多级树集合分裂SPIHT算法的过程详解与Matlab实现Word文档下载推荐.docx
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最低频子带LL_N中的系数和最高频子带中的系数没有孩子。
设X是一个小波系数坐标集：
X={|（r,c）|}，对于正整数n，定义函数Sn（X）如下：
if
max{|Cr,c|}>
=2^n
then
Sn（X）=1
else
Sn（X）=0
如果Sn（X）=1，则坐标集X关于阈值2^n是重要的，否则是不重要的。
2、分集规则
首先引入下面四个集合符号：
（1）O（r,c）——节点（r,c）所有孩子的集合；
（2）D（r,c）——节点（r,c）所有子孙的集合（包括孩子）；
（3）L（r,c）——节点（r,c）所有非直系子孙的集合（即不包括孩子）；
L（r,c）=D（r,c）—O（r,c）
（4）H——所有树根的坐标集。
（对N级小波分解，H就是LL_N、HL_N、LH_N和HH_N中所有系数的坐标构成的集合）
根据SPIHT算法树结构的特点，除了LL_N、LL_1、HL_1、LH_1和HH_1之外，对任意系数的坐标（r,c），都有：
（由于Matlab矩阵下标起始值为1，公式作了相应调整）
O（r,c）={（2*r-1,2*c-1）,（2*r-1,2*c）,（2*r,2*c-1）,（2*r,2*c）}
SPIHT算法的分集规则如下：
（1）初始坐标集为{（r,c）|（r,c）∈H}、{D（r,c）|（r,c）∈H}。
（2）若D（r,c）关于当前阈值是重要的，则D（r,c）分裂成L（r,c）和O（r,c）。
（3）若L（r,c）关于当前阈值是重要的，则L（r,c）分裂成4个集合D（rO,cO），（rO,cO）∈O（r,c）。
3、有序表
SPIHT算法引入了三个有序表来存放重要信息：
（1）
LSP——重要系数表；
（2）
LIP——不重要系数表；
（3）
LIS——不重要子集表。
这三个表中，每个表项都使用坐标（r,c）来标识。
在LIP和LSP中，坐标（r,c）表示单个小波系数；
而LIS中，坐标（r,c）代表两种系数集，即D（r,c）或L（r,c），分别称为D型表项、L型表项，在Matlab实现时，用一个新的列表LisFlag来标识LIS中各个表项的类型，LisFlag的元素有‘D’、‘L’两种字符。
上一篇文章我们讨论了SPIHT算法与EZW算法的关系，介绍了SPIHT算法的树结构、分集规则和有序表的构建。
在此基础上，我们接下来讨论算法的编码原理。
下文给出了比较详细的数学描述，吃透了这一过程，就比较容易写出程序代码了。
SPIHT算法的编码过程如下：
（1）初始化
输出初始阈值T的指数N=floor（log2（max{|Cr,c|}））（Matlab函数floor（num）给出不大于数值num的最大整数）
定义：
LSP为空集
LIP={（r,c）|（r,c）∈H}
LIS={D（r,c）|（r,c）∈H且（r,c）具有非零子孙}
初始的LIS中各表项类型均为‘D’，LIS和LIP中（r,c）的排列顺序与EZW算法零树结构的扫描顺序相同（即按从上到下、从左到右的“Z”型次序排列）。
（2）排序扫描
1）扫描LIP队列
对LIP队列的每个表项（r,c）：
①
输出SnOut（r,c）（函数SnOut判断（r,c）的重要性）；
②
如果SnOut（r,c）=1，则向排序位流Sn输出‘1’和（r,c）的符号位（由‘1’、‘0’表示），然后将（r,c）从LIP队列中删除，添加到LSP队列的尾部。
③
如果SnOut（r,c）=0，则向排序位流Sn输出‘0’。
2）扫描LIS队列
对LIS队列的每个表项（r,c）：
如果（r,c）是‘D’型表项
输出SnOut（D（r,c））；
*如果SnOut（D（r,c））=1
向排序位流Sn输出‘1’；
对每个（rO,cO）∈O（r,c）
输出SnOut（rO,cO）
*如果SnOut（rO,cO）=1，则向排序位流Sn输出‘1’和（rO,cO）的符号位，将（rO,cO）添加到LSP的尾部；
*如果SnOut（rO,cO）=0，则向排序位流Sn输出‘0’，将（rO,cO）添加到LIP的尾部。
判断L（r,c）是否为空集
如果L（r,c）非空，则将（r,c）作为‘L’型表项添加到LIS的尾部；
如果L（r,c）为空集，则将‘D’型表项（r,c）从LIS中删除。
*如果SnOut（D（r,c））=0
则向排序位流Sn输出‘0’。
如果（r,c）是‘L’型表项
输出SnOut（L（r,c））；
*如果SnOut（L（r,c））=1，则向排序位流Sn输出‘1’，然后将（r,c）的4个孩子（rO,cO）作为‘D’型表项依次添加到LIS的尾部，将‘L’型表项（r,c）从LIS中删除；
*如果SnOut（L（r,c））=0，则向排序位流Sn输出‘0’。
（3）精细扫描
将上一级扫描后的LSP列表记为LSP_Old，对于（r,c）∈LSP_Old，
将系数Cr,c的绝对值转换为二进制表示Br,c；
