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(1)什么叫三角形?
(2)三角形有几条边?
有几个内角?
有几个顶点?
(3)三角形ABC用符号表示________.
(4)三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;
相邻两边所组成的角叫做三角形的内角;
相邻两边的公共端点是三角形的顶点,三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的三边,AB可用边AB的所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.
三、做一做
画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题:
(1)小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线.
a.从B→Cb.从B→A→C
(2)从B沿边BC到C的路线长为BC的长.
从B沿边BA到A,从A沿边C到C的路线长为BA+AC.
经过测量可以说BA+AC>
BC,可以说这两条路线的长是不一样的.
四、议一议
1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系?
2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系?
3.三角形三边有怎样的不等关系?
通过动手实验同学们可以得到哪些结论?
三角形的任意两边之和大于第三边;
任意两边之差小于第三边.
五、想一想三角形按边分可以,分成几类?
按角分呢?
(1)三角形按边分类如下:
(2)三角形按角分类如下:
不等三角形直角三角形
三角形底和腰不等的等腰三角形三角形锐角三角形
等腰三角形等边三角形斜三角形钝角三角形
六、练一练
有三根木棒长分别为3cm、6cm和2cm,用这木棒能否围成一个三角形?
分析:
(1)三条线段能否构成一个三角形,关键在捡判定它们是否符合三角形三边的不等关系,符合即可的构成一个三角形,看不符合就不可能构成一个三角形.
(2)要让学生明确两条木棒长为3cm和6cm,要想用三根木棒合起来构成一个三角形,这第三根木棒的长度应介于3cm和8cm之间,由于它的第三根木棒长只有2cm,所以不可能用这三条木棒构成一个三角形.
错导:
∵3cm+6cm>
2cm∴用3cm、6cm、2cm的木棒可以构成一个三角形.
错因:
三角形的三边之间的关系为任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,这里3+6>
2,没错,可6-3不小于2,所以回答这类问题应先确定最大边,然后看小于最大量的两量之和是否大于最大值,大时就可构成,小时就无法构成.
七、忆一忆:
今天我们学了哪些内容:
1.三角形的有关概念(边、角、顶点)2.会用符号表示一个三角形.3.通过实践了解三角形的三边不等关系.
八、作业课本P65练习1、2
7.1.2三角形的高、中线与角平分线
教学目标1.经历折纸,画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线.毛
2.会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线,通过画图了解三角形的三条高(及所在直线)交于一点,三角形的三条中线,三条角平分线等都交于点.
(1)了解三角形的高、中线与角平分线的概念,会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线.
(2)了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分线分别交于一点.
(1)三角形平分线与角平分线的区别,三角形的高与垂线的区别.
(2)钝角三角形高的画法.(3)不同的三角形三条高的位置关系.
三角形的
重要线段
意义
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
1.AD是△ABC的BC上的高线.
2.AD⊥BC于D.
3.∠ADB=∠ADC=90°
.
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的
线段
1.AE是△ABC的BC上的中线.
2.BE=EC=
BC.
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
1.AM是△ABC的∠BAC的平分线.
2.∠1=∠2=
∠BAC.
1.指导学生阅读课本P65--66的课文.
2.仔细观察投影表中的内容,并回答下面问题.
(1)什么叫三角形的高?
三角形的高与垂线有何区别和联系?
三角形的高是从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段,而从三角形一个顶点向它对边所在的直线作垂线这条垂线是直线.
(2)什么叫三角形的中线?
连结两点的线段与过两点的直线有何区别和联系?
三角形的中线是连结一个顶点和它对边的中点的线段,而过两点的直线有着本质的不同,一个代表的是线段,另一个却是直线.
(3)什么叫三角形的角平分线?
三角形的角平分线与角平分线有何区别和联系?
三角形的角平分线是三角形的一个内角平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段,而角平分线指的是一条射线.
3.三角形的高、中线和角平分线是代表线段还是代表射线或直线?
三角形的高、中线和角平分线都代表线段,这些线段的一个端点是三角形的一个顶点,另一个端点在这个顶点的对边上.
二、做一做
1.让学生在练习本上画出三角形,并在这个三角形中画出它的三条高.(如果他们所画的是锐角三角形,接着提出在直角三角形的三条高在哪里?
钝角三角形的三条高在那里?
)观察这三条高所在的直线的位置有何关系?
