苏教版高中数学选修21第1章常用逻辑用语111含答案Word格式.docx
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③四种命题中，真命题都是成对出现，即真命题的个数为0或2或4.
1．命题均能判断其真假．（√）
2．我们所学习过的定理均为命题．（√）
3．命题：
若函数f（x）为区间D上的奇函数，则f（0）＝0，为真命题．（×
）
4．命题：
若sinA＞sinB，则A＞B，其逆命题为真命题．（×
类型一 命题的概念及真假判断
例1 判断下列语句是不是命题，并说明理由．
（1）
是有理数；
（2）3x2≤5；
（3）梯形是不是平面图形呢？
（4）若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；
（5）一个数的算术平方根一定是负数；
（6）若a与b是无理数，则ab是无理数．
考点 命题的定义及分类
题点 命题的定义
解
（1）“
是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
（2）因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题．
（3）“梯形是不是平面图形呢？
”是疑问句，所以它不是命题．
（4）“若x∈R，则x2＋4x＋5≥0”是陈述句，并且它是真的，所以它是命题．
（5）“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
（6）“若a与b是无理数，则ab是无理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．
反思与感悟 判断一个语句是不是命题的三个关键点
（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
（2）语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；
否则就不是命题．
跟踪训练1 下列语句是命题的是________．（填序号）
①三角形内角和等于180°
；
②2＞3；
③一个数不是正数就是负数；
④x＞2；
⑤这座山真险啊！
答案 ①②③
解析 依据命题定义，得①②③为命题．
例2 给定下列命题：
①若a>
b，则2a>
2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝
是函数y＝sinx的一条对称轴；
④在△ABC中，若
·
>
0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．（填序号）
考点 命题的真假判断
题点 命题真假的判断
答案 ①③④
解析 结合函数f（x）＝2x的单调性，知①为真命题；
而函数y＝sinx的对称轴方程为x＝
＋kπ，k∈Z，故③为真命题；
又因为
＝|
||
|cos（π－B）＝－|
|cosB>
0，故得cosB<
0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
引申探究
1．本例中命题④改为：
若
<
0，则△ABC是锐角三角形，该命题还是真命题吗？
解 不是真命题，
0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
2．本例中命题④改为：
＝0，则△ABC是________三角形．
答案 直角
解析 由
＝0，得∠B＝90°
，故该三角形为直角三角形．
反思与感悟 一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
跟踪训练2 判断下列语句是否为命题？
若是命题，则判断其真假：
是无限循环小数；
（2）x2－3x＋2＝0；
（3）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？
（4）一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
（5）当x＝4时，2x＋1＞0.
解
（1）能判断真假，是命题，是假命题．
（2）不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假（这种语句叫“开语句”）．
（3）不能判断真假，不是命题．
（4）是命题，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列是递减数列，因此是一个假命题．
（5）能判断真假，是命题，是真命题．
类型二 四种命题的关系及真假判断
例3 把下列命题写成“若p则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
（1）正数的平方根不等于0；
（2）当x＝2时，x2＋x－6＝0；
（3）对顶角相等．
解
（1）原命题：
若a是正数，则a的平方根不等于0.
逆命题：
若a的平方根不等于0，则a是正数．
否命题：
若a不是正数，则a的平方根等于0.
逆否命题：
若a的平方根等于0，则a不是正数．
（2）原命题：
若x＝2，则x2＋x－6＝0.
若x2＋x－6＝0，则x＝2.
若x≠2，则x2＋x－6≠0.
若x2＋x－6≠0，则x≠2.
（3）原命题：
若两个角是对顶角，则它们相等．
若两个角相等，则它们是对顶角．
若两个角不是对顶角，则它们不相等．
若两个角不相等，则它们不是对顶角．
反思与感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．
跟踪训练3 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
（1）实数的平方是非负数；
（2）等底等高的两个三角形是全等三角形．
解
（1）逆命题：
若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
（2）逆命题：
若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．
例4 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
（1）若a>
b，则ac2>
bc2；
（2）若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
若ac2>
bc2，则a>
b.真命题．
若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．
若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．
若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．
若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．
若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．
反思与感悟 1.若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．
2．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．
3．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.
