打印版 信号与系统3Word文档格式.docx
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⎛ππ⎞
⎝62⎠
ft=3cost+cos⎜5t+−⎟+2cos⎜8t−+π⎟
=3cost+cos⎜⎛5t−π⎟+2cos⎜8t+⎟
⎞
1
⎝3⎠⎝3⎠
单边幅度谱和相位谱
cn
3
ϕn
π
O
12345678
ω
−1π
双边幅度谱和相位谱
Fn
πϕ
n
−8
5
−5
1234
678
−1O12
345678
例3-2
求信号f（t）的傅里叶变换Fω。
f（t）
t
分析：
f（t）不满足绝对可积条件，故无法用定义求其傅里
叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解
。
下面用三种方法求解此题。
方法一：
利用傅里叶变换的微分性质
方法二：
利用傅里叶变换的积分性质
方法三：
线性性质
要注意直流，设fA（t）为交流分量，
fD（t）为直流分量，则
（）（）（）
ftft+ft
A
D
fA（t）
Fω=Fω+Fω
12
其中
0−12
（）[（）（）]
fDt=f−∞+f∞=
′
ft
FD（ω）=3πδ（ω）
（）（）
f′t=ft
3页页
⎛⎞
QfAt=G1⎜t−⎟
⎝2⎠
（）=Sa
∴jωFAω
−jω
⎜⎟
e
⎝2⎠
⎛ω⎞
jω
Sae
∴FAω=
+3πδ（ω）
∴Fω=Fω+Fω=
4页页
ft=1+f1（t）f1（t）为f2（t）的积分
F2（ω）=Sa
⎡
⎤ω
⎥
⎦
jω⎝2⎠
f1（t）
∴F1ωπω
=
+Sa⎜⎟jω
⎢
⎣
f2（t）
=πω+
Sa⎜⎟e−jω
（）[]（）（）
∴Fω=F1+Fω=3πδω+
利用线性性质进行分解
5页页
此信号也可以利用线性性
质进行分解，例如
[
]
ft=u（−t）+（t+1）u（t）−u（t−1）+2u（t−1）
b
−e−jω+1−e−jω
112
jωjω
2πδω+e−jω
πδω−jω
（jω）2
1−e−jω
∴Fω=（jω）2
例3-3
已知信号f（t）波形如下，其频谱密度为F（jω），不必求出
F（jω）的表达式，试计算下列值：
（1）F（ω）ω=0
∞
（2）∫（）
Fωdω
−∞
−1O
（）（）∫（）
−jωt
1Fω=ft
dt
∴F0=Fω=ftdt=1.5
ω=0
2π
（2）f（t）=∫（）
jt
令t=0，则
（）∫（）
f0=2π
则
∫（）
Fωdω=2πf0=2π
例3-4
已知F1（ω）=F[f1（t）],利用傅里叶变换的性质,
求F2（ω）=F[f1（6−2t）]。
按反褶－尺度－时移次序求解
F1（ω）=F[f1（t）]
已知
[（）]（）
Ff−t=F−ω
对t反褶
.
1⎛ω⎞
Ff−2t=F−
对t压缩2倍
[1（）]
2⎝2⎠
⎛ω⎞
对t时移6,得Ff62tF⎜⎟e−j3ω
[（）]
−=
−
按反褶－时移－尺度次序求解
（）[（）]
F1ω=Fft
[（）]（−）
FftFω
Ff6tFωe−j6ω
−=−
对t时移6,得
−j3ω
对t压缩2倍Ff62tF
方法三
利用傅里叶变换的性质
ωt0
a
1ω
−j
Fe
−=⎜⎟
a⎝a⎠
Ffatt
这里a=-2,t0=−6代入上式，得
Ff6−2t=F⎜−⎟e−j3ω
其它方法自己练习。
例3-5
π⎤
⎝τ⎠
E
已知升余弦信号ft
0≤t≤τ,
1+cos⎜⎟
利用频移性质求其频谱密度函数，并与矩形脉冲信号
⎡ττ⎤
⎛⎞⎛⎞
f1（t）=Eu⎜t+⎟−u⎜t−⎟
的频谱比较。
⎝2⎠⎝2⎠
解：
jπt
−jπt
⎤
EE
[（）（）]
ft=+e+eut+τ−ut−τ
τ
24
4
Eτ⎡π⎤
2⎝τ⎠
EτSa（ωτ）
Sa
⎜ω−⎟τ
⎜ω+⎟τ
⎝⎠
升余弦脉冲的频谱
f（t）
−τO
−τ
F（ω）
Eτ
πππ
τττ
比较
升余弦脉冲信号
的频谱比矩形脉冲
的频谱更加集中
ωτ
Fω=EτSa⎜⎟
ππ
ττ
1+cos⎜⎟0≤t≤τ，
例3-6已知双Sa信号
f（t）=ω
{Sa（ωct）−Sa[ωc（t−2τ）]}
c
试求其频谱。
π
f0（t）=ωπcSa（ωct）
令
因f0（t）为Sa波形，其频谱F0（ω）为矩形。
f0（t）和f（t）的波形如图
（a）,（b）所示。
f0（t）
F0（ω）
ωC
−ωC
oωC
o
（a）
（b）
f0（t−2τ）的波形如图（c）所示。
−f0（t−2τ）
⎧
（ω<
ωc
）
2τ
Fft=
⎨
⎩
ωc）
由时移特性得到
（c）
⎪
e−j2ωτ
Fft−2τ=
⎪0
因此f（t）的频谱等于
F（ω）=F[f0（t）]−F[f0（t−2τ）]
1−e−j2ωτ
从中可以得到幅度谱为
2sin（ωτ）
Fω=
在实际中往往取τ=ωπ,此时上式变成
πω
2sin
F（ω）=
双Sa信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。
（e）
（d）
例3-7-8
求图（a）所示函数的傅里叶变换。
引入辅助信号f1t,如图（b）.
