高考第二轮复习理数专题六 三角函数Word文件下载.docx
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∴cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－＝－.
当k<
0时，r＝－k，
∴sinθ＝－＝－，
cosθ＝－＝－.
综上可得，cos2θ＝－，故选B.
方法二（优法）：
因为该直线的斜率是k＝2＝tanθ，所以cos2θ＝＝＝－.
4．（2012·
江西，4，易）若tanθ＋＝4，则sin2θ＝（ ）
A.B.
4．D [考向2]因为tanθ＋＝＋＝＝＝4.所以sin2θ＝.
5．（2015·
重庆，9，中）若tanα＝2tan，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．C [考向2]原式
＝
＝＝3.
思路点拨：
先利用诱导公式将欲求值式子的分子、分母中的角转化为已知条件中的角，再利用同角三角函数基本式变形，最后代入求值即得．
高考对三角函数定义的考查多以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下，分值为5分．题目中含有“角的终边上某点的坐标”“角的终边与单位圆的交点坐标”等已知信息时，一般要利用三角函数的定义求解．
1
（1）（2016·
山东泰安质检，6）若点A（m，n）是240°
角的终边上的一点（与原点不重合），那么的值等于（ ）
A.B．－C．2D．－2
（2）（2016·
江西八校联考，15）
如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α.若|BC|＝1，则cos2－sincos－的值为________．
【解析】
（1）由三角函数的定义知tan240°
＝，即
＝，
于是＝＝＝－.
（2）由题意得|OB|＝|BC|＝1，从而△OBC为等边三角形，
∴sin∠AOB＝sin＝.
∴cos2－sincos－＝·
－－＝－sinα＋·
cosα＝sin＝sin＝sin＝.
【答案】
（1）B
（2）
解题
（1）时要熟记正切函数的定义并注意对所求式子的恒等变形；
解题
（2）时应先对所求式子进行化简，然后与已知条件中的角联系，借助三角函数定义求解．
1.（2016·
山东枣庄二模，4）若函数f（x）＝ax＋1－3（a>
0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ的值等于（ ）
A．2B.C．－2D．－
1．A 由于f（－1）＝－2，
所以点P（－1，－2），于是tanθ＝＝2.
2．（2012·
山东，16）如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P的位置在（0，0），圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于（2，1）时，的坐标为________．
2．【解析】 如图，由题意知＝OB＝2.
∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，
故∠DAP＝2－，
∴DA＝APcos＝sin2，DP＝APsin＝－cos2.
∴OC＝2－sin2，PC＝1－cos2.
∴＝（2－sin2，1－cos2）．
【答案】 （2－sin2，1－cos2）,
利用三角函数定义解题的基本类型及方法
（1）已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值，先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．
（2）已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值，可直接根据三角线求解．
（3）已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值，先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．
（4）判断三角函数值的符号问题，先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．
同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础，多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，难度中低档．
复习时，首先要熟记公式及其变形，其次要注意总结常见的题型分类，掌握其相应的解题方法及步骤．
2
（1）（2016·
辽宁沈阳二模，7）已知sin－sinθ＝，则
coscosθ的值为（ ）
A．－B.C．－D.
陕西宝鸡质检，8）若tanα＝2，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝（ ）
A．2B.C．－D．1
（3）（2013·
课标Ⅱ，15）设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.
【解析】
（1）由已知得－cosθ－sinθ＝，即sinθ＋cosθ＝－，
两边平方得1＋2sinθcosθ＝，于是sinθcosθ＝－.
故coscosθ＝－sinθcosθ＝.
（2）4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝
＝＝＝1.
（3）由tan＝，得＝，解得tanθ＝－，
则cosθ＝－3sinθ.
由sin2θ＋cos2θ＝1，得10sin2θ＝1.
∵θ为第二象限角，
∴sinθ＝，cosθ＝－，
∴sinθ＋cosθ＝－.
【答案】
（1）D
（2）D （3）－
山师附中三模，4）若z＝sinθ－＋i是纯虚数，则tan（θ－π）的值为（ ）
A.B.C．－D．－
1．C ∵z＝sinθ－＋i是纯虚数，
∴sinθ－＝0，且cosθ－≠0，
即sinθ＝且cosθ≠，
即cosθ＝－，则tanθ＝＝－，
则tan（θ－π）＝tanθ＝－.
2．（2015·
山东威海一模，11）已知α∈（π，2π），且cosα＝－，则tan2α＝________.
