国家开放大学《数字电子电路》教学辅导文稿1.docx

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国家开放大学《数字电子电路》教学辅导文稿1

2020年国家开放大学《数字电子电路》辅导文稿1

学习·数字电子电路。

背景及基本概念

0.1数字量与模拟量

在自然界形形色色的物理量中，尽管各种物理量的性质不同，但就其变化规律的特点，可以将其归结为两大类：

数字量和模拟量。

数字量的变化在时间和数量上不连续，即它们的变化在时间上总是发生在一系列离散的瞬间，数值的大小或每次增减的变化都是某个最小数量单位的整数倍。

表示数字量的信号叫做数字信号，处理数字信号的电路叫做数字电路。

与之对应的另一类物理量叫做模拟量，模拟量的变化在时间和数量上是连续的，例如正弦函数、指数函数等，人们熟悉的自然界的许多物理量都具有模拟性质，例如速度、温度、声音等。

把表示模拟量的信号叫做模拟信号，处理模拟信号的电路叫做模拟电路。

0.2数字电路及其特点

数字电路处理的信号在时间和数值上是不连续的离散信号，即数字信号。

数字电路中常用二值数字逻辑，采用数字0和1表示数字信号，这里的0和1不是十进制中的数字，而是逻辑0和逻辑1，相当于客观世界中彼此相关又互相联系的是与非、真与假、开与关等逻辑关系。

在数字电路中，可以用电子器件的开关特性形成不同的数字电压，用这些数字电压的高电平或低电平表示逻辑1或逻辑0。

数字电路有以下特点：

（1）研究对象

数字电路研究输入高低电平与输出高低电平之间的因果关系，即逻辑关系。

（2）研究工具

数字电路研究的工具是逻辑代数。

在数字电路中的0和1表示两种对应的状态，而不是数值本身的大小。

（3）半导体器件的工作状态

由于数字电路输入输出只有两种状态，因此组成电路的半导体器件大多工作在开关状态。

半导体器件饱和导通时，相当于开关闭合；截止时，相当于开关断开。

（4）数字电路的抗干扰

由于数字电路输入输出则是非高则低两种状态，因此，当由于电路内部或外部原因使输出信号波动时，只要波动的幅度在一定范围不致改变信号原来的1或0状态，电路仍能正常工作。

因此，数字电路具有较强的抗干扰能力。

0.3数字电路的分类

数字电路的发展经历了从电子管、半导体分立器件到集成电路的过程，从60年代开始，小规模数字集成电路的出现，到70年代末，微处理机的出现，数字集成电路的发展产生了质的飞跃。

近年来，可编程逻辑器件特别是现场可编程门阵列的进步，使数字电子技术开创了新局面，不仅集成电路规模大，而且将硬件设计与软件设计相结合，使器件的功能更加完善，使用更加灵活。

数字集成电路根据所用晶体管结构和工艺的不同，可以分为双极型集成电路和金属-氧化物-半导体（MOS）集成电路两大类。

前者的主要器件是双极型晶体管；后者使用的主要器件是MOS场效应管。

数字集成电路还可以根据每个集成芯片集成规模的不同，将其分为小规模、中规模、大规模、超大规模和甚大规模集成电路。

小规模集成电路以集成门电路为集成对象，中规模集成电路则以计数器、译码器、加法器等集成电路为主，而大规模集成电路则以小型存储器等功能部件为集成对象，超大规模集成电路有微处理器、大型存储器，甚大规模集成电路则有可编程逻辑器件、多功能集成电路等。