跟踪训练4 下列命题中为真命题的是________．（填序号）
①“正三角形都相似”的逆命题；
②“若m>
0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
③“若x－
是有理数，则x是无理数”的逆否命题．
答案 ②③
解析 ①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题．
②原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”．
∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m<
0，∴m<
－
0.故为真命题．
③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－
不是有理数”．
∵x不是无理数，∴x是有理数．
又
是无理数，∴x－
是无理数，不是有理数．故为真命题．
所以真命题是②③.
类型三 等价命题的应用
例5 证明：
已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0.
证明 原命题的逆否命题为“已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，a，b∈R，若a＋b<
0，则f（a）＋f（b）<
f（－a）＋f（－b）”．
若a＋b<
0，则a<
－b，b<
－a.
又∵f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
∴f（a）<
f（－b），f（b）<
f（－a），
∴f（a）＋f（b）<
f（－a）＋f（－b）．
即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．
跟踪训练5 证明：
若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
证明 “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
1．下列语句：
①12>
5；
②3是12的约数；
③0.5是整数；
④x是偶数；
⑤x<
2.
其中是命题的为________．（填序号）
解析 依据命题的定义知只有①②③为命题．
2．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是________________________．
考点 四种命题的概念
题点 按要求写出命题
答案 若|a|＝|b|，则a＝－b
3．命题“若x>
1，则x>
0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．
答案 若x>
0，则x>
1 若x≤0，则x≤1
4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．
答案 4
解析 逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；
否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；
逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，
全为真命题．
5．已知命题p：
“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>
0无解”．
（1）写出命题p的否命题；
（2）判断命题p的否命题的真假．
解
（1）命题p的否命题为“若ac<
0，则二次不等式ax2＋bx＋c>
0有解”．
（2）命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<
0，
所以－ac>
0⇒Δ＝b2－4ac>
0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>
0有解，
所以该命题是真命题．
1．根据命题的定义，可以判断真假的语句是命题．命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中．
3．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．
若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p则q”为真；
确定“若p则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．
一、填空题
1．给出下列命题
b，则a3>
b3；
②若a>
1，则
1；
③一元二次方程x2－x＋1＝0无实数解；
④若a≥b，则ac2≥bc2.
答案 ①②③④
解析 显然①成立，②成立；
而对于③：
判别式Δ＝（－1）2－4＝－3<
0，故该方程无实数解；
对于④：
结合不等式性质，可知该命题为真命题．
2．命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是________．
答案 若tanα≠1，则α≠
3．下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；
③若a>
④矩形的对角线互相垂直．
其中假命题的个数是________．
解析 ①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；
②当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；
③当c＝0时不成立；
④矩形的对角线不一定垂直．
4．给出下列命题：
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“若{an}既是等差数列，又是等比数列，则an＝an＋1（n∈N*）”的逆命题；
③“若m＞1，则不等式x2＋2x＋m＞0的解集为R”的逆否命题．
其中所有真命题的序号是________．
答案 ①③
解析 ①的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”是真命题；
②的逆命题为“数列{an}中，若an＝an＋1（n∈N*），则数列{an}既是等差数列，又是等比数列”是假命题，如0,0,0…；
对于③，当m＞1时，Δ＝4－4m＜0恒成立，x2＋2x＋m＞0的解集为R是真命题．因此逆否命题是真命题．
5．已知命题“若m－1<
x<
m＋1，则1<
2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
答案 [1，2]
解析 由已知得若1<
2成立，则m－1<
m＋1也成立．
∴
∴1≤m≤2.
6．命题“函数y＝log2（x2－mx＋4）的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________________．
题点 由命题的真假求参数的取值范围
答案 （－∞，－4]∪[4，＋∞）
解析 由题意可知，满足条件时，需方程x2－mx＋4＝0的判别式Δ≥0，即（－m）2－4×
4≥0，解得m≤－4或m≥4.
