中考总复习圆的切线专题0131171549文档格式.docx

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•/DCQ=ZBCO=30°

•/DCQ=ZQ.

故厶CDQ是等腰三角形.

（2）设OO的半径为1,则AB=2,OC=1,BC=3.

•••等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，

•CQ=CB=

AQ=AC+CQ=1+3.

•••AP=2aq=字’

•BP:

PO=3.

3.（2016柳州）如图，AB为厶ABC外接圆OO的直径，点P是线段CA的延长线上一点点E在弧上且满足PE=PA-PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.

△PAEs^PEC;

⑵求证：

PE为OO的切线；

1

⑶若/B=30°

AP=2AC,求证：

DO=DP.

（1）•/PE2=PA-PC,

•PE=PAPC=PE.

又•••/APE=ZEPC,

•△PAEs^PEC.

⑵•/△PAEPEC,PEA=ZPCE.

•••/PCE=孑/AOE,

/ODF=ZPDE,

/OFD=ZPED,

OF=PE,

•••△ODF◎△PDE.•••DO=DP.

类型2与相似三角形有关

4.（2016泰州）如图，在厶ABC中，/ACB=90°

，在D为AB上一点，以CD为直径的OO交BC于点E,连接AE交CD于点P,交OO于点F，连接DF,/CAE=ZADF.

（1）判断AB与OO的位置关系，并说明理由；

⑵若PF:

PC=1:

2,AF=5,求CP的长.

（1）AB是OO切线.

理由：

•••/ACB=90°

•••/CAE+ZCEA=90°

•••/CAE=ZADF,/CDF=ZCEA,

•••/ADF+ZCDF=90°

•AB是OO切线.

⑵连接CF.

/PCF+ZCDF=90°

•••/ADF=ZPCF.

•••/PCF=ZPAC.

又•••/CPF=ZAPC,

PC2=PFPA.设PF=a,贝UPC=2a.

•4a2=a（a+5）.

•a=3.

PC=2a=隊

5.（2015北海）如图，AB,CD为OO的直径，弦AE//CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使/PED=ZC.

PE是OO的切线；

ED平分/BEP;

⑶若OO的半径为5,CF=2EF,求PD的长.

连接0E.

•「CD是圆0的直径，

•••/CED=90°

•/0C=0E,

•••/C=ZOEC.

又•••/PED=ZC,

•••/PED=ZOEC.

•••/PED+ZOED=ZOEC+ZOED=90°

即/OEP=90°

•••OE丄EP.

又「•点E在圆上，

•PE是OO的切线.

（2）证明：

TAB,CD为OO的直径，

•••/AEB=ZCED=90°

•••/AEC=ZDEB（同角的余角相等）.

又•••/PED=ZC,AE//CD,

•••/PED=ZDEB,

即ED平分/BEP.

⑶设EF=x,则CF=2x.

TOO的半径为5,

•OF=2x—5.

在RtAOEF中,OE2=EF2+OF2,即52=x2+（2x—5）2,解得x=4,

•EF=4.

•BE=2EF=8,CF=2EF=8.

•DF=CD—CF=10—8=2.

•/AB为OO的直径，

•••/AEB=90°

•/AB=10,BE=8,

•AE=6.

•••/BEP=ZA,/EFP=ZAEB=90°

•△EFPs^AEB.

•在=圧即疋=4

BEAE'

86'

PF=

1610

PD=PF—DF=—2='

33'

6.（2014桂林）如图，△ABC为OO的内接三角形，P为BC延长线上一点，/PAC=ZB,AD为OO的直径，过点C作CG丄AD于点E,交AB于点F,交OO于点G.

（1）判断直线PA与OO的位置关系，并说明理由；

（2）求证：

AG2=AF・AB;

⑶若OO的直径为10,AC=2'

5,AB=4,；

5,求厶AFG的面积.

（1）PA与OO相切.

连接CD.

