等时圆模型最全Word文档下载推荐.docx
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）
三、等时性的证明
设某一条弦与水平方向的夹角为
，圆的直径为
（如右图）。
根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为
，位移为
，所以运动时间为
即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。
四、应用等时圆模型解典型例题
例1：
如图1，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）
A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定
【解析】：
由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。
O
A
B
L
D
图2
例2：
如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。
求小环从A滑到B的时间。
可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。
根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有
例3：
如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离
。
图6
P
H
h
O1
图5
解析：
由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。
如图6所示，此时等时圆的半径为：
所以
θ
图8
C
例4：
如图7，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？
图7
借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。
显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。
因而，要使原料从P处到达输送带上所用时间最短，需沿着PC建立管道。
由几何关系可得：
PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。
三、“形似质异”问题的区分
1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？
bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd=
=2
可见t与θ有关。
2、如图9，圆柱体的仓库有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。
若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）
a
b
c
A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点
C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点
三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。
设圆柱底面半径为R，则
=
gsinθt2，t2=
，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。
图3
如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。
试分析和解：
在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？
雨水流下的最短时间是多少？
gsinθt2，t2=
，当θ=450时，t最小
训练
1、如图所示,oa、ob、oc是竖直面三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出）,三个滑环都从o点无初速释放,用
、
依次表示滑环到达a、b、c所用的时间,则（
A.
B.
C.
D.
答案详解D解:
以O点为最高点,取合适的竖直直径oe作等时圆,交ob于b,如图所示,显然o到f、b、g、e才是等时的,比较图示位移
故推得
选项ABC错误,D正确.
2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70°
、90°
和105°
，则
（ ）
A.t1>
t2>
t3B.t1<
t2<
t3C.t1=t2=t3
D.不能确定t1、t2、t3之间的关系
若以OA为直径画圆，如图，则AB交圆周与E点，C点正好在圆周上，D点在圆周之，AD的延长线交圆周与F点，设AC与AO的夹角为α，
根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为：
a=gcosα
由图中的直角三角形可知，人的位移为：
S=AOcosα
则可知人从A到C得时间为：
，可知与斜面的倾角无关，即人从A带你滑到ECF的时间是相等的，则可知人从A点滑到BCD的时间关系t1>
t3，故A正确；
故选：
3、竖直正方形框有三条光滑轨道OB、OC和OD，三轨道交于O点，且与水平方向的夹角分别为30o、45o和60o。
现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点静止释放，分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端。
则三小球到达斜面底端的先后次序是
A.
甲、乙、丙B.
丙、乙、甲C.
甲、丙同时到达，乙后到达
D.
不能确定三者到达的顺序
4、如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为R,球面的斜上方P处有一质点（P与球心O在同一竖直平面）.已知P到球心O的距离为L,P到地面的垂直距离为H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间滑到球面上,求所需的最短时间.
解:
（1）求证:
如图所示小球从竖直平面的半径为R'
的圆的顶点,沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,
任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,
由三角关系得PQ的长度为:
由牛顿第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度为:
由位移时间公式得,运动时间:
即运动时间与角度无关,故对应任何轨道的时间均相同.
（2）作图:
以P为顶点作一半径为r的球面,使其与所给球面相切与Q,如图所示:
由
（1）可以知道右上圆从P点到圆的外边缘的时间是相同的,故、用时均长于PQ用时,则线段PQ即为所求的用时最短的轨道.
（3）解题:
把上图转化如下:
由三角关系得:
联立以上两式计算得出:
由
（1）知,运动时间:
答:
所需的最短时间为.
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