有关这些器件的详细内容将在书中后续章节中继续讨论。

第1章逻辑代数基础

1.1数制与码制

1.1.1数制

数制即计数体制，它是按照一定规则表示数值大小的计数方法。

在日常生活中，最常用的计数体制是十进制，数字电路中常用到的计数体制是二进制。

1．十进制数

十进制数是用十个数字符号0、1、2、…、8、9按一定规则排列表示数的大小。

例如：

8228=8´103+2´102+2´101+8´100

可以看出，十进制数有以下特点：

（1）有十个数字符号：

0、1、2、…、8、9，其计数基数为10。

（2）相同的数字符号在不同的数位所表示的值是不同的，称作位权。

各位数的位权是10的幂（100、101、102）。

（3）低位与相邻高位的进位关系是逢十进一。

n位十进制正整数（M）10的值可以由式1-1所示的多项式求得：

（M）10=kn1´10n1+kn2´10n2+…+k1´101+k0´100

（1-1）

式中ki称系数，它可以是0~9十个数字符号中的任意一个，10i是第i位的权。

2.二进制数

数字电路中的信号通常只有两种工作状态，因此，二进制数是数字电路中应用最广泛的计数体制。

与十进制数对应，二进制数有以下特点：

（1）有两个数字符号：

0和1，其计数基数为2。

（2）各位数的位权是2的幂（20、21、22、…）。

（3）低位与相邻高位的进位关系是逢二进一。

n位二进制整数（M）2的值可以由式1-2所示的多项式求得：

（M）2=kn1´2n1+kn2´2n2+…+k1´21+k0´20

（1-2）

3.十六进制数

二进制数只有两个数字符号，虽然运算简便，但是用二进制数表示数值较大的数，会因位数太多不便记忆和书写，因此，常采用十六进制。

十六进制数有以下特点：

（1）有十六个数字符号：

0~9、A、B、C、D、E、F，其计数基数为16。

（2）各位数的位权是16的幂（160、161、162、）。

（3）低位与相邻高位的进位关系是逢十六进一。

n位十六进制整数（M）16的值可以由式1-3所示的多项式求得：

（M）16=kn1´16n1+kn2´16n2++k1´161+k0´160

（1-3）

1.1.2码制

在数字电路中，常常用一定位数的二进制数码表示不同的事物或信息，这些数码称为代码。

编制代码时要遵循一定的规则，这些规则称为码制。

常用的码制有二—十进制码和循环码。

1．二—十进制码

二—十进制码简称BCD（BinaryCodedDecimal）码，它是用4位二进制代码表示0~9十个十进制数。

最常用的8421BCD码，其编码规则如表1-1所示，它每位的权从左至右依次是8、4、2、1，属于有权码。

四位二进制代码有16种不同的代码，在8421BCD码中，有6种代码不用，它们是：

1010、1011、1100、1101、1110、1111，这6种代码被称为伪码。

2．循环码

循环码又称格雷码。

表1-2列出了最常用的4位循环码的编码表，同时给出了循环码与4位二进制代码的对照。

循环码的构成原则是：

相邻两个代码之间仅有一位取值不同。

循环码的特点是，在代码传输的过程中引起的误差小。

循环码是一种误差最小化代码，因此获得了广泛的应用。

1.1.3算术运算和逻辑运算

在数字电路中,1位二进制数码0和1不仅可以表示数值的大小,也可以表示两种不同的逻辑状态。

当两个二进制数表示数值大小时,它们可以进行数值运算,称之为算术运算,其运算规则与十进制数的运算规则基本相同。

另外,在数字电路和电子计算机中,两数相减的运算是用它们的补码相加来完成。

下面，简单介绍二进制数的补码及相应的运算方法。

在数字电路和电子计算机中,二进制数的正、负号是用0和1来表示的。

将最高位作为符号位，0表示正、1表示负，这种方法表示的数码称为原码。

1.2基本逻辑运算

1.2.1逻辑变量与逻辑函数

反映事物逻辑关系的变量称为逻辑变量。

在图1-1所示的开关电路中，灯泡Y的状态由开关A、B、C的状态决定。

Y与A、B、C之间存在一定的逻辑关系。

这里，A、B、C和Y都是逻辑变量，因为Y的状态由A、B、C的状态确定，称Y是A、B、C的逻辑函数，A、B、C是输入变量，Y是输出变量。

图1-1开关电路

1.2.2基本逻辑运算

1．三种基本逻辑运算

（1）逻辑“与”

只有当决定事件结果的若干条件全部满足时，结果才会发生，这种条件和结果的关系称为逻辑“与”。

在图1-2所示的开关串联电路中，只有当开关A和B全部闭合时，灯泡Y亮的结果才会发生。

在逻辑代数中，变量之间与的逻辑关系称作与运算，也叫逻辑乘法运算。

在逻辑表达式中，与运算符号用“·”表示（有时为了简便，·符号也可省略），图1-2电路输入输出关系的逻辑表达式为

Y=A·B（1-4）

（a）电路（b）符号

图1-2与开关电路及符号

（2）逻辑“或”

决定事件结果的若干条件中，只要有一个或一个以上条件满足时，结果就会发生，这种条件和结果的关系称为逻辑“或”。

在图1-3所示的开关并联电路中，只要开关A或B有一个（或全部）闭合时，灯泡Y亮的结果就会发生。

在逻辑代数中，变量之间或的逻辑关系称作或运算，也叫逻辑加法运算。

在逻辑表达式中，或运算符号用“+”表示，图1-3电路输入输出关系的逻辑表达式为

Y=A+B（1-5）

（a）电路（b）符号

图1-3或开关电路及符号

（3）逻辑“非”

