数学建模优秀论文Word下载.docx

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模型一从宏观上考虑租赁活动，通过分析题目所给的条件，做出适当的假设，以

简化问题。

按悲观估计给出购买方案，从而保证了目标的实现，并且模型简单，

易于求解。

模型二从微观上进行分析，结合实际和常识，对会员租赁周期的分布

做出合理的假设，根据会员租出、归还的规律进行建模，较好的反映了复杂的租

赁活动，给出的购买方案能更好的贴合实际。

此外，我们还用蒙特卡洛法对结果

进行了检验。

两种模型求得的购买方案如下表：

问题2）是一个最优分配问题，可将其化为0—1规划问题。

求出最优分配

时会员的满意度为：

89.18%。

文章中我们给出了前30名会员获得DVD的情况，

以及他们的满意度。

问题3）中，我们认为“得到想看的DVD”是指会员至少得到一张他想看

的DVD。

我们利用问题1）中求得的数据，对问题二中的模型进行适当修改，

得到0—1规划模型。

我们发现，满意度的定义不同，求得的结果会有较大的差异。

按照我们定

义的满意度，求得的结果如下表：

会员提交订单时，总想知道能否及时得到自己想看的DVD，在问题4）中，

我们将此问题提出，并以问题1）中的DVD1为例，建立了相应的模型进行求解。

会员在提交订单时，网站可以立即告诉会员最有可能在哪一天得到他想看的

DVD，另外，我们还对DVD的时效性等有关问题进行了讨论。

3

一问题分析

1、对问题1）的分析：

首先，问题1）中的“保证”可理解为是寻找悲观情况下能达到要求的购

买方案；

由于实际租赁活动中的租和还都是概率事件，当会员数量足够大时，租

赁情况应服从统计规律，这种理解下，购买方案也可按照统计数据去计算。

因此，

在对问题1）的建模过程中，我们先按悲观估计求出一个购买方案，在这个基础

上对模型进行修改，使其更符合实际，应用统计学规律求出一个更贴合实际的方

案。

要对问题1）进行求解，关键是要对每一张DVD在这个月的租出次数进行

分析，而租出次数跟会员租赁DVD的时间分布和寄还时间的分布密切相关。

由

于会员发来订单的时间和寄还时间都是概率事件。

实际情况下，会员在均值附近

归还的人数较多，离均值越远归还的越少。

对这样一种“两头小，中间大”的分

布，可以用正态分布来近似描述。

如果网站会员数量足够大（如题中所给数据），

那么就可以假设：

每天下订单的会员数目为一常数稳定不变；

任一会员从下订单

到寄还DVD的时间间隔，以及上一次下订单到这一次下订单的时间间隔都服从

正态分布。

历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，

根据这组数据有如下分析：

由于二类会员每个月会下两次订单，而一类会员只下

一次订单，则在每一个月内一类会员的订单数及二类会员的订单数之比应为

0.4:

（0.6⨯2），即1:

3，由于会员数很多，可以认为，一天内一类会员的订单数及

二类会员之比也为1:

