平面向量的数量积的性质文档格式.docx
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J
向量的数量积运算
卜例
□
（2013海淀高一检测）已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为
120°
（1）求ab；
⑵求a在b方向上的射影的数量.
【思路探究】利用数量积的定义及几何意义求解
【自主解答】
（1）ab=|a||b|cos9
5⑵11a|cosA5Xcos120=—
5
•••a在b方向上的射影的数量为一2.
I规律方法I
1.在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“•连接，而不能用“X”连接,更不能省略不写•
2.求平面向量数量积的方法
（1）若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab=|a||b|cos9
（2）
若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量，可利用数量积的几何意义求ab.
＞变曲训练
1.（2013玉溪高一检测）已知|a|=6，|b|=3，ab=—12,则a在b方向上的射影的数量是（）
【答案］A
2.已知|a|=6,e为单位向量，当向量a、e之间的夹角9分别等于45°
90°
135°
时，分别求出ae及向量a在e方向上的正射影的数量.
当向量a和e之间的夹角B分别等于45°
135°
时，a在e方向上的正
射影的数量分别为：
|a|cosA6Xcos45°
=32;
|a|cosA6Xcos90°
=0;
|a|cosA6Xcos135°
=一32.
与向量模有关的问题
+bl；
（2）|（a+b）（a-
-2b）|.
【思路探究】
【自主解答】
22
=16,b=|b|=4.
利用aa=a2或|a|=a2求解.
由已知ab=|a||b|cos0=4X2Xcos120°
=—4,a2=|a|2
2222
⑴•••|a+b|=（a+b）=a+2ab+b=16+2X（—4）+4=12,二|a+b|=23.
（2）v（a+b）（a—2b）=a—ab—2b=16—（—4）—2X4=12,/•|（a+b）（a—2b）|=12.
1.此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系•
2.利用aa=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转
化•
►SH训绒
设&
、e2是夹角为45°
的两个单位向量，且a=e1+2e2,b=2e1+e2,试求|a+b|的值.
【解】va+b=（e1+2e2）+（2e1+e2）=3（e1+e2）,
|a+b|=|3（e1+e2）|=3|&
+e2|=3\：
：
e+e22
=3e1+2e1e2+e2=3\;
2+,2.
」
与向量夹角有关的问题
卜例E3
（2014济南高一检测）若向量a,b,c两两所成的角均为120°
且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b与向量a+c的夹角B的余弦值.
【思路探究】先利用已知条件，分别求出（a+b）（a+c）,|a+b|和|a+
c|的大小，再根据向量的夹角公式求解.
2
【自主解答】T（a+b）（a+c）=a+ab+ac+be
9=1+1X2Xcos1200+1x3Xcos120°
+2X3Xcos120°
=—㊁,
|a+b|（a+bf=寸a2+2ab+b2
=12+2X1X2Xcos「1200+22=3,
|a+c|=a2+2ac+c2=7,
9
—（a+b）（a+c）23回
|a+b||a+c|芒x^14
1.求向量a,b夹角的流程图
2.当题目中涉及向量较多时，可用整体思想代入求值，不必分别求值，以避
免复杂的运算.
•娈itilll练
（1）（2014辽宁师大附中高一检测）若向量a与b不共线，ab丰0,且c=a
a_ab,则a与c的夹角为（）
nn、
A.0B.6C.3D.
⑵（2014贵州省四校高一联考）若|a|=2,|b|=4且（a+b）丄a，则a与b
的夹角是（）
n
c工0,Aa丄c,a与c的夹角为㊁，故选D.
（2）因为（a+b）丄a,所以（a+b）a=a2+ab=0,即卩ab=—a2=—4，所以
ab—412n
cos<
a,b>
=|a||—b|=2x4=—2,又因<
a，b>
€[0,n，所以a与b的夹角是3,故选A.
【答案】
（1）D
（2）A
易我易误辨析巧》孵解疑辨保迓”隔胖”|肆鲁节
混淆两向量夹角为钝角与两向
量数量积为负之间关系致误
典例设两向量ei,e2满足：
|ei|=2,|e|=1,ei,e2的夹角为60°
.若向量2tei+7e2与向量ei+1e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
【错解】由已知得e1e2=2x1x2=1,于是
（21e1+7e2）（e1+1e2）=2te1+（21+7）e1e2+7te2=2t+15t+7.
因为2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，
21
所以2t2+15t+7<
0,解得一7<
t<
—三
【错因分析】当两向量反向共线时，其数量积为负，但夹角不是钝角而是平角.
【防范措施】若两向量的夹角为钝角，则这两向量的数量积为负；
反之不
成立，因为两向量反向共线时，夹角为平角，即180。
，其数量积也为负.
【正解】由已知得e1e2=2x1x2=1,于是
（21e1+7e2）（e1+1e2）=2te1+（21+7）e1e2+7te2=2t+15t+7.