7．命题“当a＞0，a≠1时，若函数f（x）＝logax在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
题点 按要求写命题
答案 当a＞0，a≠1时，若loga2≥0，则函数f（x）＝logax在其定义域内不是减函数．
8．已知命题“函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点”为真命题，则实数b的取值范围是________．
答案 （0,2）
解析 函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点等价于函数y＝|2x－2|与y＝b的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y＝|2x－2|及y＝b的图象，如图．由图可知b∈（0,2）．
9．已知p：
关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，q：
函数f（x）＝－（5－2a）x是减函数，若p，q中有且只有一个是真命题，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，－2]
解析 p为真命题时，Δ＝4a2－16＜0，
解得－2＜a＜2.
q为真命题时，5－2a＞1，
解得a＜2.
当p真q假时，
a∈∅.
当p假q真时，
即a≤－2.
故实数a的取值范围为（－∞，－2]．
10．命题“对于正数a，若a＞1，则lga＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为________．
解析 逆命题：
对于正数a，若lga＞0，则a＞1，否命题：
对于正数a，若a≤1，则lga≤0.逆否命题：
对于正数a，若lga≤0，则a≤1.根据对数的性质可知都是真命题．
二、解答题
11．把下列命题改写成“若p则q”的形式，并判断命题的真假．
（1）当ac>
bc时，a>
b；
（2）当m>
时，mx2－x＋1＝0无实根；
（3）当ab＝0时，a＝0或b＝0.
解
（1）若ac>
bc，则a>
b.
∵当ac>
bc，c<
0时，a<
b，∴该命题是假命题．
（2）若m>
，则mx2－x＋1＝0无实根．
∵Δ＝1－4m<
0，∴该命题是真命题．
（3）若ab＝0，则a＝0或b＝0，∴该命题是真命题．
12．已知命题p：
lg（x2－2x－2）≥0，命题q：
1－x＋
1，若命题p，q至少有一个是真命题，求实数x的取值范围．
解 由lg（x2－2x－2）≥0，得x2－2x－2≥1，
解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋
1，得x2－4x<
0，解得0<
4.
若命题p，q至少有一个是真命题，则有以下三种情形：
①p真q假；
②p假q真；
③p真q真．
当p真q假时，有
解得x≤－1或x≥4.
当p假q真时，有
解得0<
3.
当p真q真时，有
解得3≤x<
综上，满足条件的实数x的取值范围为以上三种情况的并集，即（－∞，－1]∪（0，＋∞）．
13．判断命题：
“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 方法一 （利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．
方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>
0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．
方法二 （利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>
－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<
0，即－4b<
0，所以b>
－1成立，即原命题的逆否命题为真．
三、探究与拓展
14．命题“ax2－2ax＋3>
0恒成立”是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，0）∪[3，＋∞）
解析 若命题“ax2－2ax＋3>
0恒成立”是真命题，当a＝0时，3>
0符合题意，当a≠0时，则a>
0且Δ<
a<
3，综上可知，当0≤a<
3时，命题“ax2－2ax＋3>
0恒成立”是真命题，故当a<
0或a≥3时，命题“ax2－2ax＋3>
0恒成立”是假命题．
15．写出命题“当2m＋1＞0时，如果
＞0，那么m2－5m＋6＜0”的逆命题、否命题和逆否命题，并分别指出四种命题的真假．
题点 判断四种命题的真假
解 由2m＋1＞0，得m＞－
.
由
＞0，得m＜－3或m＞
，
又m＞－
，所以m＞
由m2－5m＋6＜0，得2＜m＜3，
，所以2＜m＜3.
由此可知，原命题可变为“如果m＞
，那么2＜m＜3”，
显然原命题是假命题．
逆命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6＜0，
那么
＞0”，
即“如果2＜m＜3，那么m＞
”，它是真命题．
否命题为“当2m＋1＞0时，如果
≤0，
那么m2－5m＋6≥0”，
因为
所以
所以－
＜m＜
得
即－
＜m≤2或m≥3，
所以否命题可表述为“如果－
那么－
＜m≤2或m≥3”，它是真命题．
逆否命题为“当2m＋1＞0时，如果m2－5m＋6≥0，
≤0”，
则逆否命题可表述为“如果－
”，它是假命题．
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