3。

2、对问题2）的分析：

问题2）是一个最优分配问题，这种优化问题可以采用0-1规划进行求解，

目标是使得满意度最大。

要求得最大的满意度，首先要给出满意度的定义。

容易想到满意度可定义

为实际的满足值及理想的满足值之比。

另外，考虑到排序号为1的DVD是该会

员最希望租到的，其地位是其它DVD不能替代的，同时根据实际生活中的经验，

第1想要的满足值及第2想要的满足值之差应大于第2想要的满足值及第3想要

的满足值之差，因此，模型定义的满意度应能反映出这种差别才是符合实际的。

3、在第三问中，题目要求使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，我们认为

在一个月内会员只要看到一张他想要看到的DVD就认为该会员得到了他想看的

DVD。

4

二模型假设

5

6

7

8

9

10

11

会员提交订单时都如第三问中表格，既每次给出多个想看的DVD，并给

出了偏爱程度。

假设不愿意观看某种DVD的会员不会租看它。

公司每天收到的总订单数一定。

DVD邮寄过程的时间忽略。

会员提交的订单把他想看的DVD都列上了。

不考虑新会员入会和老会员退会的情况。

会员不会第二次租以前看过的DVD。

问卷调查能反映总体真实情况。

一个月30天。

历史数据能代表以后的需求形势。

DVD供过于求，不会在公司逗留。

三符号说明

kci

ndi

cbi

bi

kqi

ri

hki

N0

Pij

P1000⨯100

第i天的库存量

第i天的需求量（即第i天的订单总数）、

第i天的可借出量

第i天的实际借出量

第i天的空缺量（即当天交了订单却没得到DVD的人数）

第i天的归还总数

表示第k天租第i天还的人数

一天收到的总订单数

为第i位会员租到第j张DVD的满足值

为满足值矩阵

四

模型的建立及求解

说明：

我们称每月租赁一次的为一类会员，每月租赁两次的为二类会员。

问题1）：

模型一：

为简化问题，我们不妨做如下假设：

1、希望观看某DVD的会员中，40%的为一类会员，60%为二类会员，这个

比例稳定不变；

2、新买的DVD是从月初开始出租的；

通过假设我们可以做出如下分析：

当新DVD上市后，租赁到一类会员手中的DVD在一个月内只能够租出一

次，而租赁到二类会员手中的DVD在一个月内至少可以租出两次。

考虑悲观情

况，即租赁到二类会员手中的DVD只循环两次，可以得到如下结果：

我们假设DVDi需要准备xi张。

10：

为了保证50%的会员一个月内能够看到他所希望看的DVD，由上述分析假

设我们可得：

对DVD1：

0.4x1+0.6x1+0.6x1≥1⨯105⨯20%⨯50%

从而x1≥6250（张）。

同理可得：

x2≥3125（张）x3≥1563（张）

x4≥782（张）x5≥313（张）

20：

为了保证95%的会员三个月内能够看到他所希望看的DVD，同样根据上述

分析假设可得：

一个月下来有0.4x1+0.6x1+0.6x1=1.6x1的会员可以看到他所希望

看的DVD，那么根据上述悲观情况的分析，三个月下来就有1.6x1⨯3=4.8x1的会

员可以看到他所希望看的DVD。

则可列出如下等式：

4.8x1≥1⨯105⨯20%⨯95%，

解得x1≥3959（张）。

x2≥1980（张）x3≥990（张）x4≥495（张）x5≥198（张）

模型二

以DVD1的运营情况为例分析更符合实际的情况：

设第i天的库存量kci

，第i天的需求量（即第i天的订单总数）ndi、

第i天的可借出量cbi、第i天的实际借出量bi、第i天的空缺量kqi（即当天交了

订单却没得到DVD的人数），第i天的归还总数r。

1）第i天的运营情况可描述为：

可借cbi=库存kci-1+还回ri

对实借bi：

若可借cbi>

=需求nbi

则

若可借cbi<

需求nbi

实借bi=需求nbi，空缺kqi=0；

实借bi=可借cbi，空缺kqi=需求nbi－可借cbi；

库存kci=库存kci-1+还回ri－实借bi；

2）还回量ri和需求量nbi的计算：

a.