因为2tei+7e2与ei+te2的夹角为钝角,
所以2t+15t+7<
0,解得—7<
-
但是，当2tei+7e2与ei+1氏异向共线时，它们的夹角为180°
也有2t2+15t+7<
0,这是不符合题意的
此时存在实数人使得
2tei+7e2=?
（ei+1e2），即2t=入且7=2t，解得t
故所求实数t的取值范围是—7,——；
U—亠；
4,
交谥学习恆i
B.若R=0,则a=0或A0
C.若a=b，则a=b或a=—b
D.若ab=a•，贝Ub=c
【解析】由向量数量积的运算性质知AC、D错误.
【答案】B
2.（2013安徽高考）若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹
角的余弦值为
【解析】由|a|=|a+2b|，两边平方，得|a|2=（a+2b）2=|a|2+4|b|2+
3.
【答案】
3.已知|a|=4，|b|=6，a与b的夹角为60°
则向量a在向量b方向上的射影是.
【解析】
向量a在向量b方向上的射影是|a|cos60°
=4X?
=2.
【答案】2
4.已知|a|=4，|b|=5,当⑴a//b；
（2）a丄b；
（3）a与b的夹角为30°
时,分别求a与b的数量积.
【解】⑴当a/b时，若a与b同向，贝UA0°
•••ab=|a||b|cos0°
=4X5=20;
若a与b反向，贝UA180°
•ab=|a||b|cos1804X5X（—1）=—20.
（2）当a丄b时，<
=?
•ab=|a||b|cos2=4X5X0=0.
⑶当a与b的夹角为30°
时，
一、选择题
1.|a|=1,|b|=2,c=a+b且c丄a,则a与b的夹角为（）
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】c±
a,设a与b的夹角为B,则（a+b）a=0,所以a2+ab=0,
所以a2+|a||b|cos0=0,
则1+2cos0=0,所以cos0=—2’所以0=120°
故选C.
【答案】C
2.若向量a与b的夹角为60°
|b|=4,且（a+2b）（a—3b）=—72,贝Ua
的模为（）
A.2B.4C.6D.12
【解析】t（a+2b）（a—3b）=a2—ab—6b2
=|a|2—|a|（b|cos60。
—6|b|2
=|a|2—2|a|—96=—72,
•••Ia|2—2|a|—24=0,
二|a|=6.
3.△ABC中,ABACK0,贝9厶ABC是（）
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.等边三角形
————
TABAC=|AE||AC|cosAv0,
•cosAv0.•A是钝角.ABC是钝角三角形.
4.（2014怀远高一检测）已知i与j为互相垂直的单位向量，a=i—2j,b=
i+i且a与b的夹角为锐角，则实数入的取值范围是（）
A.（—s,—2）U2,㊁丿
【解析】Tab=（i—2j）（i+i）=1—2A>
0,
+i），
•1，
—2=k入
•••i<
2，又a、b同向共线时，ab>
0,设此时a=kb（k>
0），则i—2j=k（i
•后一2，二a、b夹角为锐角时，i的取值范围是（一s，
—2）U（—2,2J,故选A.
【答案】A
5.
（2014皖南八校高一检测）在厶OA叭，已知OA=4,OB=2,点P是AB的
垂直平分线I上的任一点，则OPA吐（）
———————1—
设AB的中点为M,则OPAB=（OM+MpA吐OMAB=2（OA+
—————1————
OB（OB—OA=2（°
B—OA）=—6.故选B.
二、填空题
6.（2014北大附中高一检测）向量a与b的夹角为120°
|a|=1,|b|=3,则|5a—b|=.
3
【解析】因为ab=|a||b|cos120°
=—2,所以|5a—b|=25a—10ab+
2b=25-10X—2+9=49,所以|5a-b|=7.
【答案】7
7.已知a丄b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与la-b垂直，J则入等于.
【解析】I（3a+2b）丄（l-b）
•••（启-b）（3a+2b）=0,
•••3l2+（2入—3）ab-2b2=0.
又•••|a|=2,|b|=3,a丄b,
•-122+（2l-3）X2X3Xcos90—18=0,
•-122-18=0,.•2=2"
3【答案】2
8.（2014温州高一检测）已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b（a-
b）=0,则|b|的取值范围是.
【解析】设a,b的夹角为9,由b（a-b）=0,得|b|（a|cos9-1b|=
0.解得|b|=0或|b|=|a|cos9=cos9<
1,所以|b|的取值范围是[0,1].
【答案】[0,1]
三、解答题
9.已知向量a、b的长度|a|=4,|b|=2.
（1）若a、b的夹角为120°
，求|3a—4b|；
（2）若|a+b|=23，求a与b的夹角9
【解】
（1）ab=|a||b|cos120，
（们
=4X2X--=-4.
<
2丿
又|3a-4b|2=（3a-4b）2=9a2-24ab+16b2
=9X4-24X（-4）+16X2=304,
•|3a-4b|=419.
（2）v|a+b|=（a+b）=a+2ab+b
=42+2ab+22=（23）2,
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