专题50圆中的翻折综合问题解析版Word格式文档下载.docx
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【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理以及翻折的性质，是基础知识要熟练掌握.
3、如图，AB是二0的直径，且AB=4,C是n0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点0,仙314,、5=L41,73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）
A.3.2B.3.6C.3.8D.4.2
【分析】作0E二AC交二。
于F,交AC于E,根据折叠的性质得到OE=|OF,求出二ACB的度数即可解决
问题.
作OE：
：
AC交二0于F,交AC于E.连接OB,BC.
由折叠的性质可知，EF=OE】OF,二0E=120A.
在Rt二AOE中，OE=|OA,
二二CAB=30。
，
ZAB是直径，
二二ACB=90。
，二BOC=2二BAC=60。
匚AB=4,
二BC=|aB=2,AC=V3BC=2V3,MV
二线段AB、AC和弧BC所惘成的曲边三角形的而枳为
S=1・AC・BC+Sobc-Szobc=1x2y/3x22=V5+pt;
=3.8,故选：
C.
zz3oU45
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、圆周角定理，折穆是一种对称变换，折卷前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
4、如图，将匚O的劣弧懑沿AB翻折，D为优弧貌上一点，连接AD,交赢■于点C,连接BC、BD；
若
BC=5,则BD=.
【分析】根据圆周角定理、翻转变换的性质得到二ADB=：
BCD,根据等腰三角形的判定定理解答.
由翻转变换的性质可知，
ZADB所对的弧是劣弧还，
ZCAB所对的弧是劣弧正，
ZCBA所对的弧是劣弧立,
ZZADB=ZCAB+ZCBA>
由三角形的外角的性质可知，二BCD=：
2CAB+二CBA,
ZZADB=ZBCD,
二BD=BC=5,
故答案为：
5.
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、圆周角定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折卷前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.
5、如图，AB是二0的直径，且AB=4,C是口0上一点，将弧AC沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点0,71=314,、历=1.41,73=1.73,那么由线段AB、AC和弧BC所围成的曲边三角形的面积与下列四个数值最接近的是（）
【分析】作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于连接AM、AM'
构造全等三角形，然后利用勾股定理、割线定理解答.
MB、~1N
如图，作MN关于直线AN的对称线段MN,交半圆于B1连接AM、AM，,
可得M、A、M'
三点共线，MA=M'
A,MB=M'
B'
=4,MN=MN=10.
连接AB\
二四边形AMNB堤圆内接四边形，
二二MABVMNM,
二二M，=二
二二MAB二二MNM,
_M'
AMB
一屈=^1^
二M'
A41\1=\1夕'
小1的，HPKrA>
2NrA=4x10=40.则\1'
a2=20,
又二MAWN2-AN2,
20=100-AN2,
ZAN=4^5.故选：
【点评】此题将翻折变换、勾股定理、割线定理相结合，考查了同学们的综合应用能力，要善于观察图形特点，然后做出解答.
6、如图，是一个圆心角为90。
的扇形，AO=2cm,点P在半径AO上运动，点Q在弧AB上运动，沿PQ将
它以上的部分向下翻折，使期折后的弧恰好过点O,则OP的最大距离为
【分析】作0关于PQ的对称点0、恰好落在二0上，于是得到OP=cos%j,推出二OO'
Q为等边三角形，根据等边三角形的性质得到OQ=O'
Q=OCT=R,当coslOE最小时，二POE最大，当二QOB=0。
时，二POE=30。
于是得到结论.
作0关于PQ的对称点O'
，CT恰好落在二0上,
=OP=cosZPOE,
二二00Q为等边三角形，
二OQ=O'
Q=OO'
=R,二POE+二QOB=30°
当cos二POE最小时,二POE最大,
当二QOB=0。
=op12V3
cos3003
士.3
【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等边三角形的判定和性质，正确的在才辅助线是解题的关键.
7、如图，二。
的半径为5,弦AB的长为8,将沿直线AB折叠，折叠后如右图，则二O到所作的圆的切线
OC的长为（）
A.V22B.5C.3D.JTT
【分析】根据题意先画出图形，可知翻转过后的弧AB所在的圆和二0全等，且两个圆的圆心相距为6,又己知圆的半径，故根据勾股定理即可求出答案.
根据题意画出图形如下所示:
BD=4,0B=5,
点0,为翻转过后的弧AB所在圆的圆心,
则有O'
D=OD==4y=3.又O'
C=5,00=6.
ZOC=A/o,O2-Ot2=-x/62-52=VTT.故选：
【点评】本题考查了翻转变换、垂径定理及圆的切线的性质，难度不大，找出翻转过后的弧AB所在圆的圆心是解题关键.
