一致连续与柯西收敛准则docxWord格式文档下载.docx
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利用柯西收敛准则，证明极限lim沁存在。
兀T+S兀
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则|念'
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XT+00，.•・不妨设¥
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一，
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于是，对Vw>
0,欲便『（巧-f（%"
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只要—<
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或只gx0>
-,故取则当/*>
X时，恒有£
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|/（V）-/（xff）|=
由柯西收敛准则知，极限lim=存在。
利用柯西收敛准则，证明极限^sinx不存在。
证明：
给定&
（）=丄’对任意的X>
0,
总有点內=2必,兀2=2必+彳，州宀皿，（取兀充分大）使得|sin旺一sin对=1〉&
o，
由柯西收敛准则知，极限帆sin%不存在。
一致连续性
设函W（X）在区间/上有定义，如果对丁'
任意给疋的正数務总存在着正数5,使得对于区间/上的任意两点內、兀2,牛1-兀2|<
耐,就有
\f（^1）_/（兀2）|<
S,
那么称函WW在区间/上是一致连续的。
\/s>
0,33>
0yxvx2eI,\xi-x2\<
3,
专心）-心）心
用定义证明函数“兀）二兀+sin兀在（-g,*°
）上一致连续。
•••|/（鬲）一一smQl
X+x2・％1一％2
牛一对+|sinm-sin对+-对+Zcos-^-sin-^牛一对+2sin宁|牛-对+2茫斗~冇-对
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...血〉0,羽二三＞0,对任意的坷宀丘（-°
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严）,
If'
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議I
当卜］一兀2＜耐,恒有|于（兀1）一于（兀2）|＜£
函数f（兀）二兀+sin兀在（-oo,_Kx））上一致连续。
函数fO）,gO）在区间/上一致连续，则函数fO）+g（x）在区间/上一致连续。
•••函数f（x）,g（x）在区间/上一致连续，
0,日5>
0,对任意的壬,兀2e/,当卜1一V却寸，
£
•■-|[/（兀1）+g（无1）]_[/（兀2）+&
（兀2）]<
©
+㊁=&
故函数f（兀）+g（兀）在区间/上一致连续O
若函数A（x）=excos丄在区间（0」）上非一致连续o
x
给定正数勺（VD对任意的正数5总有
11
V/*■■
K]—•—%—
2〃龙-兀
/./（x）=excos—在区间（0,1）上非一致连续。
X
柯西准则与一致收敛关系
V^>
0,3^>
0,Vx15x2e/,0<
x{-a
围柯一
若函数/（兀皿,收）上连续,且帆几力=6则函数
牙T十eq
.\/s>
0,3X>
0,当兀>
X时if（x）_b<
㊁•将区间⑷炖）分为区间M，X］与［X,*o）,（I）在闭区间S,X］上，因为心）连续，所以一致连续。
故对上述的£
，存在a>
0,对任意的%］,兀2W0，X］，当卜1_珂<
M牡（州）-/（^2）|<
扌；
⑵囱,兀2w［X,P），对上述的£
与》，当卜1-对<
那寸，1/3）-/（X2）|=|/3）-b+b-/（X2）|5|/g）7+MS2）"
⑶*X\e[a,X],x2w[X,+oo）,对上述的g与当卜厂对<
胡寸，必有卜厂X|<
〃与卜2_乂|<
&
故由①与⑵得
）-/（兀2）15|/（^）-/（X）|+|/（x2）-f（X）\
~+~=£
.
22
综上讨论，对任意的“2引50）,当―時〜寸,
|/（兀1）-/（兀2）|<
二/（x）在区间[匕+00）上一致连续。
例11■证明：
若函数f（兀）=sinF在区间（―乜亦）上非一致连续。
%,2一xf
sin—
2°
—Xq7t
—2—=孑
•・•sin屛-sinx：
=2cos^^L2r:
2
取正数/兀2,满足匕垃=2册-兰
24
贝llx?
=2n7r,=2yi兀,
2
2n7r-—,
给定正数％,对任意的正数5总有兀1二yl2n7r,x2=
B|Jxx=yl2n7v,x2=
使得
兀1_兀2〔=
Inn-—,
6,（只要斤充分大）2（丁2斤龙+（2”-彳）
9V2V2=21>
n.
71
而|sinA；
：
-sinx
・・.函数fO）=sin/在区间（-00,+co）上非一致连续。
.2
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