三角形的三条高交于一点,锐角三角形三条高交点在直角三角形内,直角三角形三条高线交点在直角三角形顶点,而钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部.
2.让学生在练习本上画三角形,并在这个三角形中画出它的三条中线.(如果他们所画的是锐角三角形,接着让他们画出直角三角形和钝角三角形,看看这些三角形的中线在哪里)?
观察这三条中线的位置有何关系?
三角形的三条中线都在三角形内部,它们交于一点,这个交点在三角形内.
3.让学生在练习本上画一个三角形,并在这三角形中画出它的三条角平分线,观察这三条角平分线的位置有何关系?
无论是锐角三角形还是直角三角形或钝角三角形,它们的三条角平分线都在三角形内,并且交于一点.
三、议一议:
通过以上观察和操作你发现了哪些规律,并加以总结且与同伴交流.
四、练习
1.课本P66,练习1.2.
2.画钝角三角形的三条高.
五、作业:
P69习题7.13.4.
7.1.3三角形的稳定性
教学目标:
通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性,四边形没有稳定性,稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用
重点:
了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用
难点:
准确使用三角形稳定性与生产生活之中
教学过程:
一、看一看,想一想
课本P67投影出来
1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
3、在四边形的木架上再钉一根木条,将它的一对顶点连接起来,然后扭动它,它的形状会改变吗?
从上面实验过程你能得出什么结论?
与同伴交流。
三角形木架形状不会改变,四边形木架形状会改变,这就是说,三角形具有稳定性,四边形没有稳定性。
四、三角形稳定性应用举例、四边形没有稳定性的应用举例
五、练一练课本P68练习
六、作业:
课本P69――5,9
7.2.1三角形的内角
1经历实验活动的过程,得出三角形的内角和定理,能用平行线的性质推出这一定理
2能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题
三角形内角和定理
三角形内角和定理的推理的过程
一、做一做
1在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码
2让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出
的度数,可得到
,即三角形的内角和等于180°
。
3剪下
,按图
(2)拼在一起,从而还可得到
图2
4把
和
剪下按图(3)拼在一起,用量角器量一量
的度数,会得到什么结果。
二、想一想
如果我们不用剪、拼办法,可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢?
已知
,说明
,你有几种方法?
结合图
(1)、图
(2)、图(3)
能不能用图(4)也可以说明这个结论成立
例题图
二、例题如图,C岛在A岛的北偏东
方向,B岛在A岛的北偏东
方向,C岛在B岛的北偏西
方向,从C岛看A、B两岛的视角
是多少度?
7.2.2三角形的外角
1使学生在操作活动中,探索并了解三角形的外角的两条性质
2利用学过的定理论证这些性质3能利用三角形的外角性质解决实际问题
(1)三角形的外角的性质;
(2)三角形外角和定理
三角形外角的定义及定理的论证过程
一、想一想:
三角形的内角和定理是什么?
二、做一做
把
的一边AB延长到D,得
,它不是三角形的内角,
那它是三角形的什么角?
它是三角形的外角。
定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角
想一想:
三角形的外角有几个?
每个顶点处有两个外角,但这两个是对顶角
三、议一议
与
的内角有什么关系?
(1)
(2)
,
再画三角形ABC的外角试一试,还会得到这个性质吗?
同学用几何语言叙述这个性质:
三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和;
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
你能用学过的定理说明这些定理的成立吗?
已知:
是
的外角
说明:
结合图形给予说明
练一练:
课本P75,练习
作业:
课本P766,7,8,9
7.3.1多边形
教学目标1.了解多边形及有关概念,理解正多边形及其有关概念.2.区别凸多边形与凹多边形.
(1)了解多边形及其有关概念,理解正多边形及其有关概念.
(2)区别凸多边形和凹多边形.
多边形定义的准确理解.
一、新课讲授
图形见课本P79图7.3一l.
你能从投影里找出几个由一些线段围成的图形吗?
上面三图中让同学边看、边议.
在同学议论的基础上,老师给以总结,这些线段围成的图形有何特性?
(1)它们在同一平面内.
(2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的.
这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形,那么什么叫做多边形呢?
提问:
三角形的定义.你能仿照三角形的定义给多边形定义吗?
1.在平面内,由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形.
如果一个多边形由n条线段组成,那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成,就叫做几边形.)
2.多边形的边、顶点、内角和外角.
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
3.多边形的对角线:
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线.
