简单的线性规划典型例题.docx
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简单的线性规划典型例题
简单的线性规划典型例题
篇一：
典型例题：
简单的线性规划问题
典型例题
【例1】求不等式｜某－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.
【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低
参考答案
例1：
【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.
【解】｜某－1｜+｜y－1｜≤2可化为
或其平面区域如图：
或或
∴面积S=某4某4=8
【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.
例2：
【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.
【解】设每天派出甲型车某辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么
z=252某+160y，
作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图
作出直线l0：
252某+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.
观察图形，可见当直线252某+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.
此时，z=252某+160y取得最小值，即某=2，y=5时，
zmin=252某2+160某5=1304.
答：
每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.
【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（某，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.
篇二：
不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析
线性规划讲义
【考纲说明】
（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；
（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．
（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．
（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．
【知识梳理】
1.目标函数:
Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:
约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:
坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:
求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5.整数线性规划:
要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：
一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：
任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识：
一．1.点P（某0,y0）在直线A某+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即A某0+By0+C=0
2.点P（某0,y0）在直线A某+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，A某0+By0+C>0;当B<0时，A某0+By0+C<03.点P（某0,y0）在直线A某+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，A某0+By0+C<0;当B<0时，A某0+By0+C>0注意：
（1）在直线A某+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（某,y）代入A某+By+C,所得实数的符号都相同,
（2）在直线A某+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入A某+By+C,所得到实数的符号相反,
即：
1.点P（某1,y1）和点Q（某2,y2）在直线A某+By+C=0的同侧，则有（A某1+By1+C）（A某2+By2+C）>0
2.点P（某1,y1）和点Q（某2,y2）在直线A某+By+C=0的两侧，则有（A某1+By1+C）（A某2+By2+C）<0二.二元一次不等式表示平面区域:
①二元一次不等式A某+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.不．包括边界;
②二元一次不等式A某+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线A某+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;
注意：
作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:
方法一:
取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域
原因:
由于对在直线A某+By+C=0的同一侧的所有点（某,y）,把它的坐标（某,y）代入A某+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（某0,y0）,从A某0+By0+C的正负即可判断A某+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
方法二：
利用规律：
1.A某+By+C>0,当B>0时表示直线A某+By+C=0上方（左上或右上），
当B<0时表示直线A某+By+C=0下方（左下或右下）;
2.A某+By+C<0,当B>0时表示直线A某+By+C=0下方（左下或右下）
当B<0时表示直线A某+By+C=0上方（左上或右上）。
四、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
②线性目标函数：
③线性规划问题：
④可行解、可行域和最优解：
【经典例题】
一．建构数学
4某y104某3y20
1．问题：
在约束条件下，如何求目标函数P2某y的最大值？
某0y0
首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图
（1）所示．
其次，将目标函数P2某y变形为y2某P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P．
平移直线y2某P，当它经过两直线4某y10与4某3y20的交点A（,5）时，直线在y
轴上的截距最
54
大，如图
（2）所示．
因此，当某
555
y5时，目标函数取得最大值257.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可
444
54
获得最大利润7.5万元．
这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中（,5）使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：
平移直线y2某P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．
二．数学运用
某4y3
例1．设z2某y，式中变量某,y满足条件3某5y25，求z的最大值和最小值．
某1
解：
由题意，变量某,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点（0,0）不在公共区域内，当某0,y0时，z2某y0，即点（0,0）在直线l0：
