拉格朗日插值法.docx

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拉格朗日插值法

5.2　拉格朗日（Lagrange）插值

　　可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。

　　5.2.1线性插值

　　问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？

　　过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。

如图5.1所示。

图5.1线性插值函数

　　在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。

　　下面先用待定系数法构造插值直线。

　　设直线方程为，将分别代入直线方程得：

　　当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。

这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。

用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。

　　当时，若用两点式表示这条直线，则有：

　　　　　（5.1）

　　这种形式称为拉格朗日插值多项式。

　　，，称为插值基函数，计算，的值，易见

　　　　　　　（5.2）

　　在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。

　　拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。

　　线性插值误差

　　定理5.1记为以为插值点的插值函数，。

这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使

　　　　　　　　（5.3）

　　证明令，因是的根，所以可设

　　对任何一个固定的点，引进辅助函数：

　　则。

　　由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨记为和，即和，对在上应用洛尔定理，得到在上至少有一个零点，。

　　现在对求二次导数，其中的线性函数），故有

　　代入，得

　　所以

　　即

　　5.2.2二次插值

　　问题5.2给定三个插值点，,其中互不相等，怎样构造函数的二次的（抛物线）插值多项式？

　　平面上的三个点能确定一条次曲线，如图5.2所示。

图5.2三个插值点的二次插值

　　仿造线性插值的拉格朗日插值，即用插值基函数的方法构造插值多项式。

设

　　每个基函数是一个二次函数，对来说，要求是它的零点，因此可设

　　同理，也相对应的形式，得

　　将代入，得

　　同理将代入得到和的值，以及和的表达式。

　　也容易验证：

　　插值基函数仍然满足：

　　二次插值函数误差：

　　上式证明完全类似于线性插值误差的证明，故省略。

　　插值作为函数逼近方法，常用来作函数的近似计算。

当计算点落在插值点区间之内时叫做内插，否则叫做外插。

内插的效果一般优于外插。

　　例5.1给定。

构造线性插值函数并用插值函数计算和

　　解：

构造线性插值函数：

　　分别将代入上式，得

　　，准确值

　　，准确值

　　例5.2给定。

构造二次插值函数并计算。

　　解：

　　，准确值

　　例5.3要制做三角函数的函数值表，已知表值有四位小数，要求用线性插值引起的截断误差不超过表值的舍入误差，试决定其最大允许步长。

　　解：

设最大允许步长

　　5.2.3次拉格朗日插值多项式

　　问题5.3给定平面上两个互不相同的插值点，有且仅有一条通过这两点的直线；给定平面上三个互不相同的插值点，有且仅有一条通过这三个点的二次曲线；给定平面上个互不相同的插值点，互不相同是指互不相等，是否有且仅有一条不高于次的插值多项式曲线，如果曲线存在，那么如何简单地作出这条次插值多项式曲线？

　　分析：

次多项式，它完全由个系数决定。

若曲线通过给定平面上个互不相同的插值点，则应满足，事实上一个插值点就是一个插值条件。

　　将依次代入中得到线性方程组：

　　　　　　（5.4）

　　方程组的系数行列式是范德蒙（Vandermonde）行列式：

　　当互异时，，所以方程组（5.4）的解存在且惟一。

即问题5.3的解存在而且惟一。

　　通过求解（5.4）得到插值多项式，因其计算量太大而不可取，仿照线性以及二次插值多项式的拉格朗日形式，我们可构造次拉格朗日插值多项式。

　　对于个互不相同的插值节点，由次插值多项式的惟一性，可对每个插值节点作出相应的次插值基函数。

　　要求是，的零点，因此可设

　　由将代入，得到

　　　　　　（5.5）

　　作其组合：

　　　　　（5.6）

　　那么不高于次且满足，故就是关于插值点的插值多项式，这种插值形式称为拉格朗日插值多项式。

称为关于节点的拉格朗日基函数。

　　例5.4给出下列插值节点数据，做三次拉格朗日插值多项式，并计算（0.6）。

-2.00

0.00

1.00

2.00

17.00

1.00

2.00

17.00

　　解：

拉格朗日插值基函数为：

　　三次拉格朗日插值多项式：

　　n次插值多项式的误差

　　定理5.2设是上过的次插值多项式，互不相等，当时，则插值多项式的误差：

其中　（5.7）

　　证明*：

记。

由于，因而是的根，于是可设

　　下面的目标是算出，为此引入变量为的函数：

　　　　（5.8）

　　令，得

　　令，由定义即至少有个零点，由于，由洛尔定理，在相邻的两个零点之间至少有一个零点，即至少有个零点。

同理再对应用洛尔定理，即至少有个零点，反复应用洛尔定理得到至少有一个零点。

　　另一方面，对求阶导数，有

　　令，有

　　得到

　　　（5.9）

　　由于的零点与的零点有关，因而为的函数。

　　若|可表示为

　　　　　（5.10）

　　由（5.9）式可以看到，当是不高于次的多项式时，，即。

　　对于函数，关于节点的拉格朗日插值多项式就是其本身，故拉格朗日基函数满足

　　令，得到。

　　定理5.2给出了当被插函数充分光滑时的插值误差或称插值余项表达式，但是，在实际计算中，并不知道的具体表示，难以得到的形式或较精确的界限，因此也难以得到界。

在实际计算中，可对误差运用下面的事后估计方法。

　　给出个插值节点，任选其中的个插值节点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。

在个插值节点中另选个插值点，不妨取，构造一个次插值多项式，记为。

由定理2可得到

　　　（5.11）

　　　（5.12）

　　设在插值区间内连续而且变化不大，有，则

　　从而可得到

　　　　　（5.13）

　　　　　　（5.14）

　　拉格朗日插值多项式的算法

　　下面用伪码描述拉格朗日插值多项式的算法。

　　1：

输入：

插值节点控制数，插值点序列，要计算的函数点，及变量。

　　2：

FORi：

=0，1，…，n//i控制拉格朗日基函数序列

　　{tmp：

=1；

　　2.1FORj：

=0，1，…，i-1，i+1，…，n

　　{//对于给定，计算拉格朗日基函数

　　；

　　}//tmp表示拉格朗日基函数

　　2.2

　　}

　　3：

输出的计算结果。