当条件满足时，结果不发生，而当条件不满足时，结果才发生。

这种条件和结果的关系称为逻辑“非”。

在图1-4所示的开关电路中，开关A断开时，灯泡Y亮的结果才会发生；开关A闭合时，灯泡Y亮的结果反而不发生。

在逻辑代数中，变量之间非的逻辑关系称作非（反）运算，也叫逻辑求非（反）运算。

在逻辑表达式中，非运算符号用变量上加“-”表示，图1-4电路输入输出关系的逻辑表达式为

Y=`A（1-6）

（a）电路（b）符号

图1-4非开关电路及符号

在图1-2～1-4（a）所示的开关电路中，若设A、B为1表示开关闭合、为0表示开关断开，Y为1表示灯亮、为0表示灯不亮（把这一过程称为逻辑变量的定义）。

若把条件和结果关系的全部组合列成表格的形式，分别见表1-4（a）、（b）、（c）所示。

称这种表格为真值表。

图1-2~1-4（b）分别为与、或、非的逻辑符号。

表1-4（a）与真值表表1-4（b）或真值表表1-4（c）非真值表

2．常用复合运算

与、或、非是三种基本逻辑运算，由它们组成的几种常用复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算、同或运算等。

（1）与非运算

与非运算是将变量A、B先进行与运算，再将与运算的结果求反得到。

（2）或非运算

或非运算是将变量A、B先进行或运算，再将或运算的结果求反得到。

（3）与或非运算、

与或非运算是将变量A与B、C与D分别相与，两者结果相或再求反。

（4）异或运算

异或运算表示的逻辑关系是：

当两个输入变量A、B取值相异时，输出为1；取值相同时，输出为0。

（5）同或运算

同或运算表示的逻辑关系是：

当两个输入变量A、B取值相同时，输出为1；取值相异时，输出为0。

异或运算和同或运算互为逆运算。

表1-5示出了以上几种常用复合函数的逻辑表达式、真值表和逻辑符号。

1.3逻辑代数的基本定律与规则

1．逻辑代数的基本定律（公式）

根据逻辑代数与、或、非三种基本逻辑运算，可以推导出逻辑代数的基本定律（公式）见表1-6，它们是进行逻辑函数化简及逻辑电路分析设计的数学基础。

表1-6逻辑代数的基本定律（公式）

名称

基本定律（公式）

01律

A+0=A

A+1=1

交换律

结合律

分配律

A+B=B+A

A+B+C=A+（B+C）

互补律

重合律

A+A=1

A+A=A

反演律

对合律

证明表1-6基本定律的正确性可用真值表。

例1-7用真值表证明基本公式

和

的正确性。

解：

用真值表证明基本公式的正确性，只要将变量取值的全部组合及对应的函数值列表，比较等式两边的函数值是否相等即可。

2．逻辑代数的基本规则

逻辑代数的基本规则有代入规则、反演规则和对偶规则。

（1）代入规则

代入规则：

在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的所有同一变量都用一个函数代替之，则等式依然成立。

利用代入规则可以把基本公式推广为多变量的形式。

例如，

，若用BC代替等式两边的B，则：

可写成

=A+B+C

（2）反演规则

反演规则：

对于任意一个函数Y，如果将式中所有的与、或运算对换，0、1对换，原变量、反变量对换，就得到函数Y的反函数`Y。

利用反演规则可以直接得到一个函数的反函数。

例如，

，利用反演规则可直接得到Y的反函数

。

在运用反演规则时需要注意以下几点：

运算顺序是先括号内，再括号外，先与后或。

不是一个变量上的求反运算保持不变。

原来的运算顺序应保持不变。

（3）对偶规则

对偶规则：

若两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

对于任意一个函数Y，如果将式中所有的与、或运算对换，0、1对换，就得到一个新的表达式Y’，Y和Y’互为对偶式。

例如，