•/AD为OO的直径，•••/ACD=90°

••••/D+ZCAD=90°

•••/B=ZD,/PAC=ZB,

•••/PAC=ZD.

•••/PAC+ZCAD=90°

即DA丄PA.•••点A在圆上，•PA与OO相切.⑵证明：

连接BG.

•/AD为OO的直径，CG丄AD,

Ac=AG.azagf=zabg.

•/ZGAF=ZBAG,AGFABG.

•AG:

AB=AF:

AG.「.AG2=AF-AB.

⑶连接BD.

•/AD是直径，•••/ABD=90°

AB=45,

•/AG2=AF-AB,AG=AC=2：

5,

•AF

•/CG丄AD,•••/AEF=ZABD=90°

./ZEAF=ZBAD,AEFABD.

•AB=AD，即4aE5=谥，解得AE=2.EF=:

'

AF2—Ae^=1.

•/EG=；

AG2—AE2=4,

•FG=EG—EF=4—1=3.

•Saafg=2fg-AE=2X3X2=3.

类型3与锐角三角函数有关

7.（2014梧州）如图，已知OO是以BC为直径的厶ABC的外接圆，OP//AC,且与BC的垂线交于点P,OP交AB于点D,BC,PA的延长线交于点E.

PA是OO的切线；

3

⑵若sinZE=5,PA=6,求AC的长.

连接OA.

•/AC//OP,•••/AOP=ZOAC,/BOP=ZOCA.

•/OA=OC,OCA=ZOAC.AOP=ZBOP.

又•••OA=OB,OP=OP,

•△AOP◎△BOP.aZOAP=ZOBP.

•/BP丄CB,OAP=ZOBP=90°

.•OA丄PA.

•PA是OO的切线.

⑵•/PB丄CB,•PB是OO的切线.

又•••PA是OO的切线，

PA=PB=6.

在RtAOPB中，OP=;

62+32=3.'

5.

•/BC为OO直径，CAB=90°

•••/CAB=ZOBP=90°

/OCA=ZBOP.ACcb

•△ACBBOP..••今=乎

BOOP'

•AC=CB・BO—坐=口

■-AC=OP=3.5=5.

&

（2015来宾）已知OO是以AB为直径的厶ABC的外接圆，OD//BC交OO于点D,交AC于点E,连接AD,BD,BD交AC于点F.

BD平分/ABC;

⑵延长AC到点P,使PF=PB,求证：

PB是OO的切线；

3亠

（3）如果AB=10,cos/ABC=5,求AD.

（1）证明：

TOD//BC,

ODB=/CBD.

•/OB=OD,

OBD=/ODB.

CBD=/OBD.

•BD平分/ABC.

TOO是以AB为直径的厶ABC的外接圆，

.•••/CFB+ZCBF=90°

•/PF=PB,PBF=ZCFB.

由

（1）知/OBD=ZCBF,

•••/PBF+ZOBD=90°

••••/OBP=90°

•PB是OO的切线.

（3）•••在RtAABC中，/ACB=90°

AB=10,

•cos/ABC=-BC=BC=3

AB105'

•BC=6,AC=.'

AB2-BC2=8.

•/OD//BC,

•△AOEABC,/AED=/OEC=180°

-/ACB=90

•AE_OE_AOAE_OE__5_

…AC=BC=AB，8=6=10.

•AE=4,OE=3.

•DE=OD—OE=5-3=2.

•AD='

AE2+DE2=/42+22=25.

9.（2016柳州模拟）如图，已知：

AC是OO的直径，PA丄AC,连接OP,弦CB//OP,直线PB交直线AC于点D,BD=2PA.

直线PB是OO的切线；

（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明;

⑶求sin/OPA的值.

连接OB.

•/BC//OP,OB=OC,

•/BCO=/POA,

/CBO=/POB,/BCO=/CBO.

•/POA=/POB.又TPO=PO,OB=OA,

•△POB◎△POA.•/PBO=/PAO=90°

（2）2PO=3BC.（写PO=|bC亦可）

•••△POB◎△POA,•PB=PA.