2．【解析】 因为α∈（π，2π），cosα＝－，
所以sinα＝－＝－，
tanα＝＝2，
故tan2α＝＝＝－.
【答案】 －,
利用同角三角函数基本关系式解题的类型及方法
（1）已知sinα（或cosα）的值，求cosα（或sinα）、tanα的值时，先利用平方关系sin2α＋cos2α＝1，再利用商数关系tanα＝，其中利用平方关系进行开方时要注意根据角所在的象限选择恰当的符号．
（2）已知tanα的值，求sinα和cosα的值时，通常利用两个基本关系式建立方程组求解．
（3）已知tanθ＝t，求形如齐次式
①，
②
和asin2θ＋bcos2θ ③的值时，可以令①中的分子、分母同时除以cosθ，得到＝；
令②中的分子、分母同时除以cos2θ，得到＝；
对③，可以先把分母看作1＝sin2θ＋cos2θ，得到，然后再给此式中的分子、分母同时除以cos2θ，得到＝.
（4）sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ三个式子中，知其任何一个的值，可求另外两个的值．
诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用，较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查，难度较小，为中低档题目，以客观题的形式出现，分值为5分．
3
（1）（2014·
安徽，6）设函数f（x）（x∈R）满足f（x＋π）＝f（x）＋sinx．当0≤x<
π时，f（x）＝0，则f＝（ ）
A.B.C．0D．－
河南平顶山模拟，13）若sin＝，则cos＝________.
【解析】
（1）由已知，得f＝f＋sin
＝f＋sin＋sin＝f＋sin＋sin＋sin
＝f＋sin＋sin＋sin
＝0＋＋＋＝.
（2）方法一：
由sin＝得sin＝－.
而cos＝－cos＝－cos＝sin＝－.
方法二：
cos＝cos＝cos＝cos
＝sin＝sin＝－sin＝－.
【答案】
（1）A
（2）－,
应用诱导公式的思路与技巧
（1）使用诱导公式的一般思路
①化大角为小角．
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
（2）常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：
－α与＋α；
＋α与－α；
＋α与－α等．
②常见的互补的角：
＋θ与－θ；
＋θ与－θ等．
（3）三角函数式化简的方向
①切化弦，统一名．
②用诱导公式，统一角．
③用因式分解将式子变形，化为最简．
]
1．（2016·
福建漳州二模，3）已知sin＝，则cos（π－2α）＝（ ）
A.B．－
C.D．－
1．A [考向3]∵sin＝cosα＝，
∴cos（π－2α）＝－cos2α＝1－2cos2α＝1－2×
＝.
2．（2016·
河南洛阳一模，6）已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋（－1）x＋m＝0（m∈R）的两根，则sinθ－cosθ等于（ ）
2．A [考向2]由题意可得，
sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝，
可得（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，
即＝1＋m，
即m＝－.
∵θ为第二象限角，∴sinθ>
0，cosθ<
0，
即sinθ－cosθ>
∵（sinθ－cosθ）2
＝（sinθ＋cosθ）2－4sinθcosθ
＝－2m＝1－＋＝，
∴sinθ－cosθ＝＝.
3．（2015·
河南三市三模，8）已知角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P，则角α的最小正值为（ ）
3．D [考向1]角α的终边与以坐标原点为圆心，以1为半径的圆交于点P，即，
对应点为.
故角α的最小正值为.
4．（2015·
江西南昌质检，7）如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，－），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（ ）
4．C [考向1]∵P0（，－），
∴∠P0Ox＝－.
∵角速度为1，
∴按逆时针旋转时间t后，得∠POP0＝t，∴∠POx＝t－.
由三角函数定义，知点P的纵坐标为2sin，
因此d＝2.
令t＝0，则d＝2＝，
当t＝时，d＝0，故选C.
解题的关键是结合圆周运动，准确理解题意，根据三角函数定义，表示出d＝2.
5．（2016·
广东佛山质检，13）已知cos＝－，且角α的终边上有一点（2，n），则n的值等于________．
5．[考向1]【解析】 由已知得sinα＝，
所以＝，故n＝2.
【答案】 2
6．（2016·
江苏泰州二模，5）已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P，则sin＝________.
6．[考向1，3]【解析】 由已知得cosα＝，
所以sin＝cos2α＝2cos2α－1＝2×
－1＝－.
【答案】 －
7．（2015·
福建泉州质检，11）已知－<
x<
0，sinx＋cosx＝，则sinx－cosx＝________.