让学生画出五边形的所有对角线.并归纳总结n边形所有对角线的条数。
4.凸多边形与凹多边形
图形见课本P80.7.3—6.
在图
(1)中,画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线,整个图形都在这条直线的同一侧,这样的四边形叫做凸四边形,这样的多边形称为凸多边形;
而图
(2)就不满足上述凸多边形的特征,因为我们画BD所在直线,整个多边形不都在这条直线的同一侧,我们称它为凹多边形,今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形.
5.正多边形:
由正方形的特征出发,得出正多边形的概念.
各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形.
二、课堂练习:
课本P81练习1.2.
三、课堂小结:
引导学生总结本节课的相关概念.
四、课后作业:
课本P83第1题.
7.3.2多边形的内角和
1.使学生了解多边形的内角、外角等概念.
2.能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算.
(1)多边形的内角和公式.
(2)多边形的外角和公式.
多边形的内角和定理的推导.
一、探究
1.我们知道三角形的内角和为180°
.
2.我们还知道,正方形的四个角都等于90°
,那么它的内角和为360°
,同样长方形的内角和也是360°
3.正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°
,那么一般的四边形的内角和为多少呢?
画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果.
从中你得到什么结论?
同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°
的感性认识,是否成为定理要进行推导.
二、思考几个问题
1.从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将四边形分成几个三角形?
那么四边形的内角和等于多少度?
2.从五边形一个顶点出发可以引几条对角线?
它们将五边形分成几个三角形?
那么这五边形的内角和为多少度?
3.从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线?
它们将n边形分成几个三角形?
n边形的内角和等于多少度?
综上所述,你能得到多边形内角和公式吗?
设多边形的边数为n,则n边形的内角和等于(n一2)·
180°
要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形.除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗?
你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗?
由同学动手并推导在与同伴交流后,教师归纳
三、例题
例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?
例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少?
如果把六边形横成n边形.(n为不小于3的正整数)
同样也可以得到其外角和等于360°
.即
多边形的外角和等于360°
所以我们说多边形的外角和与它的边数无关.
对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°
如下图,从多边形的一个顶点A出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°
四、课堂练习课本P83练习1、2、3题P84第2、3题
7.4课题学习:
镶嵌
一、教学目标
1.会用正多边形无缝隙、不重叠地覆盖平面。
2.让学生在应用已有的数学知识和能力,探索和解决镶嵌问题的过程中,感受数学知识的价值,增强应用意识,获得各种体验。
二、教学活动的建议
探究性活动是一种心得学习方式,它不是老师讲授、学生听讲的学习方式,而是学生自己应用已有的数学知识和能力,去探索研究生活中有趣而富有挑战问题的活动过程。
建议本节教学活动采用以下形式:
(1)学生自己提出研究课题;
(2)学生自己设计制订活动方案;
(3)操作实践;
(4)回顾和总结。
教学活动中,教师提供必要的指点和帮助。
引导学生对探究性活动进行反思,不仅关注学生是否能用已有的知识去探究和解决问题,并更多地关注学生自主探究、与他人合作的愿望和能力。
三、关于镶嵌
1.镶嵌,作为数学学习的一项探究性活动,主要有以下两个方面的原因:
(1)如果用“数学的眼光”观察事物,那么用正方形的地砖铺地,就是“正方形”这种几何图形可以无缝隙、不重叠地拼合。
(2)“几何“中研究图形性质时,也常常要把图形拼合。
比如,两个全等的直角三角形可以拼合成一个等腰三角形,或一个矩形,或一个平行四边形;
又如,六个全等的等边三角形可以拼合成一个正六边形,四个全等的等边三角形可以拼合成一个较大的等边三角形等。
2.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件,是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于360°
(1)用同一种正多边形镶嵌,只要正多边形内角的度数整除360°
,这种正多边形就能作平面镶嵌。
比如正三角形、正方形、正六边形能作平面镶嵌,而正五边形、正七边形、正八边形、正九边形、……的内角的度数都不能整除360°
,所以这些正多边形都不能镶嵌。
(2)用两种或三种正多边形镶嵌,详见87~88页内容。
(3)用一种任意的凸多边形镶嵌。
从正多边形镶嵌中可以知道:
只要研究任意的三角形、四边形、六边形能否作平面镶嵌,而不必考虑其他多边形能否镶嵌(这是因为:
假如这类多边形能作镶嵌,那么这类正多边形必能作镶嵌,这与上面研究的结论矛盾)