输出Br,c中第N个最重要的位（即对应于2^N权位处的符号‘1’或‘0’）到精细位流Rn。
（4）更新阈值指数
将阈值指数N减至N—1，返回到步骤
（2）进行下一级编码扫描。
上一篇文章已经详细介绍了SPIHT算法的编码过程，接下来有关编码和解码的部分就直接把代码写出来啦，我的代码里有详细的中文注释，基本上把程序的每个步骤都作了说明，呵呵，利人也利己！
1、首先给出编码的主程序
function[T,SnList,RnList,ini_LSP,ini_LIP,ini_LIS,ini_LisFlag]=spihtcoding（DecIm,imDim,codeDim）
%函数SPIHTCODING（）是SPIHT算法的编码主程序
%输入参数：
DecIm
——小波分解系数矩阵；
%
imDim
——小波分解层数；
codeDim——编码级数。
%输出参数：
T——初始阈值，T=2^N，N=floor（log2（max{|c（i,j）|}）），c（i,j）为小波系数矩阵的元素
SnList——排序扫描输出位流
RnList——精细扫描输出位流
ini_L*——初始系数（集合）表
LSP：
重要系数表
LIP：
不重要系数表
LIS：
不重要子集表，其中的表项是D型或L型表项的树根点
LisFlag：
LIS中各表项的类型，包括D型和L型两种
globalMatrMatcMat
%Mat是输入的小波分解系数矩阵，作为全局变量，在编码的相关程序中使用
%rMat、cMat是Mat的行、列数，作为全局变量，在编码、解码的相关程序中使用
%---------------------------%
%-----Threshold-----%
Mat=DecIm;
MaxMat=max（max（abs（Mat）））;
N=floor（log2（MaxMat））;
T=2^N;
%公式：
N=floor（log2（max{|c（i,j）|}）），c（i,j）为小波系数矩阵的元素
%--------------------------------------%
%-----OutputIntialization-----%
SnList=[];
RnList=[];
ini_LSP=[];
ini_LIP=coef_H（imDim）;
rlip=size（ini_LIP,1）;
ini_LIS=ini_LIP（rlip/4+1:
end,:
）;
rlis=size（ini_LIS,1）;
ini_LisFlag（1:
rlis）='
D'
;
%ini_LSP：
扫描开始前无重要系数，故LSP=[]；
%ini_LIP：
所有树根的坐标集，对于N层小波分解，LIP是LL_N,LH_N,HL_N,HH_N所有
系数的坐标集合；
函数COEF_H（）用于计算树根坐标集H
%ini_LIS：
初始时，LIS是LH_N,HL_N,HH_N所有系数的坐标集合；
在SPIHT算法中，
LL_N没有孩子。
%ini_LisFlag：
初始时，LIS列表的表项均为D型。
%------------------------------------------------%
%-----CodingInputInitialization------%
LSP=ini_LSP;
LIP=ini_LIP;
LIS=ini_LIS;
LisFlag=ini_LisFlag;
%将待输出的各项列表存入相应的编码工作列表
%--------------------------------%
%-----CodingLoop------%
ford=1:
codeDim
%------------------------------------------%
%-----CodingInitialization-------%
Sn=[];
LSP_Old=LSP;
%每级编码产生的Sn都是独立的，故Sn初始化为空表
%列表LSP_Old用于存储上级编码产生的重要系数列表LSP，作为本级精细扫描的输入
%-------------------------------%
%-----SortingPass-----%
%-----LIPScan--------%
%----------------------------%
[Sn,LSP,LIP]=lip_scan（Sn,N,LSP,LIP）;
%检查LIP表的小波系数，更新列表LIP、LSP和排序位流Sn
%-------------------------%
%-----LISScan-----%
[LSP,LIP,LIS,LisFlag,Sn,N]=lis_scan（N,Sn,LSP,LIP,LIS,LisFlag）;
%这里，作为输出的N比作为输入的N少1，即out_N=in_N-1
%各项输出参数均作为下一编码级的输入
%-------------------------------------%
%-----RefinementPass-----%
Rn=refinement（N+1,LSP_Old）;