7．[考向2]【解析】 将等式sinx＋cosx＝两边平方，得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，即2sinxcosx＝－，
∴（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx＝.
又－<
0，∴sinx<
0，cosx>
∴sinx－cosx<
故sinx－cosx＝－.
四川，3，易）为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin2x的图象上所有的点（ ）
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
1．D [考向2]∵y＝sin＝
sin2，∴需要将y＝sin2x的图象向右平行移动个单位长度．
课标Ⅱ，7，中）若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A．x＝－（k∈Z）B．x＝＋（k∈Z）
C．x＝－（k∈Z）D．x＝＋（k∈Z）
2．B [考向2]y＝2sin2xy＝2sin.
令2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z）．
3．（2016·
北京，7，中）将函数y＝sin图象上的点P向左平移s（s>
0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y＝sin2x的图象上，则（ ）
A．t＝，s的最小值为B．t＝，s的最小值为
C．t＝，s的最小值为D．t＝，s的最小值为
3．A [考向2]由已知得，t＝sin
＝sin＝，即P，向左平移s（s＞0）个单位长度得P′.
因为点P′位于y＝sin2x的图象上，
所以＝sin2，即cos2s＝.
所以2s＝2kπ±
（k∈Z），
即s＝kπ±
（k∈Z）．
又s＞0，所以smin＝.
故选A.
山东，3，易）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin4x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
4．B [考向2]∵y＝sin
＝sin，
∴只需将y＝sin4x的图象向右平移个单位，即可得y＝sin的图象．
陕西，3，易）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深（单位：
m）的最大值为（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．C [考向1]由题意可得当sin取最小值－1时，函数取最小值ymin＝
－3＋k＝2，解得k＝5，
∴y＝3sin＋5，
∴当sin取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8.
6．（2013·
四川，5，易）函数y＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（ ）
A．2，－
B．2，－
C．4，－
D．4，
6．A [考向1]由T＝＋＝得
T＝π，
∴＝π，即ω＝2.
又图象过点，
则2sin＝2，
∴2×
＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.
∵－<
φ<
，
∴φ＝－.
课标Ⅰ，8，中）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
7．D [考向1]方法一：
由图象可知，
T＝2×
＝2，
∴ω＝＝π，即f（x）＝cos（πx＋φ）．由“五点法”作图可知，＋φ＝，
∴φ＝.
即f（x）＝cos.
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π（k∈Z），得
2k－＜x＜2k＋（k∈Z），即f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．
由图象可知，该函数周期T＝2×
而为函数的一个零点，所以左侧的最大值点为，即，
右侧的最小值点为，即，
由此可得函数的一个单调递减区间为.
又周期为2，故f（x）的单调递减区间为（k∈Z）．
8．（2014·
江苏，5，易）已知函数y＝cosx与y＝sin（2x＋φ）（0≤φ<
π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是________．
8．[考向1]【解析】 由题意知cos＝sin，即sin＝，所以＋φ＝＋2kπ或＋φ＝＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－＋2kπ或φ＝＋2kπ，k∈Z.因为0≤φ<
π，所以φ＝.
【答案】
9．（2014·
山东，16，12分，中）已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·
b，且y＝f（x）的图象过点和点.
（1）求m，n的值；
（2）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0<
π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调递增区间．
9．[考向2]解：
（1）由题意知f（x）＝a·
b＝msin2x＋ncos2x.
因为y＝f（x）的图象过点和点，
所以
即
解得m＝，n＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝sin2x＋cos2x
＝2sin.
由题意知g（x）＝f（x＋φ）＝2sin.
设y＝g（x）的图象上符合题意的最高点为（x0，2）．
由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，
即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．
将其代入y＝g（x）得sin＝1.
因为0<
因此g（x）＝2sin＝2cos2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z
得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g（x）的单调递增区间为，k∈Z.
根据三角函数的图象求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面，主要有以下几个命题角度：
（1）由图象求解析式；
（2）由图象求解析式中参数的值；
（3）由图象解决相关的求值问题等．考题多以选择题、填空题的形式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中低档，分值为5分．
河南郑州一模，8）如图，函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），M（2，－2）为线段QR的中点，则A的值为（ ）
A．2B.C.D．4
（2）（2015·
山东莱芜质检，12）如图是函数y＝f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋2（A>
0，ω>
|φ|<
π）的图象的一部分，则函数f（x）的解析式为__________________．
【解析】
（1）由于M（2，－2）是QR的中点，且Q，R分别在x轴和y轴上，
所以Q（4，0），R（0，－4）．
因此函数f（x）的周期T＝2×
（4－1）＝6，
所以＝6，则ω＝.
