教学案例齐和桥Word文档格式.docx
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初步认识圆之美，形成科学的数学观和学习观。
师：
小学我们初步进行了圆的认识，请同学们回忆一下，我们小学学到了哪些圆的知识？
生1：
我们学习了圆的画法，记法，知道圆的二要素：
一是定点（圆心），二是定长（半径），知道圆上一点到圆心距离相等。
生2：
我们学习了圆的两个公式，C=2
r,S=
r2
生3：
………….，生4………….。
回答得很好，小学我们只是初步了解圆，只是有初步的感性认识和肤浅的理性认识。
今天，我们学习许多几何知识，包括三种几何变换，三角形，四边形等知识，我们可以对圆进行全方位的探究。
“欲穷千里目，更上一层楼”你们能求出楼房的高度吗？
等我们学习圆的有关知识就可以解决名诗隐含的数学问题（学生好奇心勾动了，想学的愿望更强烈了）
观察教材24。
1-1，把你的感受说出来？
生5、圆就在我们身边，数学让我们觉得好玩。
第3幅呼啦圈，第4幅自行车，我们都玩过，我们小时候还玩过圆环、陀螺。
生6、生活、娱乐离不开圆。
摩天轮（第1幅）、井盖（下水道盖）（第2幅）圆形亭台楼阁（第6幅）、皎洁月光（第5幅），海上日出、月出等，数学中的圆让人欣赏自然之美，体验数学美。
日常生活用的镜子、硬币、餐具等均与圆息息相关。
生7：
………….生8………….
看着学生口若悬河举出日常生活中、娱乐中、电视上等媒体中有关圆的物体，学生觉得数学实用性和美感。
我趁机用多媒体展示一组组精彩实用的图片让学生继续欣赏。
问你们又有什么感觉。
生9：
数学中的圆给我们美感，真是赏心悦目，又让我们觉得数学实用和应用性很广，如生产实践、工厂车间的抽水机、传送、切割机等给人们很大的便利。
奥运会五环旗、NBA赛场中心圆的争球，各种精美的图案、徽章，让我们感受圆的博大体验数学的价值。
圆只是数学的一个缩影，只是一个美丽的音符。
数学无处不在，无时不有。
生产、生活离不开数学，数学来源于实践，又为实践服务。
数学不仅好玩，而且有用。
数学是思维的体操,它给人聪颖的大脑，智慧的心灵。
望着同学们对数学情感态度、价值观在积极的滋生，我提出一个益智游戏（放币游戏）：
在圆形小纸片上，两人轮流放置大小相同的硬币，硬币之间不能重叠，硬币不能脱出纸片边界，最后在纸片上无法放置硬币者判为输。
如果你来玩游戏，你的取胜策略是什么？
你会选择先放还是后放呢？
（同学们分组讨论，老师不动声色地巡查小组。
各组学生兴趣很高，学生参与率100%，理性思维在不断地碰撞。
）
小组代表1：
结论：
后放者胜，我选择后放。
理由：
甲先放一枚硬币，我关于纸片圆心对称点处放置另一枚硬币。
反复循环，纸片空间越来越小，甲最终无法放置硬币而告负。
1小组利用圆是中心对称图形，灵运用中心对称来阐述自己的观点。
同学们同不同意这种观点？
教师里一片沉默，大多数同学似默许这种观点.小组2一个同学站起来发言：
先放者胜，我选择先放。
假如纸片与硬币一样大，先放者必胜。
该同学灵活运用了数学极端原理或特殊值法，假言推理也有一定道理，但没有研究纸片远大硬币的情况，证据不足，但切切实实推翻了小组1的结论。
在思维的碰撞中，矛盾产生了！
究竟先放胜还是后放胜?
