及x轴所围成的区域，在极坐标系中，D可表示为：

，

于是

一般说来，当被积函数为的形式，而积分区域为圆形，扇形，圆环形时，在直角坐标系下计算往往很困难，通常都是在极坐标系下来计算。

三、无界域上的反常二重积分

和一元函数一样，可以引进无界域上的反常二重积分。

它是在概率统计中有广泛应用的一种积分形式，一般可先在有界域上积分，然后令有界域趋于原无界域时取极限求解。

例10：

计算二重积分，其中是以曲线和及轴为边界的无界区域。

解：

令由曲线和及围成，则

于是