又由图象知f＝A，即Asin＝A，
所以sin＝1.而|φ|≤，
所以φ＝－，于是f（x）＝Asin.
又因为f（0）＝－4，所以Asin＝－4，
解得A＝，故选C.
（2）由图象知，A＝＝1，＝－＝，则T＝，ω＝，由×
＋φ＝＋2kπ，k∈Z，得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|<
π，∴φ＝－.
∴f（x）＝sin＋2.
【答案】
（1）C
（2）f（x）＝sin＋2
解题
（2）时，要注意已知条件中给定的“|φ|<
π”的限制，否则，在得到φ＝－＋2kπ（k∈Z）后，容易出现φ＝－＋2π＝的错误．
江西八校联考，7）函数f（x）＝Asinωx（A>
0）的部分图象如图所示，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2016）的值为（ ）
A．0B．3C．6D．－
（1）M为QR中点得Q，R的坐标―→求f（x）的周期T及ω的值
得φ的值
得参数A的值．
（2）由图象最高点、最低点的纵坐标―→参数A的值―→由最高点、最低点的横坐标―→周期T及ω的值φ的值―→解析式．
1．A 由图可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝，∴f（x）＝2sinx，
∴f
（1）＝，f
（2）＝2，f（3）＝，f（4）＝0，f（5）＝－，f（6）＝－2，f（7）＝－，f（8）＝0，
而2016＝8×
252，
∴f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2016）＝0.
2．（2011·
辽宁，12）已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图，则f＝（ ）
A．2＋B.C.D．2－
2．B 由图象可知，T＝2＝，
∴ω＝2，
＋φ＝＋kπ，k∈Z.
又|φ|<
，∴φ＝.
又f（0）＝1，∴Atan＝1，
∴A＝1，∴f（x）＝tan，
∴f＝tan＝tan＝，故选B.,
根据图象求解析式
y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>
0）的方法
（1）在一个周期内（或者从最高点到相邻的最低点，即半个周期内），若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝.特别地，当k＝0时，A＝M＝－m.
（2）ω由周期T确定，即由＝T求出．常用的确定T值的方法如下：
①曲线与x轴的相邻两个交点之间的距离为；
②最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为；
③相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T；
④有时还可以从图中读出或者是的长度来确定ω.
（3）φ的求法通常有以下两种：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时，A，ω，B已知），或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间还是下降区间）．
②五点法：
确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：
“第一点”（即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点）为ωx＋φ＝0；
“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；
“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；
“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
三角函数图象的变换及其应用是高考的常考点，考查角度有以下几个方面：
（1）求已知函数经过怎样的平移或伸缩得到另一函数；
（2）求已知函数经过给定的平移或伸缩后所得函数的解析式；
（3）与其他三角函数内容相结合的问题．有关图象变换的考题，难度一般为中档题，分值为5分左右．
2
（1）（2014·
浙江，4）为了得到函数y＝sin3x＋cos3x的图象，可以将函数y＝cos3x的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向左平移个单位
湖南，9）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝（ ）
A.B.C.D.
【解析】
（1）由于y＝sin3x＋cos3x＝cos＝cos，
因此将函数y＝cos3x的图象向右平移个单位即可得到y＝sin3x＋cos3x的图象．
由题意知，
g（x）＝sin[2（x－φ）]＝sin（2x－2φ）．
若满足|f（x1）－g（x2）|＝2，
不妨设f（x1）＝1，g（x2）＝－1，
即2x1＝＋2kπ，x1＝＋kπ，2x2－2φ＝－＋2mπ，x2＝－＋φ＋mπ（k，m∈Z）．
|x1－x2|min＝＝，φ∈，则φ＝.
依题意得g（x）＝sin2（x－φ）＝sin（2x－2φ）．
由于对满足|f（x1）－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝.
不妨取x1＝，x2＝，
则g（x）在x2＝取得最小值，
即sin＝－1，此时φ＝－，不合题意；
取x1＝，x2＝，则g（x）在x2＝取得最大值，
即sin＝1，此时φ＝，满足题意，故选D.
【答案】
（1）C
（2）D
解题
（2）关键是由条件推出f（
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