，利用对偶规则可以得到Y的对偶式Y’=

。

例1-8求下列逻辑函数Y的对偶式Y’和反函数`Y。

Y1=A（B+C）+CD

解：

Y1’=（A+BC）（C+D）；`Y1=（`A+`BC）（`C+`D）；

Y2’=

；`Y2=

；

。

1.5.2逻辑函数表示方法之间的相互转换

给出逻辑函数的任何一种表示形式，都可以根据需要将其转换成其它的形式。

1.真值表转换成逻辑表达式

真值表转换成逻辑表达式的一般步骤如下：

（1）找出函数值为1的变量取值组合，如表1-8中的第k行和第l行。

（2）将这些变量取值组合分别写成乘积项：

变量取值为1的写成原变量、为0的写成反变量。

第k行可写成AB、第l行可写成AB。

（3）将各乘积项相加，即为表示该真值表功能的逻辑表达式Y=AB+AB。

2．逻辑表达式转换成真值表

逻辑表达式转换成真值表的方法是：

将每个输入变量可能出现的取值组合经过相应运算得到的函数值顺序列成表格即可。

式1-12的真值表如表1-8所示。

3．逻辑表达式转换成逻辑图

逻辑表达式转换成逻辑图的方法是：

用相应的逻辑符号依次连接即可。

根据式1-12画出的逻辑图如图1-6所示。

4．逻辑图转换成逻辑表达式

逻辑图转换成逻辑表达式的方法是：

按照信号流通方向逐级写出各输出端的表达式即可。

根据图1-6写出的逻辑表达式见式1-12。

在数字电路的分析中，一般是给定逻辑图，求电路的功能。

该过程常常遇到的变换是：

逻辑图（已知）逻辑表达式真值表说明功能

在数字电路的设计中，一般是给定逻辑功能，求实现该功能的逻辑电路。

该过程常常遇到的变换是：

逻辑功能（给定）真值表逻辑表达式逻辑图

。

1.7逻辑函数的卡诺图化简法

1.7.1最小项、最大项及其性质

1．最小项及其性质

在一个逻辑函数Y=f（A，B，C）中，如果一个乘积项含有全部的变量A、B、C，且每个变量在乘积项中以原变量或以反变量的形式仅出现一次，那么，称这个乘积项是函数Y的最小项。

n个变量可以组成2n个最小项。

三变量（A、B、C）逻辑函数的最小项最多有八个：

`ABC，ABC，ABC，ABC，ABC，ABC，ABC，ABC

当变量A、B、C取不同的数值时，三变量全部最小项的真值表见表1-9所示。

表1-9三变量全部最小项的真值表

最小项

变量取值

ABC

000

001

010

011

100

101

110

111

编号

由表1-9看出，最小项有如下性质：

（1）每个最小项只有一组变量取值使它的值为1。

如最小项ABC只有当ABC取值为001时，

最小项ABC的值为1，其它变量取值情况下，其值均为0。

（2）任意两个最小项的乘积为0。

（3）全部最小项之和为1。

（4）两个相邻的最小项之和可以合并成一项，并消去一对因子。

为了叙述方便，给每个最小项编上号，用mi表示（i=0~2n-1）。

例如，最小项`ABC值为1时对应各输入变量ABC为011，将011看作二进制数，它所表示的十进制数是3，最小项`ABC则记作m3，按照这一方法，得到三变量最小项的编号如表1-9所示。

任何一个逻辑函数都可以转换成最小项之和的形式，其方法是首先将任何形式的逻辑表达式转换成与或的形式，然后将不是最小项形式的乘积项利用配项[乘以（X+`X）]的方法补齐所缺的变量因子。

例1-10将逻辑函数Y=AC+BC+ABC展开成最小项之和的形式。

解：

Y是三变量的逻辑函数，因此有：

Y=AC+BC+ABC

=AC（B+B）+BC（A+A）+ABC

=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

2.最大项及其性质

在一个逻辑函数Y=f（A，B，C）中，如果一个或项含有全部的变量A、B、C，且每个变量在或项中以原变量或者以反变量的形式仅出现一次，那么，称这个或项是函数Y的最大项。