设hki为第k天租第i天还的人数，

ri=

i-1

k=1

ki

b.一天收到的总订单数：

N0=160000/30=5334。

其中一类会员有N1=N0⨯0.25=1334（人），其中愿看DVD1的人数：

N1i=N1⨯P=1334⨯20%=267（人）。

（对DVD1，P=0.2）二类会员有

N2=N0⨯0.75=4000（人）。

其中愿看

DVD1的人数：

N2=N2⨯P=4000⨯20%=800（人）。

设这个月中第一次在第j天下订单，第二次在第i天下订单的人数为

i-1

j=1

∑h

bbji，则在第i天已看过DVD1的人数：

∑bbji，所以二类会员中在第i天订

购DVD1的人数：

N2i=N2⨯P-∑bbji

则第i天的需求量：

nbi=N1i+N2i。

3）设需购买G张DVD1，则第一个问题的模型为：

目标函数

Min=G

要求满足如下递归关系：

cbi=kci-1+ri

nbi=N1i+N2i

若cbi≥nbi则bi=nbi

若cbi≤nbi，则bi=cbi

kci=kci-1+r-bi

其中：

ri=

N1i=N1⨯P

其初始条件：

bb11=0，h11=0，即r1=0

b1=nb1=1066

kc1=G-b1=G-1066

30

i=1

求解上述模型需知道每天的还回量，也即要知道会员租赁周期的概率分布。

根据前面的分析，可设一类会员租赁周期的分布为：

N（μ1,σ2），二类会员的为：

N（μ2,σ2）。

其中μ1=30,μ2=15。

则会员租到的DVD在手中停留i天的概率

i+0.5

i-0.5

f（x）dx，f（x）=

2πσ

e

-

（x-μ）2

2σ2

取不同的σ2，将上式代入模型，用vc++编程求得结果如下：

i

N2i=N2⨯P-∑bbji

且：

∑bi≥10000。

一个月保证至少50%的会员能看到所希望的DVD的结果如下表：

表

（一）

由前面的分析可知，在第一个月内，想看DVD的会员都已提交了订单。

在

新DVD上市后的30—90天这段时间里来的订单不考虑再有要这些DVD的。

三个月保证至少95%的会员能看到所希望的DVD的结果如下表：

表

（二）

从上述两表中可知：

当σ2=0时，正态分布退化为单点分布。

即一类会员的

两次租赁的时间间隔为定值30，二类会员为定值15，此时，DVD的流通速度最

慢，为满足要求，需要的DVD数最多。

模型比较：

模型一通过假设对问题进行了简化处理，建模简单，易于求解，并且计算时

进行了悲观估计，所以提出的购买方案能保证满足要求。

但是，这样的处理及实

际情况不太相符，不能反映租赁活动的随机性和复杂性，按模型一的方案很可能

造成DVD资源浪费。

模型二从租赁活动的过程机理出发进行建模，较好的反映了租赁的真实过

程，提出的方案也更符合实际情况。

问题2）

在定义满意度之前先引入一个概念——满足值：

根据问题分析里对满意度的分析，我们定义一张DVD的满足值P为：

P=

R

；

其中R为排序号

注：

当该DVD不在会员的在线订单中（R=0）时，令满足值P=0。

我们定义满意度Q为：

Q=

∑P；

P0

其中P0为最大的满足值，即理想满足值。

11

23

11111

23456

对问题2）如果每个会员都能拿到他最想拿到的那三张DVD，那么这种情

况下总的满足值最大，其值为P0=（1+

据定义也就是要使得分配方案的实际满足值最大。

因此我们采用0-1规划进行求

解。

利用Lingo软件的集操作函数构造两个1000⨯100的矩阵Aij、Pij。

Aij为所要

求的0-1变量矩阵，其中aij=1表示第i个人拿到第j张DVD，aij=0表示第i个

人没有拿到第j张DVD。

Pij为满足值矩阵。

MAX：

Aij⨯PijT

ST：

100

1000

i=1

ij

≤3

≤dj

j=1,2,,1000;

i=1,2,,100

其中D100为100种DVD的原有数量矩阵。

解得最优分配情况下总的满足值P=1634.885。

根据定义我们算出最优分配

情况下满意度Q=

P

1634.885

1833.333

获得那些DVD的具体情况如表（三）：

表（三）

对一类会员：

P0=1++=1.8333；

对二类会员：

P0=1+++++=2.45。

+）⨯1000=1833.333。

要使满意度最大，根

∑a

表中“/”后的数字表示会员对该DVD偏爱程度排序。

如“D008/1”表示会

员C0001分配到了其偏爱程度排序为1的DVD（D008）。

问题3）

从第一问的求解可以知道，平均每张DVD在其上市的的第一个月中，平

均租出1.83次。

第三问的运营情况及第一问相同，所以该数据也适用于第三问

的情况。

对每一名会员，只要看到一张想看的DVD，我们就认为其得到了他想

看的DVD。

满意度的计算及第二问相同，所以该问题也可用0—1规划求解。

'

