高三一轮复习文科立体几何学案docxWord格式.docx
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D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
（4）设有以下四个命题：
①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；
②底面是矩形的平行六面体是长方体；
③直四棱柱是直平行六面体；
④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是
________．
（5）有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为
_______
（6）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为
1∶16，截去的圆
锥的母线长是
3cm，则圆台的母线长为
________cm.
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，
四条侧棱称为它的腰，
以下四个命题中，
假命题是（
）
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
2．给出下列四个命题：
①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；
②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；
③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是
直棱柱；
④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是（）A．0
B．1
C．2
D．3
空间几何体的三视图
例1．
（1）如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA1⊥平面A1B1C1，正视图是边
长为2的正方形，该三棱柱的侧视图的面积为（）
（2）一个简单几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图不可能为（）
A．正方形B．圆C．等腰三角形D．直角梯形
（3）正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图和侧视图是全等的等腰三角形，
则正视图的周长为_______．
[例2]
（1）如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点，则四面体ABCD的三视图是（用
①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列）（）
A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥
D．③④⑤
（2）将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图
所示，则该几何体的侧（左）视图为（）
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，
已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为（）
3
B.3
C.3
A.2
4
D.6
2.如图所示，三棱锥P-ABC的底面ABC是直角三角形，直角边长AB＝3，AC＝4，过直角顶点的侧棱
PA⊥平面ABC，且PA＝5，则该三棱锥的正视图是（）
3.已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧
视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）
4.一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．
空间几何体的直观图
例1.
（1）用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正
方形，则原来的图形是（）
（2）已知正三角形ABC的边长为2，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为________．
1．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四
边形ABCD的面积为22cm2，则原平面图形的面积为（）
A．4cm2B．42cm2C．8cm2D．82cm2
2.等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二
测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________．
第二节空间几何体的表面积与体积
一．知识梳理
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱圆锥圆台
侧面展开图
侧面积公式
r′＝rr′＝0
圆柱、圆锥、圆台侧面积间的关系：
S圆柱侧＝2πrl――→S圆台侧＝π（r＋r′）l――→S圆锥侧＝πrl.
2．空间几何体的表面积与体积公式
（1）柱体：
（2）锥体：
（3）台体：
空间几何体的表面积
[例1]
（1）某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面
积为（）
A．4π＋16＋43B．5π＋16＋43C．4π＋16＋23D．5π＋16＋23
（2）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）
A．1＋3B．2＋3C．1＋22D．22
（2）图
（1）图
空间几何体的体积
[例2]
（1）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
A.
1
6
B.3
C.2
D．1
（2）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A.1＋2π
B.13π
C.
7π
D.
5π
（3）已知等腰直角三角形的直角边的长为
2，将该三角形绕其斜边所在
的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
（
（A）22
（B）42
22
）42
抓应用体验的“得”与“失”
1．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
1＋
1＋2
A.3
3π
B.33
π
C.3
D．1＋
2.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
cm
B．2πcm
D．3πcm
3.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为
A．125＋20
B．242＋20C．44
D．12
5
1题图2题图
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）
A．8＋22B．11＋22C.1422D.15
5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标
准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：
寸）：
若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x的值为________．
考点三球体
1.球与正方体
（1）正方体的内切球，位置关系：
正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；
数
据关系：
设正方体的棱长为
a，球的半径为r，这时有2r
a.
（2）正方体的外接球，
位置关系：
正方体的八个顶点在同一个球面上；
正方体中心与球心
重合；
3a.
2.球与长方体：
长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.
例
（1）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为
9π
，则正方体的棱长为
（2）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为
4，体积为
16，则这个球的表面积为（
）.
A.16
B.
20
24
32
3.正四面体.三棱锥与球的切接问题
（1）正四面体的内切球，位置关系：
正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重
合；
数据关系：
设正四面体的棱长为
a，高为h；
球的半径为
R，这时有4Rh
a；
（2）正四面体的外接球：
例
（1）若一个正四面体的表面积为
S＝________.
S，其内切球的表面积为
S
，则S2
（2）已知三棱锥S
ABC的所有顶点都在球
O的球面上，
ABC是边长为
1的正三角形，
SC是球O的直径，且SC
2；
则此棱锥的体积为（
4.其它棱锥（柱）与球的切接问题（构造长方体、正方体模型）
例
（1）.若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是.
