数值分析 高斯勒让德积分公式文档格式.docx
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令它对
准确成立，即可定出
．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取
的两个零点
构造求积公式
都准确成立，有
．
由此解出
，从而得到两点高斯－勒让德求积公式
三点高斯－勒让德求积公式的形式是
如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数．
0.0000000
2.0000000
1
0.5773503
1.0000000
2
0.7745967
0.5555556
0.8888889
3
0.8611363
0.3399810
0.3478548
0.6521452
4
0.9061798
0.5384693
0.2369269
0.4786287
0.5688889
公式（4.5.9）的余项由（4.5.8）得
，
这里
是最高项系数为１的勒让德多项式，由（3.2.6）及（3.2.7）得
．
当
时，有
它比辛普森公式余项
还小，且比辛普森公式少算一个函数值．
当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间
时，只要做变换
可将
化为［－１，１］，这时
．
对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式．
1.2复化Gauss-Legendre求积公式
将被积区间m等分,记
作变换
在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式,累加即得复化Gauss-Legendre求积公式
不妨设
则有:
Gauss点个数
时,
总结复化Gauss-Legendre求积过程如下:
1.分割区间,记录区间端点值；
2.通过查表或求解非线性方程组,在所有小区间上,将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式；
3.将所有区间的结果累加,即得到整个区间上的积分近似值.
针对Gauss点个数
和
的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数compgauss（）如下:
function[]=compgauss（a,b,n）
%CompositeGaussIntegration
%EquationType:
n=2,n=3
%CodedbyNan.Xiao2010-05-25
%Step.1DivideInterval
%Step.2Calculate
%Step.3SumResults
formatlong
f=@（x）exp（x）.*sin（x）;
h=（b-a）/n;
xk=zeros（n+1,1）;
xk（1,1）=a;
xk（n+1,1）=b;
fk1=zeros（n,1）;
fk2=zeros（n,1）;
fori=1:
n-1
xk（i+1,1）=a+h*i;
end
forj=1:
n
fk1（j）=f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（-1/sqrt（3）））+...
f（（xk（j）+xk（j+1））/2+（h/2）*（1/sqrt（3）））;
forr=1:
fk2（r）=（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（-sqrt（15）/5））+...
（8/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（0））+...
（5/9）*f（（xk（r）+xk（r+1））/2+（h/2）*（sqrt（15）/5））;
mysum1=h*sum（fk1）/2;
mysum2=h*sum（fk2）/2;
disp（'
Resultof2Nodes:
'
）
disp（mysum1）;
Resultof3Nodes:
disp（mysum2）;
1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法
以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较
#include
<
iostream.h>
math.h>
iomanip.h>
#define
Precision1
0.000000000001
#
define
e
2.71828183
MAXRepeat
10
double
function
（double
x）
{
s;
s=1/x;
return
}
Romberg（double
a,double
b,double
f（double
x））
int
m,n,k;
y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q;
h=b-a;
y[0]=h*（f（a）+f（b））/2.0;
//计算T`1`（h）=1/2（b-a）（f（a）+f（b））;
m=1;
n=1;
ep=Precision1+1;
while（（ep>
=Precision1）&
&
（m<
MAXRepeat））
p=0.0;
for（k=0;
k<
n;
k++）
xk=a+（k+0.5）*h;
p=p+f（xk）;
}
p=（y[0]+h*p）/2.0;
//T`m`（h/2）,变步长梯形求积公式
s=1.0;
for（k=1;
=m;
s=4.0*s;
//
pow（4,m）
q=（s*p-y[k-1]）/（s-1.0）;
y[k-1]=p;
p=q;
ep=fabs（q-y[m-1]）;
m=m+1;
y[m-1]=q;
n=n+n;
2
4
8
16