•/BD=2PA,•BD=2PB.

•/BC//PO,•△DBCDPO.

.DCBD22

••DO=PD=3，即DC=3OD.

•••OC=3OD.•••DC=2OC.

设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y.

在RtAOBD中，由勾股定理得（3x）2=x2+（2y）2,即2x2=y2.

■/x>

0,y>

0,•y=2x,OP='

x2+y2=；

3x.

类型4与特殊四边形有关

10.（2016玉林）如图，AB是OO的直径，点C,D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作OO的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E,F，连接BF.

BF是OO的切线；

⑵已知圆的半径为1,求EF的长.

连接OD.

•/EF为OO的切线，

•••/ODF=90°

•••四边形AOCD为平行四边形，

•AO=DC,AO//DC.

又•••DO=OC=OA,

DO=OC=DC.

•△DOC为等边三角形.

•••/DOC=ZODC=60°

•/DC//AO,

•••/AOD=ZODC=60°

•••/BOF=180°

-ZCOD-ZAOD=60°

在厶DOF和厶BCF中，

DO=BO,

ZDOF=ZBOF,

OF=OF,

•••△DOF◎△BOF.

•ZODF=ZOBF=90°

•BF是OO的切线.

⑵tZDOF=60°

ZODF=90°

•ZOFD=30°

tZBOF=60°

ZBOF=ZCFD+ZE,

•••/E=ZOFD=30°

•••OF=OE.

又•••OD丄EF,

•DE=DF.

在RtAODF中，/OFD=30°

•OF=2OD.

DF=,'

OF2-OD2='

22-12=3

EF=2DF=2.3.

11.（2016宁波）如图，已知OO的直径AB=10,弦AC=6,/BAC的平分线交OO于点D,过点D作DE丄AC交AC的延长线于点E.

DE是OO的切线；

⑵求DE的长.

•/AD平分/BAC,

•••/DAE=ZDAB.

•/OA=OD,

•/ODA=ZDAO.

•/ODA=ZDAE.

•OD//AE.

•/DE丄AC,

•OD丄DE.

•DE是OO切线.

⑵过点O作OF丄AC于点F.

•AF=CF=3.

•OF=OA2-AF2=52-32=4.

•••/OFE=ZDEF=ZODE=90°

•四边形OFED是矩形.

•DE=OF=4.

12.（2015桂林）如图，四边形ABCD是OO的内接正方形，AB=4,PC,PD是OO的两条切线，C,D为切点.

（1）如图1,求OO的半径；

⑵如图1,若点E是BC的中点，连接PE,求PE的长度；

⑶如图2,若点M是BC边上任意一点（不含B,C），以点M为直角顶点，在BC的上方作/AMN=90°

交直线CP于点N,求证：

AM=MN.

⑴连接0D,OC.

•••PC,PD是OO的两条切线，C,D为切点，

•••/ODP=ZOCP=90°

•••四边形ABCD是OO的内接正方形，

•••/DOC=90°

OD=OC.

•四边形DOCP是正方形.

•/AB=4,/ODC=ZOCD=45°

DO=CO=DC-sin45°

=4^22=22.

⑵连接EO,OP.

•••点E是BC的中点，

•••OE丄BC,/OCE=45°

则/EOP=90°

•EO=EC=2,OP=■2CO=4.

•PE=OE2+OP2=25.

⑶证明：

在AB上截取BF=BM.

•/AB=BC,BF=BM,

•AF=MC,/BFM=ZBMF=45°

•••/AMN=90°

•/AMF+ZNMC=45°

/FAM+ZAMF=45

•/FAM=ZNMC.

•••由⑴得PD=PC,/DPC=90°

.•./DCP=45°

•/MCN=135°

•••/AFM=180°

-ZBFM=135°

/FAM=ZCMN,

在厶AFM和厶MCN中，AF=MC,

ZAFM=ZMCN,

•△AFM◎△MCN（ASA）.

•AM=MN.