—1变量yi表示第i个会员是否看到想看的DVD。

若

≥1，则yi=1，否则yi=0；

MIN

≤6

≤d'

j

≥950

Aij⨯PijT≥α

α为指定的满意度

我们发现，满意度的定义不同，在同样模型下求得的结果也会不同。

除了

我们定义的模型，我们还给出了另一种满意度的定义，即：

P=11-R

并也求出了此定义下的最小购DVD数：

∑d

∑y

表（四）

两种满意度定义算出的结果之所以相差较大，是因为按照第一种定义，会员

更容易满足，只要较少的DVD就可以得到较大的满意度。

例如：

第一种定义下，

一类会员只要得到自己最想要的那一张DVD，那么满意度就会大于50%，而按

照第二种定义，一类会员既使得到自己最想要的DVD，他的满意度也只有37%，

从实际情况来看，第1想要的满足值及第2想要的满足值之差应大于第2想要的

满足值及第3想要的满足值之差，因此，第一种定义更符合人们的心理。

第一种满意度定义下的拟合图如下：

y

2500

2250

2000

1750

1500

1250

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

x

其中x轴为满意度，y轴为不同满意度下的最小购碟数。

他们近似满足方程：

y=3669.96x2-1897.03x+697.94

0.5≤x≤1

我们给出了按第一种满意度定义时，满意度为80%时的DVD购买方案和分

配方案：

每种DVD的购买量：

表（五）

12

前30位会员（C0001~C0030）分别获得那些DVD的具体情况如表（六）：

表（六）

问题4）

1、考虑到实际生活中，会员在下过订单后总希望知道自己大概在什么时候

能租到该DVD，因此，我们在第一问第二小问的基础上，计算出订DVD1的会

员在三个月内的哪一天能得到DVD1。

根据先订先得的原则，若在第m天

空缺kqm>

0，即在第m天定了但没

租到DVD的会员数大于0，则实借bi应先借给这些会员，

若实借bi<

=空缺kqm：

实借bi全部用来填补空缺kqm，设中间变量k=空缺kqm，

空缺kqm=k－实借bi

若实借bi>

空缺kqm：

空缺kqm=0，实借bi中的剩余部分则可填补空缺kqm+1，

m增加1

参考第一问的模型，则此问题的模型为：

13

若cbi≥nbi：

则bi=nbi

若cbi≤nbi：

则bi=cbi

若bi<

=kqm,ｋ=kqm

kqm=k－bi;

,

kqm=0

kci=kci-1+ri-bi

k=m,

m=k+1

ri

=

m=0，bb11=0，h11=0，即r1=0

=nb

取σ2=3，算出结果如下表：

14

=kqmｋ=kqm+1kqm+1=k－[bi－kqm],

b11=1066，

另外，要求满足条件：

∑bi≥10000，

表（七）

以表中第21行为例，表示在第21天有303人下订单，这303人大概在第

79—80天可以租到DVD1，其中先到的143人最有可能在第79天租到DVD1，

后到的160人最有可能在第80天租到DVD1。

2、在购买DVD时要考虑它的时效性，一搬DVD可分为两类，一类是热门

DVD，它在刚上市时需求量很大，但过一段时间需求量会变少，还有类是经典

DVD，它的需求量随时间变化不大，公司要想赚钱，一张DVD借出去的次数越

多越好，所以不能因为热