悬念产生了，数学质疑让学生的探究兴趣更浓，更想知道问题的正解，但又感到困惑。
我适时拿出四副（一张硬币纸片，若干硬币，纸片大约能放十余枚硬币）实验工具，让学生进行分组游戏，通过实践操作，看结果如何？
经过2-3分钟的好玩游戏的实际操作，学生们豁然开朗，结论明确了，全班同学一致通口：
先放者胜。
理由呢？
小组2代表：
先在圆心正中放置一枚硬币，无论对手怎么放置硬币，均可按中心称放置，经过若干次循环，纸片空间变小，直至对方无位置放止。
小组3代表：
先放的人必胜，无论纸片多大，无论放在纸片上何位置，游戏时胜率先入达100%，只是不好用语言来表达理由。
小组代表1，先前的结论错在哪里呢？
小组1成员2：
我们忽略了大前提硬币不能重叠，甲先在靠近中心处放置硬币，乙按中心对称放置必然硬币会发生重叠，这是由实验得出的，思考时容易出错觉。
假如纸片圆环形，空去的圆面积大于硬币，则后放者必胜。
同学们的见解很深刻，反思也很见地，应验了“实践出真知”的古训。
数学不仅好玩，而且有用,它有的实用性的思维、饱含智慧的思想和美学方法让人玩味。
学生的智慧在游戏中和交流中碰撞，学生的思维能力和表达能力得到了提高，体验了在玩中学数学的乐趣，体会了数学实验的作用和直觉思维的局限性，体会了“实践出真知”的哲理。
这些也反映讨论教学和对话式教学构造生态，和谐的教学场不可缺少的一个环节，也体现了教学中动态与生成的和谐统一，也反映了趣味性哲理性问题情景的设计的重要性。
情景教学要体现一定的知识,概念和规律,能促使学生认知结构的形成。
教师要通过具体的情景,引导学生进入角色,激起情绪,引发思考,这才能达到教学归宿点和出发点。
片断2、认识圆、创作圆、丰满圆，享受几何作图探究的乐趣。
观察教材图24-1-2。
圆是如何形成的？
教师给出实际情景：
这是一个圆林工人，他正在地上画圆，两个问题：
第一：
他在干什么？
第二：
他等一下会做什么？
生5：
我发现他实际上在造一个简易圆规，他的“圆规”有一个固定的脚（锤下去的树桩），他旁边有一根线，线的末端系在一口大钉，等他把脚固定就可以拿线和钉子在地上画出固定的圆。
你认为这个工人能不能把圆画出来？
能
你认为他要把圆画出来有什么关键的地方？
我觉得要画出来，一是中间要固定好，二是绳子要绷紧。
否则一松就不是一个圆。
这里有二个要素：
固定好——定点，绷紧——定长
以下指导学生在草稿纸上，黑板上作圆，强调作图时注意事项，让学生归纳“圆”的概念：
（1）形成性概念
（2）集合性概念
初步理解轨迹的含义（类比垂直平分线、角分线的性质与判定）
牛刀小试
（1）已知⊙O和直线L，请作出⊙O关于L的轴对
图形⊙Oˊ；
（2）已知⊙O和一点P，请作出⊙O关于点P的中心
对称图形⊙Oˊ。
（其中P点分三种情况。
P在⊙内，⊙上，⊙外）
通过作图，加强对圆本质的认识和几何变换创作新图形的乐趣，对比学生创作和探究，学生自然而然地生成两个探究性问题：
1、点与圆的位置关系。
.2、圆内一点到圆的最短，最长距离画法及理论依据进一步体现了直径特殊性，更深刻体会直径是圆中最长的弦。
把数学探究的理念体现在实处、细处，整个课堂才能流畅、和谐。
一节精美、高效的课堂,更是要把学生的主体地位真正落到实处,注重每一个细节的合理与和谐,“于细微处见真功”。
片断3：
圆的美学研究会——感受数学的内在美
2000多年前，伟大的数学家毕达哥拉斯通过研究大量平面图形后发出这样的感慨：
在一切平面图形中，圆最美。
那么圆究竟美在哪里？