8、如图，将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6,DB=7,则BC的长是（）
A.屈B.7百C.V134D.V130
【分析】连接CA、CD,根据翻折的性质可得弧CD所对的圆周角是二CBD,再根据AC弧所得的圆周角也是二CBA,然后求出AC=CD,过点C作CEZAB于E,根据等腰三角形三线合一的性质可得AE=ED=1AD,根据直径所对的圆周角是直角可得二ACB=90。
，然后求出二ACE和二CBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出CE?
再求出BE,然后利用勾股定理列式冲算即可求出BC.
如图，连接CA、CD,根据折叠的性质，弧CD所对的圆周角是二CBD,二孤AC所对的圆
周角是二CBA,ZCBA=ZCBD,
二AC=CD（相等的圆周角所对的弦相等），
过点C作CEZAB于E,则AE=ED=1aD=|x6=3,
二BE=BD+DE=7+3=10,二AB是直径，
，二CE二AB,
ZZACB=ZAEC=90%
二ZA+ZACE=ZACE+ZBCE=90°
ZZA=ZBCE,
二二ACE二二CBE,
AECE
二无=BE,RfJCE』AE・BE=3x10=30,
在RUBCE中，BC=ylBE2+CE2=V1O2+3O=V13Ot
故选：
【点评】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，等腰三角形的判定与性质，作辅助线并求出AC=CD是解题的关键.
9、如图，在匚O中，点C在优弧逋上，将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D,连接AC,CD.则下列结论中错误的是（）
A.AC=CDB.AC+BD=BC
C.ODZABD.CD平分匚ACB
【分析】A、作辅助线，构建折叠的性质可得AD=CD：
B、相等两弧相加可作判断：
C、根据垂径定理可作判断：
D、延长0D交二0于E,连接CE,根据垂径定理可作判断.
A、过D作DD二BC,交二0于连接CD：
BD\
由折叠得：
CD=CD\ZABC=ZCBD\
二AC=CD'
=CD,故二正确；
B、ZAC=CD\ZAC=CD\由折叠得：
而=66’,
ZACFBD=BC,故二正确：
C、二D为AB的中点，二0D二AB,故二正确：
D、延长0D交二0于E,连接CE,二0D二AB,
ZZACE=ZBCE,二CD不平分二ACB,故二错误；
【点评】本题考查了折登的性质：
折卷是一种对称变换，它属于轴对称，折卷前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.
11、如图，二ABC内接于匚O,BC=2V2,CBAC=45°
将劣弧懑和花分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,点S、T是弦AB、AC上的动点，则二MST的周长的最小值为（）
A.2>
/2
B.4
C.4>
D.8
【分析】作点M关于AB的对称点M，，关于AC的对称点M"
根据折叠的性质得到点MlM”在圆周上,连接M*M”,交AB于S,交AC于T,则二MST的周长最小，连接AM、AM"
.OB,OC,根据圆周角定理得到MRI”是二O的直径，即可得到结论.
作点M关于AB的对称点M'
关于AC的对称点M”,
二将劣弧AB和AC分别沿直线AB、AC折叠后交于点M,
二点M"
在圆周上，
连接交AB于S,交AC于T.
则二MST的周长最小，
连接AM'
AM"
，OB.OC,
则二MAM"
=2二BAC,
ZZBAC=45%
二二M，AM"
=2：
BOC=90。
二BC=2、5,二OB=2,
二MW20BW
二二MST的周长的最小值为4,故选:
夕7一
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，轴对称-最短路线问题，翻折变换（折叠问题），圆周角定理,勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关犍.
12、如图，在二0中，点C在优弧匚ACB上，将弧沿二BC折叠后刚好经过AB的中点D,若匚0的半径为y/5,
AB=4,则BC的长是.
【分析】连接OD、AC、DC、OB、0C,作CE二AB于E,OF二CE于F,如图，利用垂径定理得到OD二AB.则AD=BD=1aB=2,于是根据勾股定理可计算出OD=1,再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到菽所以AC=DC,利用等腰三角形的性质得AE=DE=1,接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1,然后计算出CF后得到CE=BE=3,「是得到BC=3、历.
连接OD、AC、DC、OB、OC,作CE二AB于E,OFZCETF,如图，
二D为AB的中点,
ZODZAB,
二AD=BD/AB=2,
在Rt二OBD中，OD=JoU-BD2=4（后=1
二将弧正沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.
