空间几何体的平行于垂直Word文件下载.docx

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平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．

（1）求证：

BD⊥平面PAC；

（2）若∠ABC=60°

，求证：

平面PAB⊥平面PAE；

（3）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？

说明理由．

6、【优质试题高考天津卷文数】如图，在四棱锥

中，底面

为平行四边形，

为等边三角形，平面

平面

，

.

（1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：

；

（2）求证：

（3）求直线AD与平面

所成角的正弦值.

1、平行问题

1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法

（1）定义法；

（2）判定定理；

（3）面与面平行的性质.

3.平面与平面平行的主要判定方法

（1）面面平行的定义；

（2）面面平行的判定定理：

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；

（5）利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

失误与防范

1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.

2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；

而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.

3.解题中注意符号语言的规范应用.

（1）线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

（2）线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；

证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

（3）证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

二、垂直问题

1.证明线面垂直的方法

（1）线面垂直的定义：

a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α；

（2）判定定理1：

⇒l⊥α；

（3）判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

（4）面面平行的性质：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

（5）面面垂直的性质：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

2.证明线线垂直的方法

（1）定义：

两条直线所成的角为90°

（2）平面几何中证明线线垂直的方法；

（3）线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

（4）线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

3.证明面面垂直的方法

（1）利用定义：

两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

（2）判定定理：

a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

4.转化思想：

垂直关系的转化

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；

②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；

③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

④面面垂直的性质.

（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.

（3）线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.

（4）判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.

（5）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.

垂直关系综合题的类型及解法

①三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.

②垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.

③垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.

三、解决立体几何中的探索性问题的步骤：

第一步：

写出探求的最后结论.

第二步：

证明探求结论的正确性.

第三步：

给出明确答案.

第四步：

反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.

温馨提醒　

（1）立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.

（2）这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：

从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.

四、证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系.证明线线平行的方法：

（1）线面平行的性质定理；

（2）三角形中位线法；

（3）平行四边形法.证明线线垂直的常用方法：

（1）等腰三角形三线合一；

（2）勾股定理逆定理；

（3）线面垂直的性质定理；

（4）菱形对角线互相垂直.

五、垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

证明线面平行时，先直观判断平面内是否存在一条直线和已知直线平行，若找不到这样的直线，可以考虑通过面面平行来推导线面平行，应用线面平行性质的关键是如何确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线．在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．

题型一、线线与线面的平行于垂直

线线与线面的平行于垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直（平行）、线面垂直（平行）、面面垂直（平行）这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决

例1、（优质试题南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点．已知侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，DA＝DP.

（1）MN∥平面PBC；

MD⊥平面PAB.

例2、（2020年南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．

（1）DE∥平面ACC1A1；

（2）AE⊥平面BCC1B1.

题型二平面与平面的平行与垂直

熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意条件。

例3、（优质试题泰州期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点．已知PA⊥AB，PA⊥AD.

（1）直线PB∥平面OEF；

（2）平面OEF⊥平面ABCD.

例4、（优质试题苏州期末）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．

（1）求证：

平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求证：

C1F∥平面ABE.

题型三题型一、线线、线面与面面的综合问题

（1）立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.

例5、（优质试题泰州期末）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，

AC，BC，PB的中点.

DE∥平面BCP；

四边形DEFG为矩形；

（3）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？

说明理由.

例6、（优质试题苏州暑假测试）如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC⊥平面ABC.

（1）若AB⊥BC，CP⊥PB，求证：

CP⊥PA；

（2）若过点A作直线l⊥平面ABC，求证：

l∥平面PBC.

例7、（优质试题南京三模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱BC上一点．

（1）若AB＝AC，D为棱BC的中点，求证：

平面ADC1⊥平面BCC1B1；

（2）若A1B∥平面ADC1，求

的值．

一、填空题

1、（优质试题南京三模）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：

若l⊥α，l⊥β，则α∥β；

若l⊥α，α⊥β，则l∥β；

若l∥α，l⊥β，则α⊥β；

若l∥α，α⊥β，则l⊥β．

其中真命题为________（填所有真命题的序号）．

2、（优质试题南京、盐城二模）已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是________（填上所有正确命题的序号）．

①若α∥β，m⊂α，则m∥β；

　　　　　②若m∥α，n⊂α，则m∥n；

③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；

④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.

3、（优质试题南京三模）已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：

①α∥β⇒l⊥m；

　②α⊥β⇒l∥m；

③m∥α⇒l⊥β；

　④l⊥β⇒m∥α.

其中正确的命题是________（填写所有正确命题的序号）．

4、（优质试题镇江期末）设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，现给出下列命题：

①若b⊂α，c∥α，则b∥c；

②若b⊂α，b∥c，则c∥α；

③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；

④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.

其中正确的命题是________．（写出所有正确命题的序号）

5、（优质试题镇江期末）设α，β为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：

①若m∥n，n⊂α，则m∥α；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；

④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β.

其中正确命题的序号为________．

6、（优质试题南京、盐城、徐州二模）已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：

①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；

②若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n；

③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.

其中是真命题的是________（填序号）．

7、（优质试题泰州期末）若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）．

①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；

②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；

③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；

④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．

二、解答题

8、（优质试题无锡期末）在四棱锥PABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.

BC∥平面PAD；

（2）平面PAD⊥平面ABCD.

9、（优质试题常州期末）如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别是棱AB，CC1的中点．求证：

（1）CM//平面AB1N；

（2）平面A1BN⊥平面AA1B1B.

10、（优质试题镇江期末）如图，在四棱锥VABCD中，底面ABCD是矩形，VD⊥平面ABCD，过AD的平面分别与VB，VC交于点M，N.

BC⊥平面VCD；

AD∥MN.

11、（优质试题扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B⊥平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点．

EF∥平面ABC；

BB1⊥AC.

12、（优质试题苏北三市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E，F分别是B1C1，AB，AA1的中点．

EF∥平面A1BD；

（2）若A1B1＝A1C1，求证：

平面A1BD⊥平面BB1C1C.

13、（优质试题苏锡常镇调研

（一））如图，三棱锥DABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC＝DC，E，F分别为BD，CD的中点．求证：

（1）EF∥平面ABC；

（2）BD⊥平面ACE.

14、（优质试题苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.

（1）DE∥平面ABB1A1；

（2）BC1⊥平面A1B1C.

15、（优质试题宿迁期末）在四棱锥SABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．

平面SAC⊥平面SBD；

（2）若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且AN＝

NS，求证：

SC∥平面BMN.