北师大版高中数学必修一学案第二章 5 简单的幂函数一Word下载.docx

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填写下表：

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x－1

定义域

值域

单调性

增

在[0，＋∞）上______，

在（－∞，0]上______

在（0，＋∞）上______，

在（－∞，0）上______

梳理　根据上表，可以归纳一般幂函数特征：

（1）所有的幂函数在（0，＋∞）上都有定义，并且图像都过点________；

（2）α>

0时，幂函数的图像通过________，并且在区间[0，＋∞）上是________函数．特别地，当α>

1时，幂函数的图像下凸；

当0<

α<

1时，幂函数的图像上凸；

（3）________时，幂函数的图像在区间（0，＋∞）上是减函数；

（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线y＝x对称；

（5）在第一象限，作直线x＝a（a>

1），它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从________到________的顺序排列．

类型一　幂函数的概念

例1　已知y＝（m2＋2m－2）

＋2n－3是幂函数，求m，n的值．

反思与感悟　只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：

y＝3x2，y＝（2x）3，y＝

4都不是幂函数．

跟踪训练1　在函数y＝

，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

类型二　幂函数的图像及应用

例2　若点（

，2）在幂函数f（x）的图像上，点（2，

）在幂函数g（x）的图像上，问当x为何值时，

（1）f（x）>

g（x）；

（2）f（x）＝g（x）；

（3）f（x）<

g（x）．

反思与感悟　幂函数由于指数α的不同，它们的定义域也不同，性质也不同，幂函数的图像主要分0<

1，α>

1和α<

0三种情况讨论．

跟踪训练2　幂函数y＝xα（α≠0），当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一簇美丽的曲线（如图）．设点A（1,0），B（0,1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA.那么αβ等于（　　）

A．1B．2

C．3D．无法确定

类型三　幂函数性质

例3　探讨函数f（x）＝

的单调性．

反思与感悟　研究函数单调性要先研究函数定义域．幂函数的定义域主要受两个因素影响：

偶次根式被开方数不小于零；

分式的分母不为零．

跟踪训练3　已知幂函数f（x）＝

（m∈N＋）．

试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性．

例4　

（1）比较

，

的大小．

（2）若（a＋1）

<

（3－2a）

，则a的取值范围是________．

反思与感悟　应用幂函数性质比大小解不等式，首先是根据研究目标的特征构造幂函数，其次是根据所构造的幂函数性质如定义域、单调性来解决问题．

跟踪训练4　

（1）比较

（2）若幂函数f（x）＝

（m∈N＋）过（2，

），解不等式f（2－a）>

f（a－1）．

1．已知幂函数f（x）＝k·

xα的图像过点

，则k＋α等于（　　）

A.

B．1C.

D．2

2．已知幂函数f（x）的图像经过点（2，

），则f（4）的值等于（　　）

A．16B.

C．2D.

3．设α∈{－1,1，

，3}，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（　　）

A．1,3B．－1,1C．－1,3D．－1,1,3

4．下列是

的图像的是（　　）

5．以下结论正确的是（　　）

A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线

B．幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点

C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大

D．幂函数的图像不可能在第四象限，但可能在第二象限

1．幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准．

2．幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：

（1）α>

0时，图像过（0,0），（1,1）在第一象限的图像上升；

0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．

（2）曲线在第一象限的凹凸性：

α>

1时，曲线下凸；

0<

1时，曲线上凸；

0时，曲线下凸．

3．在具体应用时，不一定是y＝xα，α＝－1，

，1,2,3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　底数为x，指数为常数．

知识点二

思考　R　R　R　[0，＋∞）　{x|x≠0}

R　[0，＋∞）　R　[0，＋∞）　{y|y≠0}

增加　减少　增　增　减少　减少

梳理　

（1）（1,1）　

（2）原点　增

（3）α<

0　（5）小　大

题型探究

例1　解　由题意得

解得

所以m＝－3或1，n＝

.

跟踪训练1　B　[因为y＝

＝x－2，

所以是幂函数；

y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；

y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；

y＝1＝x0（x≠0），可以看出，常函数y＝1的图像比幂函数y＝x0的图像多了一个点（0,1）,所以常函数y＝1不是幂函数．]

例2　解　设f（x）＝xα，因为点（

，2）在幂函数f（x）的图像上，所以将点（

，2）代入f（x）＝xα中，得2＝（

）α，解得α＝2，则f（x）＝x2.

同理可求得g（x）＝x－2.

在同一坐标系内作出函数f（x）＝x2和g（x）＝x－2的图像（如图所示），观察图像可得：

（1）当x>

1或x<

－1时，f（x）>

（2）当x＝1或x＝－1时，f（x）＝g（x）；

（3）当－1<

x<

1且x≠0时，f（x）<