h=h/2.0;
//二倍分割区间
q;
ThreePointGaussLegendre（double
x,w;
static
X[3]={-sqrt（15）/5.0,0,sqrt（15）/5.0};
L[3]={5/9.0,8/9.0,5/9.0};
w=0.0;
for（int
i=0;
i<
3;
i++）
x=（（b-a）*X[i]+（b+a））/2.0;
w=w+f（x）*L[i];
w;
FivePointGaussLegendre（double
X[5]={-0.9061798459,-0.5384693101,0,0.5384693101,0.9061798459};
L[5]={0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851};
5;
//每一次小区间利用勒让德公式计算的结果
FivePointPrecisionGaussLegendre（double
m,i,j;
s,p,ep,h,aa,bb,w,x,g;
s=fabs（0.001*h）;
p=1.0e+35;
（fabs（h）>
s））
g=0.0;
for（i=0;
m;
aa=a+i*h;
bb=aa+h;
for（j=0;
j<
=4;
j++）
x=（（bb-aa）*X[j]+（bb+aa））/2.0;
w=w+f（x）*L[j];
g=g+w;
//各个区间计算结果之和相加
g=g*h/2.0;
ep=fabs（g-p）/（1.0+fabs（g））;
//计算精度
p=g;
h=（b-a）/m;
//分割区间
g;
main（）
a,b,s;
cout<
"
请输入积分下限:
;
cin>
>
a;
请输入积分上限:
b;
㏑的真值为:
endl;
1.098612289"
/*龙贝格求积*/
s=Romberg（
a,
b,
function）;
龙贝格求积公式:
setiosflags（ios:
:
fixed）<
setprecision（14）<
s<
/*三点求积公式*/
s=ThreePointGaussLegendre（
三点求积公式:
/*五点求积公式*/
s=FivePointGaussLegendre（
五点求积公式"
s=FivePointPrecisionGaussLegendre（a,
b,function）;
控制精度五点求积公式"
0;
}
2.高斯－勒让德求积的程序
2.1三点高斯勒让德公式的代码
functiongl=f（str,a,b）
x=zeros（3,1）;
y=zeros（3,1）;
x
（1）=-sqrt（15）/5;
x
（2）=0;
x（3）=sqrt（15）/5;
t=（b-a）/2*x（i）+（a+b）/2;
y（i）=eval（str）;
%exp（t）*sin（t）;
%此处为求积的函数,t为自变量
gl=5/9*y
（1）+8/9*y
（2）+5/9*y（3）;
上面的代码保存为f.m文件，调用的时候如下
f（'
t*2'
-1,1）
exp（t）*sin（t）'
1,3）
其中第一个参数为求积分的表达式，第二三个参数分别为
积分的上下限。
2.2高斯-勒让德数值积分Matlab代码
function[ql,Ak,xk]=guasslegendre（fun,a,b,n,tol）
ifnargin==1
a=-1;
b=1;
n=7;
tol=1e-8;
elseifnargin==3
n=7;
elseifnargin==4
tol=1e-8;
elseifnargin==2|nargin>
5
error（'
TheNumberofInputArgumentsIsWrong!
）;
symsx
p=sym2poly（diff（（x^2-1）^（n+1）,n+1））/（2^n*factorial（n））;
tk=roots（p）;
Ak=zeros（n+1,1）;
n+1
xkt=tk;
xkt（i）=[];
pn=poly（xkt）;
fp=@（x）polyval（pn,x）/polyval（pn,tk（i））;
Ak（i）=quadl（fp,-1,1,tol）;
%求积系数
xk=（b-a）/2*tk+（b+a）/2;
fun=fcnchk（fun,'
vectorize'
fx=fun（xk）*（b-a）/2;
ql=sum（Ak.*fx）;
3.数值实验
3.1用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算
.
解：
先将区间
化为
，由
（1）
.
（1）
有
根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得
.
（准确值
）
3.2用
的高斯-勒让德公式计算积分
令
，则
用
的高斯—勒让德公式计算积分
3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分
，计算过程保留4位小数．
解：
高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问题．需作变换，令
，当x=1时，u=1;
当x=0时，u=－1．于是，
＝
3.总结
高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。
因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。
《参考文献》
[1]《数值计算》张军、林瑛、钟竞辉清华大学出版社2008617
[2]《数值分析》陈晓江、黄樟灿·
科学出版社2010710
[3]《数值分析原理》吴勃英科学出版社2009723
[4]复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期
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