二个和①所在的圆为等圆，
匚烈B,
二AC=DC,
二AE=DE=1,
易得四边形ODEF为正方形，
ZOF=EF=1,
在Rt二OCF中，CF=dcO2-OF?
=J（后=2,
二CE=CF+EF=2+1=3,
而BE=BEHDE=2T=3,
二BC=3血.故答案为3、历.
【点评】本题考查了折叠的性质：
折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折棒前后图形的形状和大小不变,位置变化，对应边和对应角相等.也考查了圆周角定理和垂径定理.
14、如图，AB是半径为2的二0的弦，将俞沿着弦AB折叠，正好经过圆心0,点C是折叠后的®
k一动点，连接并延长BC交二0于点D,点E是CD的中点，连接AC,AD,E0.则下列结论：
口匚ACB=120。
二二ACD是等边三角形，二E0的最小值为1,其中正确的是.（请将正确答案的序号填在横线上）
E
【分析】根据折趣的性质可知，结合垂径定理、三角形的性质、同圆或等圆中圆周角与圆心的性质等可以判断二二是否正确，E0的最小值问题是个难点，这是一个动点问题，只要把握住E在什么轨迹上运动，便可解决问题.
图1
如图1，连接OA和0B.作OF二AB.
由题知：
卷沿着弦AB折叠，正好经过圆心0
zof=oa=|ob
ZZAOF=ZBOF=60°
ZZAOB=120°
二二ACB=120。
（同弧所对圆周角相等）
二D=1：
AOB=60。
（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）
二ZACD=180°
-ZACB=60°
ZZACD是等边三角形（有两个角是60。
的三角形是等边三角形）
故，二二正确
卜而研究问题EO的最小值是否是1
图2
如图2,连接AE和EF
二二ACD是等边三角形，E是CD中点
二AE二BD（三线合一）
又二OF二AB
二F是AB中点即，EF是二ABE斜边中线
二AF=EF=BF即，E点在以AB为直径的圆上运动.
所以，如图3,当E、O、F在同一直线时，OE长度最小
此时，AE=EF,AEZEF
二二O的半径是2,即OA=2,OF=1
ZAF=^（勾股定理）
所以，二不正确综上所述：
二二正确，二不正确.故答案为二二.
E3
【点评】本题考查了圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的留心角的一半.推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。
的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.
14、如图，将品沿着弦AB翻折，C为翻折后的弧上任意一点，延长AC交圆于D,连接BC.
（1）求证：
BC=BD；
（2）若AC=1,CD=4,AB=120°
求弦AB的长和圆的半径.
【分析】
（1）作点C关于AB的对称点Ct连接AC,BC\利用翻折不变性，以及周角定理即可解决问题：
（2）连接OA,OB,作OM二AB于M,AH二BC交BC的延长线于H.解直角三角形求出AB,OA即可：
【解答】
（1）证明：
作点C关于AB的对称点连接ACMBU.
由翻折不变性可知：
BC=BC\ZCAB=ZBAC\
ZBD=BC\
ZBC=BD.
（2）解：
连接OA,OB,作OM二AB于M,AH二BC交BC的延长线于H.
二AB=120。
ZZD=1x120°
=60°
二二AOB=二ACB=2ZD=120°
二BC=BD,
二二BCD是等边三角形，
二BC=DC=4,在Rt二ACH中，
二二H二90。
，二ACH=60。
，AC=h
二CH=1,AH=—,22
ZAB=ylAH2+BH2=+
（1）2=、国，
二OM二AB,
历/
二AM=BM=——，在RtZAOM中,2
二二OAM=30°
ZAMO=90%
a
B
（1）题图
（1）解：
如图，连接0C,
二B沿CD翻折后，点A与圆心0重合，
二Om4oA=1x2=1,CDZOA,
二0C=2,
二CD=2CM=2、OC?
-OM，=2正-1?
=26；
（2）证明：
ZPA=0A=2,AM=OM=bCM与D=VL二CMP=：
OMC=90。
二PC=Ja/C2+PM?
=7（V3）2+32=2y/3，
二0C=2,PO=2+2=4,
ZPC2+OC2=（273）2+22=16=PO2,
ZZPCO=90°
二PC是二O的切线:
（3）解：
GE・GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交二O于点H,连接HF
二点G为血的中点
二二GOE=90。
二二HFG=90。
，KZOGE=ZFGH
ZZOGEZZFGH
_OGGE
-GF=GH
二GE・GF=OG・GH=2x4=8.
【点评】本题是圆的综合题型，主要利用了翻折变换的性质，垂径定理，勾股定理，勾股定理逆定理，圆的切线的定义，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形.
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