%精细扫描是在当前阈值T=2^N下，扫描上一编码级产生的LSP，故输入为（N+1,LSP_Old），
%输出为精细位流Rn
%-----------------------------------%
%-----OutputDataflow-----%
SnList=[SnList,Sn,7];
RnList=[RnList,Rn,7];
%数字‘7’作为区分符,区分不同编码级的Rn、Sn位流
end
编码主程序中调用到的子程序有：
COEF_H（）：
用于计算树根坐标集H，生成初始的LIP队列；
LIP_SCAN（）：
检查LIP表的各个表项是否重要，更新列表LIP、LSP和排序位流Sn；
LIS_SCAN（）：
检查LIS表的各个表项是否重要，更新列表LIP、LSP、LIS、LisFlag和排序位流Sn；
REFINEMENT（）：
精细扫描编码程序，输出精细位流Rn。
（1）下面是计算树根坐标集H的程序
functionlp=coef_H（imDim）
%函数COEF_H（）根据矩阵的行列数rMat、cMat和小波分解层数imDim来计算树根坐标集H
imDim——小波分解层数,也可记作N
lp——rMat*cMat矩阵经N层分解后，LL_N,LH_N,HL_N,HH_N所有系数的坐标集合
globalrMatcMat
row=rMat/2^（imDim-1）;
col=cMat/2^（imDim-1）;
%row、col是LL_N,LH_N,HL_N,HH_N组成的矩阵的行、列数
lp=listorder（row,col,1,1）;
%因为LIP和LIS中元素（r,c）的排列顺序与EZW零树结构的扫描顺序相同
%直接调用函数LISTORDER（）即可获得按EZW扫描顺序排列的LIP列表
（2）这里调用了函数LISTORDER（）来获取按EZW扫描顺序排列的LIP列表，以下是该函数的程序代码：
functionlsorder=listorder（mr,mc,pr,pc）
%函数LISTORDER（）生成按‘Z’型递归结构排列的坐标列表
%函数递归原理：
对一个mr*mc的矩阵，其左上角元素的坐标为（pr,pc）；
首先将矩阵按“田”
%字型分成四个对等的子矩阵，每个子矩阵的行、列数均为mr/2、mc/2，左上角元素的坐标
%从上到下、从左到右分别为（pr,pc）、（pr,pc+mc/2）、（pr+mr/2,pc）、（pr+mr/2,pc+mc/2）。
%把每个子矩阵再分裂成四个矩阵，如此递归分裂下去，直至最小矩阵的行列数等于2，获取最小
%矩阵的四个点的坐标值，然后逐步向上回溯，即可得到按‘Z’型递归结构排列的坐标列表。
lso=[pr,pc;
pr,pc+mc/2;
pr+mr/2,pc;
pr+mr/2,pc+mc/2];
%列表lso是父矩阵分裂成四个子矩阵后，各子矩阵左上角元素坐标的集合
mr=mr/2;
mc=mc/2;
%子矩阵的行列数是父矩阵的一半
lm1=[];
lm2=[];
lm3=[];
lm4=[];
if（mr>
1）&
&
（mc>
1）
%按‘Z’型结构递归
ls1=listorder（mr,mc,lso（1,1）,lso（1,2））;
lm1=[lm1;
ls1];
ls2=listorder（mr,mc,lso（2,1）,lso（2,2））;
lm2=[lm2;
ls2];
ls3=listorder（mr,mc,lso（3,1）,lso（3,2））;
lm3=[lm3;
ls3];
ls4=listorder（mr,mc,lso（4,1）,lso（4,2））;
lm4=[lm4;
ls4];
lsorder=[lso;
lm1;
lm2;
lm3;
lm4];
%四个子矩阵结束递归回溯到父矩阵时，列表lsorder的头四个坐标值为列表lso的元素
%这四个坐标值与后面的各个子矩阵的坐标元素有重叠，故需消去
%当函数输出的列表长度length（lsorder）与矩阵的元素个数mr*mc*4不相等时，
%就说明有坐标重叠发生。
len=length（lsorder）;
lsorder=lsorder（len-mr*mc*4+1:
len,:
本文给出SPIHT编码的精细扫描程序，其中包括一个能够将带小数的十进制数转换为二进制表示的函数，这个转换函数可以实现任意精度的二进制转换，特别是将小数部分转换为二进制表示。
希望对有需要的朋友有所帮助。
下一篇文章将给出SPIHT的解码程序。
请关注后续文章，欢迎Email联系交流。
4、精细扫描程序
functionRn=refinement（N,LSP_Old）
%函数REFINEMENT（）为精细编码程序，对上一级编码产生的重要系数列表LSP_Old，读取每个
%表项相应小波系数绝对值的二进制表示，输出其中第N个重要的位，即相应于2^N处的码数
N——本级编码阈值的指数
LSP_Old——上一级编码产生的重要系数列表
Rn——精细扫描输出位流
globalMat
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