根据最大项的规则，n个变量可以组成2n个最大项。

三变量（A、B、C）逻辑函数的最大项最多有八个：

A+B+C，A+B+C，A+B+C，A+B+C，A+B+C，A+B+C，A+B+C，A+B+C

当变量A、B、C取不同的数值时，三变量全部最大项的真值表见表1-10所示。

表1-10三变量全部最大项的真值表

最大项

变量取值

ABC

A+B+C

000

001

010

011

100

101

110

111

编号

由表1-10看出，最大项有如下性质：

（1）每个最大项只有一组变量取值使它的值为0。

如最大项A+B+C只有当ABC取值为110时，它的函数值为0，其它取值情况下，函数值均为1。

（2）任意两个最大项之和为1。

（3）全部最大项之积为0。

（4）只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和。

为了叙述的方便，给每个最大项编上号，用Mi表示（i=0~2n1）。

它的编号原则是：

原变量用0表示、反变量用1表示，所对应的十进制数值作为最大项的编号。

例如，最大项（A+B+C）对应各输入变量ABC为101，为十进制数的5，记作M5，按照这一方法，得到三变量最大项的编号见表1-10所示。

1.7.2逻辑函数的卡诺图化简法

1.卡诺图

卡诺图是一种最小项方格图，每一个小方格对应一个最小项，n变量的逻辑函数有2n个最小项。

卡诺图中最小项的排列应遵循几何位置相邻的最小项同时符合逻辑相邻的原则，即几何位置相邻的两个最小项只允许一个变量的取值不同，其余取值均相同。

根据这一原则，可以画出二、三、四变量的卡诺图如图1-9所示。

（a）二变量（b）三变量（c）四变量

图1-9变量卡诺图

图1-9中，方格外标注的是变量和变量取值，图（a）纵列和横行各表示变量A和B，它们分别取值0和1，组成四种组合AB、AB、AB和AB；图（b）纵列表示变量A，取值为0和1两种情况，横行表示变量B、C，取值为00、01、11、10四种情况，组成八种组合；依此类推。

由图可以看出，任意两个几何位置相邻的最小项只有一个变量取值不同。

图（a）中，m0和m2对应的最小项分别为`AB和AB，仅A取值不同；图（b）中，m0和m2对应的最小项分别为

和

，仅B取值不同；图（c）中，m5、和m13对应的最小项分别为ABCD和ABCD，仅A取值不同。

利用卡诺图中最小项排列遵循了逻辑相邻的规律，只要将逻辑函数填入卡诺图，就可以很方便地找到相邻项，在卡诺图中直接对逻辑函数进行化简。

2．用卡诺图表示逻辑函数

任何逻辑函数都可以表示成最小项之和的形式。

因此，可以用卡诺图表示逻辑函数。

方法是将函数包含的最小项在卡诺图对应方格中填“1”，没有包含的最小项在卡诺图对应方格中填“0”或可不填。

给定一个逻辑函数，首先写出它的与或式：

乘积项是最小项形式的，可在卡诺图对应方格中直接填“1”，不是最小项形式的，可根据乘积项的因子确定它所包含的最小项，并在对应方格中填“1”。

例1-11用卡诺图表示下列逻辑函数

Y1=（A+B）（B+AC）

Y2=AD+ABD+ABC+ABD

解：

Y1不是与或形式，先将它转换成与或式

Y1=（A+B）（B+AC）=AB+AC+ABC。

三个乘积项中，仅ABC是最小项，对应方格m5处直接填1；将其余两项展开成最小项：

AB（C+C）=ABC（m7）+ABC（m6）

AC（B+B）=ABC（m7）+ABC（m5）

Y1=（A+B）（B+AC）的函数卡诺图如图1-10（a）所示。

Y2=AD+ABD+ABC+ABD。

四个乘积项中，没有最小项，在画函数卡诺图时，可直接根据乘积项因子来确定所它包含的最小项。

乘积项AD中A为原变量、D为反变量，在卡诺图中，A为原变量的最小项是第3、第4行，D为反变量的最小项是第1、第4列，它们相交对应的最小项是m8、m10、m12和m14，这四个最小项必然包含有B、C为原变量和反变量的全部组合，依此类推，Y2=AD+ABD+ABC+ABD的函数卡诺图如图1-10（b）所示。

（a）Y1函数卡诺图（b）Y2函数卡诺图

图1-10例1-11函数卡诺图

3．逻辑函数的卡诺图化简方法

逻辑函数的卡诺图化简法是利用逻辑相邻的最小项可以合并，消去不同的因子、保留相同因子，从而使逻辑函数得到最简的方法。

卡诺图化简逻辑函数的一般步骤是：

（1）根据变量数画出变量卡诺图。

（2）作出函数卡诺图。

（3）合并相邻项。

（4）写出最简与-或表达式。

为了得到最简逻辑表达式又不漏项，一般来说，在卡诺图中用划圈的方法合并最小项时要注意以下几点：

（1）合并最小项的个数必须符合2n个（n=0,1,2, ）。

（2）每个圈尽可能大，使化简后乘积项含因子最少。

（3）每个圈中至少有一个最小项仅被圈过这一次，以避免出现多余项。

（4）用最少的圈包含函数的全部最小项，使乘积项的个数最少又不漏项。

4．化简举例

例1-12用卡诺图化简

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