Fω
由对称关系求
F1（ω）=G2π（ω）
又因为
f（t）=f1（t1）
11
得
F（ω）=F1（ω）⋅e−jω=G2π（ω）⋅e−jω
频谱图
F1ω
f1（t）
F1（ω）
−11
F1（t）
2πf1（−ω）
f1（t）（t→−ω）
2πf1（−ω）
Ft
（ω↔t）（t←ω）
⎛τ⎞
Gτ（t）↔τSa⎜ω⎟
⎝2⎠
且由图（b）可得f1（t）=Sa（πt）
τ→2π
所以由对称性，
（）（）（）（）
2πf1ω=2πSaπω→Gt=Ft
∴F1（ω）=G2π（ω）
幅频、相频特性
幅频、相频特性分别如图（c）（d）所示。
|F（ω）|
φ（ω）
−π0
−π
幅度频谱无变化，只影响相位频谱
右
⎧−ωt0
相移ωt0⎨
⎩左ωt0
例3-8
1costt≤π
⎧+
已知信号f（t）⎨
t>
求该信号的傅里叶变换。
该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号
G2π（t）的截取，
看成是周期信号（）
+经过门函数
1cost
也可以看成是
G2πt被信号1cost
+
调制所得的信号.
有以下三种解法:
利用频移性质
利用频域卷积定理
利用傅里叶变换的时域微积分特性
利用频移性质：
由于
f（t）=1+costG2π（t）
利用欧拉公式，将1cost
化为虚指数信号，
（）被虚指数信号调制的
f（t）就可以看成是门函数G2πt
结果。
在频域上，就相当于对G2π（t）的频谱进行平移。
1ejteG2π（t）
=⎜⎛+
⎟
⎝22⎠
−jt
又因
G2π（t）↔2πSaπω=2sinπω
所以根据频移性质，可得
F（ω）=F[f（t）]
⋅2sinπω−1⋅2sinπω+1
=2sinπω
+2
ω−1
ω+1
=−2sinπω
ωω−
用频域卷积定理
（）经过窗函数G2πt的截取，
将f（t）看成是信号1cost
即时域中两信号相乘
根据频域卷积定理有
（）[][（）]
Fω=F1+cost∗FGt
2sinπω
[（）（）（）]
=2πδω+πδω−1+πδω+1∗
利用傅里叶变换的时域微积分特性5页页
信号f（t）是余弦函数的截断函数，而余
弦函数的二次导数又是余弦函数。
利用
傅里叶变换的时域微积分特性可以列方
−π−π
πt
f′t
程求解。
′′′
ft,ft,ft的波形为：
由图可知
2−1
f′′t
f′′t=−costG2π（t）
=−ft−G（t）
[（）]
6页页
对上式两端取傅里叶变换，可得
2sinπω⎤
（jω）2（）（）
Fω=−Fω−
即
1ωFω=
由于f（t）和f′′（t）均为能量信号，其傅里叶变换在ω0
处都等于0,根据时域积分特性，Fω中不可能含有δω
项，因此可将（1−ω2）项移到方程右边，即
Fω=−
例3-9
求信号f（t）=Sa（100t）的频宽（只计正频率部分），若对
f（t）进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特
周期TN。
（1）要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F（ω）
Gτt↔τSa⎜⎟
令=100ω,则τ＝200
∴G200（t）↔200Sa（100ω）
1G200（t）↔Sa（100ω）
200
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t↔2π⋅G200ω=G200ω
100
f（t）的波形和频谱图如下
−1000
所以信号的频带宽度为
ω50Hz
∴fm==
ωm=100rad/s
m
（2）
最高抽样频率（奈奎斯特频率）为
fN=2fm=Hz
奈奎斯特间隔（即最大允许抽样间隔）为
1π
TN==s
f100
N
例3-10
已知周期信号f（t）的波形如下图所示，求f（t）的傅里叶
变换F（ω）。
L
−1
−2
−14O
−1
求信号的傅里叶变换一般有两种解法。
将信号转化为单周期信号与单位冲激串δt
T
的卷积，用时域卷积定理来求解；
利用周期信号的傅里叶级数求解。
方法一
将信号转化为单周期信号与单位冲激串的卷积。
−1≤t≤
截取f（t）在
的信号构成单周期信号f1（t），即有
f（t）−≤t≤
f1（t）=
t为其它值
]↔Sa1−e
f1（t）=G1（t）∗δ（t）−δ（t−1）
2⎝4⎠
易知f（t）的周期为2，则有
f（t）f1（t）∗δT（t）
T2
δT（t）↔ωδω
∑
ω1==π
=πδω−nπ
n=−∞
由时域卷积定理可得
Fω=Ff（t）⋅Fδt
（−jω）（）
=Sa⎜⎟1−e
⋅πδω−nπ
n∞
sinnπ
=π
1−e
δω−nπ
4（−jnπ）（）
nπ
4[1−（−1）n]δ（ω−nπ）
=2
利用周期信号的傅里叶级数求解
f（t）的傅里叶级数为
∫
Fn=f（t）⋅e−jω1tdt
=1
⎢G1（t）G（t1）⎥e−jnπtdt
−−
sin4
[1
（1）n]
所以
Fω=Fft=2πFnδω−nπ
4[1−（−1）n]δ（ω−
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