到底是什么内在原因，使圆看起来如此光滑、流畅、匀称？
请同学们讨论一下，说说圆有多美？
圆是轴对称图形，给人以匀称、平衡的美感，经过圆心的任何一条直线是它的对称轴，且将圆分成全等的两个半圆。
圆是中心称图形，圆心就是它的对称心，经过中心的任何一条直线将中心对称图形分全等的两部分。
请细心体味两种对称美的不同之处，圆上任一点P在不同的对称变换下，对应点是不同的。
生3、圆是旋转对称图形，绕圆心任意旋转不同角度都能与本身重合，这是平面图形中最美的图形，其它平面图形都不具备这种特性。
圆是平面图最美的图形，它集轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形于一休，具有对称美，又具有旋转的不变性，体现了和谐美、流畅美。
随着对圆章节的深入学习，我们还会发现许多圆的别样美！
观察教材图21。
1-4，为什么车轮要做成圆形？
车轴应装在何处？
车轴应装在圆心处，车轮上各点到车轮中心等距。
当车轮在平坦的路上行驶时，车轮中心与地面的距离总保持不变，坐车的人会感到非常平稳舒适。
这也体现了圆在滚动过程中的不变性。
试想一下，如果车轮不是圆的，比如，椭圆、正方形、正六边形，坐车人会是什么感觉？
坐起来很摇晃，会把人摔出去，它们没有圆光滑、匀称、流畅特性，让人感到不舒服。
我用多媒体放出一组画，让学生体会车轮做成圆形的数学道理。
学生的求知欲望浓了，兴趣高涨了，热情焕发了，有进步学习圆的动机，我趁机介绍了圆的相关概念：
弦，直径、弧、等圆。
并将概念辩析与所学几何知识串联在一起，进一步深入概念的内涵与外延。
接着我又提出一个游戏：
老鼠戏猫。
一只老鼠掉进一个圆形的池子，一只猫在池子外面虎视眈眈，池边有许多洞。
已知猫的速度是老鼠在水中速度的3倍，问老能否逃脱猫的追捕而成功脱险？
说明你的理由？
如图建立数学模型：
在⊙O中，老鼠位于池中P点，猫位于池边Q点，聪明的你，你会如何最佳路线呢？
请同学们分组讨论，合作探究。
学生讨论后兴奋地向老师说出他的解答：
设老鼠速度为
，猫速度3
。
水池半径为r。
先让老鼠游到池子中央（P与O重合），然后盯住猫的位置（Q点）反QO方向跑，这样老鼠走半径，而猫却走半圆。
设老鼠所需时候为t1,猫追老鼠时间为t2，t1=
，t2=
=
t1﹥t1故老鼠可以成功逃脱猫的魔掌。
本例体现了圆心的特征性，灵活选用所学知识巧妙地解决，再次展现了数学给我们带来的乐趣，也让我们的智慧在探现了数学理性美给我们带来的乐趣，也让我们的智慧，在探究中、在思维策略形成中得到了成长。
在课堂上有意识地适当添加一些趣味性游戏,根据中小学生的心理发展特征,游戏心理特征非常显著,学生常常能够在游戏学习中获得知识。
因此中小学生必然会对此兴趣盎然而积极主动地加入到操练中,这样就充分调动了学生学习的积极性,延长了学生集中注意力的时间,提高了课堂教学效率。
数学是一扇窗。
打开窗子，外面是个五彩缤纷的世界，在数学中适度地拓展，设计新颖别致的情景，能让学生学得深刻，深远，深厚。
片断4借助数学史，体验中国古典数学的博大精深。
“让十名学生装在操场上站成三角形，正方形，圆三种形状，然后在中央进行套圈游戏”，请同学们试想一下不同情景，问哪种情景对每名学生公平，因为只有圆形边界上的点到中心的距离相等，正三角形、正方形则不具备这个特征，必然造成不公平现象。
请同学们在课本上找出这种现象的理论依据。
生（齐答）：