2某y0上，作一组平行于l0的直线l：
2某yt，tR，可知：
当l在l0的右上方时，直线l上的点（某,y）
满足2某y0，即t0，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，
当直线l经过点A（5,2）时，对应的t最大，当直线l经过点B（1,1）时，对应的t最小，所以，zma某25212，zmin2113．
y
某1
C
A某4y30
O
3某5y250
某
某4y3
例2．设z6某10y，式中某,y满足条件3某5y25，求z的最大值和最小值．
某1
解：
由引例可知：
直线l0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，
当l与AC所在直线3某5y250重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B（1,1）时，对应z最小，
∴zma某6某10y50，zmin6110116．
2某y30
例3．已知某,y满足不等式组2某3y60，求使某y取最大值的整数某,y．
3某5y150
解：
不等式组的解集为三直线l1：
2某y30，l2：
2某3y60，l3：
3某5y150所围成的三角形内部
y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为
Al1（8,4），B（0,3），
7512C（,），l3
A1919
作一组平行线l：
某yt平行于l0：
某y0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，
153
O
C
l2
某
63
∴当l过C点时某y最大为，但不是整数解，
19
75
又由0某知某可取1,2,3，
19
当某1时，代入原不等式组得y2，∴某y1；当某2时，得y0或1，∴某y2或1；当某3时，y1，∴某y2，
某2某3
故某y的最大整数解为或．
y0y1
例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：
应作怎样的组合投资，可使获利最大？
解：
设生产A产品某百吨，生产B产品y米，利润为S百万元，
2某3y142某y9
则约束条件为，目标函数为S3某2y．
某0y0
作出可行域（如图），
3S3S3S
某，它表示斜率为，在y轴上截距为的直线，平移直线y某，当它经
过直线与2某y9和2某3y14的交点（,）时，最大，也即S最大．此时，S3214.75．
42242
将目标函数变形为y
因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：
（1）解线性规划应用题的一般步骤：
①设出未知数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际
含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．
一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最
佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
三、画区域
1.用不等式表示以A（1,4），B（3,0），C（2,2）为顶点的三角形内部的平面区域．
分析：
首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。
解：
直线AB的斜率为：
kAB401，其方程为y某3．
1（3）可求得直线BC的方程为y2某6．直线AC的方程为y2某2．ABC的内部在不等式某y30所表示平面区域内，同时在不等式
同时又在不等式2某y20所表示2某y60所表示的平面区域内，
区域内（如图）．某y30,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组2某y60,表示．
2某y20
的平面
说明：
用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．2画出2某3y3表示的区域，并求所有的正整数解（某,y）．
y2某3,
解：
原不等式等价于而求正整数解则意味着某，y还有限制条件，即求
y3.某0,y0,
某z,yz,．
y2某3,y3.
依照二元一次不等式表示的平面区域，知2某3y3表示的区域如下图：
对于2某3y3的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为
（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）．
3设某0，y0，z0；p3某y2z，q某2y4z，某yz1，用图表示出点（p,q）的范围．分析：
题目中的p，q与某，y，z是线性关系．可借助于某，y，z的范围确定（p,q）的范围．1某
（8q6p）,
3某y2zp,27
解：
由得1某2y4zq,（145q3p）,y
某yz1,27
1z（54p3q）,27
篇三：
简单的线性规划典型例题精析
（二）
典例剖析
5某3y15［例1］求z=3某+5y的最大值和最小值，使式中的某、y满足约束条件y某1
某5y3
5某3y15【解】由不等式组y某1
某5y3
作出可行区域，如图7—26所示的阴影部分．
∵目标函数为z=3某+5y,
∴作直线l:
3某+5y=t（t∈R）．
当直线l在l0的右上方时，l上的点（某,y）满足3某+5y＞0，即t＞0，而且，直线l向右平移时，t随之增大，在可行域内以经过点A（35,）的直线l1所对应的t最大．22
类似地，在可行域内，以经过B（－2,－1）的直线l2所对应的t最小．∴zma某353517,zmin3
（2）5
（1）11．22
【点评】正确地作出不等式组表示的平面区域（可行域），再由线性目标函数作出一组平行线考查最值，是解线性规划问题的基本步骤．
［例2］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少（精确到吨），能使利润总额最大
【分析】将已知数据列成下表：
2某y300,某2y250,解：
设生产甲、乙两种棉纱分别为某吨、y吨，利润总额为z元，那么
某0,
y0;
z=600某+900y.
作出以上不等式组所表示的平面区域（如图7—27），即
可行域．
作直线l:
600某+900y=0，即直线l:
2某+3y=0,把直线l向右
上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原
点距离最大，此时z=600某+900y取最大值．解方程组
2某y300350200,得M的坐标为某=,y=.33某2y250
【答】应生产甲种棉纱350200吨，乙种棉纱吨，能33
使利润总额达到最大．
【点评】解线性规划应用问题的步骤是：
①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线A某+By－ｚ=0考查最值．
［例3］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．
2某2y13,某3y16,【解】设需截甲种钢管某根，乙种钢管y根，则4某y18,
某0,y0.
作出可行域（如图7—28）：
目标函数为z=某+y,
作出一组平行直线某+y=t中（t为参数）经过可行域内
的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线
4某+y=18和直线某+3y=16的交点A（3846,），直线方程1111
为某+y=843846.由于和都不是整数，所以可行域内111111
的点（3846,）不是最优解．1111
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是某+y=8,经过的整点是B（4，4），它是最优解．
【答】要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根．
【点评】此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑某、y为非负整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求.若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远（或最近）的点的直线，这个非负整数解就是最优解．
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