（2）三棱锥P
ABC的四个顶点都在球
D的表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA
2，
ABBC
2，则球O的体积为
（3）直三棱柱ABC
A1B1C1的六个顶
点都在球O的球面上．若
ABC
90o，AA
22，则球O的
表面积为____________．
（4）正四棱锥的顶点都在同一球面上，
若
该棱锥的高为
4，底面边长为
2，则
该球的表面积为（
81π
27
A.4
B．16πC．9πD.4
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1.一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示（图中三个四边形
都是边长为2的正方形），则该几何体外接球的体积为________．4．（2015新·
课标全国卷Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截
去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成
球，则能得到的最大球的半径等于（）
A．1B．2C．3D．4
3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．200πB．150πC．100πD．50π
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
（2013·
全国新课标1已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
1．（2016全·
国甲卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（）
A．20π
B．24π
C．28π
D．32π
2．（2016全·
国甲卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）
πC．8πD．4π
A．12πB.3
3．（2016全·
国丙卷）在封闭的直三棱柱ABC-ABC
内有一个体积为
V的球．若AB⊥BC，AB＝6，
BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是（
32π
A．4π
B.2
C．6π
D.3
A.8
B.7
C.6
D.5
.
5．（2015·
课标全国卷Ⅰ新）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一
个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16
＋20π，则r＝（）
A．1B．2
C．4D．8
6．（2015新·
课标全国卷Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名
著，书中有如下问题：
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：
积及为
米几何？
”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之
一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为
多少？
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米
约有（）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
7．（2015·
课标全国卷Ⅱ新）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°
，C为该球面上的动点．若
三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）
A．36πB．64πC．144πD．256π
8．（2014·
课标全国卷Ⅱ新）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是
某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分
的体积与原来毛坯体积的比值为（）
17
10
A.27
B.9
D.3
9．（2013新·
课标全国卷Ⅰ
）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
（）
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
10．（2013·
课标全国卷Ⅰ新）已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．
第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
1．公理1～3
表示
文字语言图形语言符号语言
公理
公理1
公理2
公理3
2．公理2的三个推论
推论1：
推论2：
推论3：
3．空间中两直线的位置关系：
4.公理4和等角定理：
①公理
4：
②等角定理：
5．异面直线所成的角
（1）定义
（2）范围：
6.空间中线面的位置关系：
考点一点、线、面的位置关系
[例1]
（1）下列结论正确的是（）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.
A．①②③B．②④C．③④D．②③
（2）下列说法正确的是（）
A．若a?
α，b?
β，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
（3）以下四个命题中，正确命题的个数是（）①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
（4）下列命题中正确的
是（
）（填序号）
①若直线l上有无数个点不在平面
内，则l//
②若直线l与平面
平行，则l与平面
内的任意一条直线都平行。
③如果两平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。
④若直线l与平面
内的任意一条直线都没有公共点。
[例2]已知：
空间四边形
ABCD（如图所示），E，F分别是AB，AD的中点，G，H
分别是BC，CD上的点，且
DC.求证：
CG＝BC，CH＝
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）三直线FH，EG，AC共点．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
异面直线所成的角
[例1]
（1）正方体ABCDA'
B'
C'
D'
中，AB的中点为M，DD'
的中点为N，
异面直线B'
M与CN所成的角为度
（2）长方体ABCDA1B1C1D1
中，AB
AD=23，AA1
2则BC和A1C1所成的角为
度；
AA1和BC1所成的角为
[例2]空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°
，E，F分别为BC，AD的中点，
求EF与AB所成角的大小．
1.下列命题中，正确的是（）
1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（）
A．经过不同的三点有且只有一个平面
B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线
C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D．垂直于同一个平面的两个平面平行
2.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，G，H分别为FA，FD
的中点BC//1AD，BE//1FA，．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C，D，F，E四点是否共面？
为什么？
2.给出四个命题：
①线段AB在平面内，则直线AB不在内；
②两平面有一个公共点，则一定有无
数个公共点；
③三条平行直线共面；
④有三个公共点的两平面重合.其中正确命题的个数为
（）A、1B、2C、3D、4
3.已知正方体ABCD
A1BC11D1，则直线
AB1与平面ABC1D所成的角是（
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
4.l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正
确的是（）
A．l1⊥l2，l2⊥l3?
l1∥l3B．l1⊥l2，l2
∥l3?
l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?
l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点?
l1，l2，l3共面
5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直
线AP与BD所成的角为________．
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1.（2016全·
国乙卷）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，
α∩平面ABBA＝n，则m，n所成角的正弦值为（
2．（2013新·
课标全国卷Ⅱ
）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，
l?
α，l?
β，则（
A．α∥β且l∥α
B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l
D．α与β相交，且交线平行于l
3．（2016全·
国甲卷）α，β是两个
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