《墨经》中墨子有“圆，一中同长也”，它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于半径。
我们品味墨子的“圆，一中同长也”，同时告知学生墨子的这一发现比西方人早1000多年，战国时期的战车制作也比西方马车早500多年，激发学生的民族自豪感，同时让学生明白“大方无隅”，“没有规矩，不成方圆”的含义，“圆的周长与直径之比为定值”，具有奇异美。
我趁机介绍王微、祖冲之在圆周率上的突出贡献，让学生我国数学家在古典数学上的杰出成就。
借助数学史让学生了解感悟古人的智慧与方法，深入知识的认识，领略数学的魅力。
接下来我讲了自己的故事和同学们分享一下。
一天闲来无事，就在老家邻近的院子里游逛，恰好碰到一位老木匠在做木活。
老木匠看见我们，微笑着打招呼，然后拿一把卷尺量一个木桶的底，量得周长为4尺。
老木匠说：
“老师，我出个题给你口算，这只木桶底面周长约4尺，问这口桶半径为多少寸？
我一时语塞，尴尬地说：
老师傅，40÷
6.28口算不出来。
“紧接着老师傅就一口报出了底面半么约为6寸4，我顿感吃惊。
我掏出手机计算r=
=6.37≈6.4寸,结果与老木匠一报出的结果只相差那么一点点，而老木匠口算是多么快，多么的准确。
这时我兴趣很浓，便向老木匠虚心请教。
“就六个字，尺变寸，加六成。
”原来老木匠的计算方法是这样的：
4尺变4寸，4寸的60%是2.4，4+2.4=6.4寸。
请同学们利用所学知识来解释下其中的数学道理，本题相当于数学阅读理解题，假如周长为5尺，用口决计算5寸+5×
0.6寸=8寸,用计算器计算r=
=7.96≈8寸,结果相差很小,这是为什么呢?
同学们兴致很高,深深地被我将《九章算术》中“巧算圆半径”改编的故事吸引住了。
经过同桌讨论分析、推理与计算，学生纷纷举手发言，学生石林自告奋勇地在黑板上写下她的推理过程：
设圆的周长为C，半径为r，r=
+
×
0.6=
=3.125，原来老木匠将圆周率当作3.125，尽管有些误差，但算术算法很简单，在数学诂算中非常实用，反映了劳动人民在生产实践中的智慧，给人以无穷的回味。
美国科学家史家丹皮尔曾说：
“再没有什么故事能比科学思想发展的故事更有魅力了。
”数学史是数学的指南，教师可以引用或改编数学史上的数学题，创设情景，古为今用，能让学生感悟古人的智慧和方法，领略数学的魅力，数学教学一旦重演数学史话，课堂就会变得更有韵味，更加生机盎然。
片断5.数学围城的震憾——数学回归生活本位的思考。
问题：
将周长为C的丝线围成正三角形、正方形、正六边形、圆,谁的面积最大？
（学生活动、教学环节略）本题在训练学生作图能力，计算和推理能力，表述能力，进一步领悟圆之美在几何最优化中的应用。
学生探究结论：
周长一定的几何图形，圆的面积最大。
我随之编了一题：
传说古代一位女将军立了大功，皇帝准备重重封赏。
不料女将军拿出一块丝绸对皇帝说：
“陛下，我只需要用这块丝绸围上一块我选中的领土归我私邑，其它赏赐从免。
”国王欣然应允，结果女将军用这块丝绸剪成很细的丝带连成约31400米。
如果你是她的军师，你围的面积为公顷，才能更有效益。
（
取3.14）
本题在巩固学生归纳推理后的结论，增强教学的趣味性。
我点了一名学生上台演板。
学生很快都算出了结果：
7350公顷。
该板书内容：
围成圆面积最大C=2
r2=
·
）2=
=（3.14×
104）2÷
（4×
3.14）=
108=7.85×
107㎡=7.35×
103公顷=7350公顷。
绝大部分在草稿纸上也算出同样的结果。
