高二全国下寒假第02讲圆锥曲线之单动点问题知识复习Word下载.docx
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②相关点代入法
若所求轨迹的点P（x,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0,y0），可先列出关于x，y，x0，
y0的方程组，利用x，y表示出x0，y0，再把x，y表示的x0，y0代入到已知曲线方程即可得到动点P的轨迹方程．
2.圆锥曲线单动点常见思路
①抓住运动中的不变量，巧妙将“动”转化为“静”；
②常用方程法思想代换；
③区别于“双动点”“多动点”问题．
【题型1：
轨迹方程问题】
【例1】
（★☆☆☆☆
x2-y2=
点的圆．
）双曲线
124
，F1、F2为其左右焦点，C是以F2为圆心且过原
（1）求C的轨迹方程；
（2）动点P在C上运动，M满足F1M=2MP，求M的轨迹方程．
【课中测1】
点M为圆O:
x2+y2=4上的动点，点N（0,4），点P是线段MN的中点，则点P的轨迹方程为（）
A.（x-2）2+y2=1B.（x+2）2+y2=1
C.x2+（y-2）2=1D.x2+（y+2）2=1
【题型2：
范围问题】
【例2】
（★★☆☆☆）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x
2+y2=<
4
1）
上的动点，求△PAB面积的取值范围．
【题型3：
乘积定值问题】
2
【例3】
（★★★☆☆）已知椭圆C:
xy1（ab0）的离心率为
，A（a,0），B（0,b），
ab2
O（0,0），△OAB的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N．求证：
AN⋅BM
为定值．
【课中测2】
过y2=2px（p>
0）的焦点F的直线交抛物线于M，N两点，则1
+1为定值，这个
定值是（）
A.pB.2pC.
pD.2
2p
【题型4：
系数相关定值问题】
【例4】
（★★★☆☆）如图，A为椭圆x
a2
+=1（a>
b>
0）上一个动点，不重合的两条弦
b2
AB、AC分别过焦点F1、F2，当AC垂直于x轴时，恰好AF1:
AF2
（1）设a=kb，求k的值；
=3:
1．
（2）设AF1=λ1F1B，AF2=λ2F2C，试判断λ1+λ2是否为定值．若是，则求出该定值，若不是，请说明理由．
【题型5：
面积比例问题】
【例5】
（★★★☆☆）平面直角坐标系xOy中，椭圆C:
x
3，抛物线E：
x2=2y的焦点F是C的一个顶点．
y2
b21（ab0）的离心率是
（2）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，
B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（I）求证：
点M在定直线上；
（II）直线l与y轴交于点G，记△PFG的面积为S，△PDM的面积为S，求S1的最大
12
值及取得最大值时点P的坐标．
【课中测3】
已知抛物线C：
y2=2px（p>
0）的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，
FA为半径的圆交C的准线于B，D两点，且A，F，B三点共线，则直线AF的斜率为（）
A.
33
B.
2C.D.
【题型6：
定点问题】
【例6】
（★★★☆☆）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:
x2+2
=1上，过M作x轴的
垂线，垂足为N，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x=-3上，且OP⋅PQ=1．证明：
过点P且垂直于OQ的直线l过C
的左焦点F．
【题型7：
斜率相关定值问题】
x2y2
【例7】
（★★★★☆）椭圆C:
a2+b2=1（a>
0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率
为3，过F
1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2．设∠F1PF2的角平分线PM
交C的长轴于点M（m,0），求m的取值范围；
（3）在
（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共
点．设直线PF，PF的斜率分别为k，k．若k≠0，试证明1+1
为定值，并求出
1212
这个定值．
【课中测4】
kk1kk2
+
椭圆xy2
=1的左，右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点，若PF1⋅PF2<
0，
则点P的横坐标的取值范围是（）
A.⎛-
6,6⎫
⎡-
6,6⎤
ç
33⎪
⎢33⎥
⎝⎭⎢⎣⎥⎦
C.⎛-26,26⎫D.⎡-26,26⎤
【题型：
单动点之面积相关问题】
【例8】
（★★★☆☆）（2020新课标Ⅲ）已知椭圆C:
25
A、B分别为C的左、右顶点．
（1）求C的方程；
m21（0m5）的离心率为4，
（2）若点P在C上，点Q在直线x=6上，且BP=BQ，BP⊥BQ，求△APQ的面积．
专题一
专题二
圆锥曲线之单动点问题
专题三
专题四
专题二
专题三
专题四
思路
方法
备注
阿基米德公元前287年出生于意大利半岛南端西西里岛的叙拉古，父亲是位数学家兼天文学家。
阿基米德从小有良好的家庭教养，11岁就被送到当时希腊文化中心的亚历山大城区学习。
在这座号称“智慧之都”的名城里，阿基米德博览群书，涉取了许多知识。
并且做了欧几里得学生埃拉托塞和卡农的门生，钻研《几何原本》。
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