我出于习惯地一问：
还有没有不同的结果？
话音刚落，一名后进生王伟站起来说：
“老师，我计算的结果为14700顷，是7350公顷的2倍。
我吃了一惊，班上一片哗然。
许多同学用不屑的眼神看着他，也许同学们认为这个同学肯定是公式用错了或计算时错误，我也有同感，但作为老师，我要为学生纠错。
首先肯定了他敢于举手回答问题，然后问：
“你是不是算错了。
”
生王伟：
“老师，我认真算了二遍，学生很有自信地答道。
“请你把你的思路和计算过程演示给全班同学好吗？
“
王伟信步走上讲台，娓娓道来：
“我今年暑假去外婆家玩，外婆家正位于海滩，暑假我经常在岸边拾贝壳，看海浪卷起干堆雪。
看到这道题，我情不自禁地想起海岸线。
我的设想是利用海岸线，只需要用丝带围成半圆，圈成领地，面积肯定大些。
说着，他在黑板上写出他的解答过程：
C=
r,s=
=14700公顷，同学们认可了王刚同学的巧妙构想，教室里响起一片掌声。
数学走向生活，数学来源于生活，阅历、经历才能让数学更贴近生活，才能孕育出数学的智慧。
生活世界与书本世界是构成学生各种认识素材的主要来源，学生在书本世界中所获得的真理性的认识必然根植于生活经验或生活世界，数学的应用性和理性思维的拓展只有在和谐生态的课堂上得以体现。
情境教学策略是指教师充分利用直观形象的具体材料,创设问题情境,激励学生主动参与,达到发展学生,实现教学目的的教学策略。
实践证明,情境教学在数学教学中有着明显的促进作用。
情境教学,是教师在课堂上或在课堂外创设尽可能真实和虚拟的情境,使学生在这种拟真实的情境中进行对话。
这样可以使学生学习数学的兴趣得到维持和发展,从而提高学生的数学水平。
课堂数学教学归根结底是问题情境的研究，无论数学那一章节，都有或多或少的值得探究的成分，这些成分不是学生能够发掘的，而应由老师首先去开采，然后由学生作进一步的发掘。
一个矿，首先当然是那些勘探者的发现，然后再由工人去开采。
老师就是那勘探者，学生就是那些工人。
教师在设置情景时要作多手准备，充分考虑学生所作出的应答。
在教学中，对学生的应答态度应予以充分的肯定。
多元探究情景教学的根本途径就是要求我们数学老师从多方面，用多种角度，多个层面设置探究点。
创设生态化的教学过程本篇节录是在数学新课程理念指导下开展的一次有益尝试，从学生课堂的表现和听课教师的反映看，效果确实很好.该课时主要注重了教学过程的生态化设计，力求将教材内容转化为教学内容,即尊重知识的合理结构、顺应学生的认知规律、顺从学生的心理意愿来开展教学,不生硬地讲授,不直接地灌输,一切都让知识自然的生成.讲求教学过程的生态化，带领学生感受数学，不是指纯自然、放任自流、任其自然、无所控制,而是适时、适度利用很好的问题（或素材）、情境、活动来营造一种自然的状态和适势的引导.从知识的生成规律和认知规律去设计的课堂必然是一种生动、活动、活跃的课堂，这其实也是学生生命价值和主体地位回归的过程，也才能真正实现学习是学生生命与生活活动的一部分.在教学中教师要善于运用课堂交流的形式，设置各种问题情景，灵活采取生活情景教学法、游戏情景教学法、操作情景教学法、问题情景教学法,引导参与、感知和思索数学知识，激发学习数学的兴趣，让进行数学思考，生成答案。
不同的问题情境中数学活动，就能将枯燥的数学学习活动变得生动活泼，使在愉悦中感受数学和获得数学知识和体验.
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