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完全意义上的代数学，需要符号系统的引入，才可获得真正的新生。
只有等到符号化体系之后，代数才成为一门独立的科学。
近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。
数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦达，其符号体系的引入导致了代数性质上的重大变革。
韦达以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量。
他把符号性代数称作“类的算术”，并规定了算术与代数的分界，认为代数运算施行于事物的类或形式，算术运算仅施行于具体的数，使代数成为研究一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛。
韦达的这种做法受到后人的赞赏，并被吉拉德和奥特雷德所继承。
特别是通过后者的著作《实用分析术》，在数学研究中使用符号逐渐成为一种风尚。
当然，韦达的符号代数并非没有缺陷，比如，他的符号代数保留了一种齐性原则，即体积与体积相加，面积与面积相加。
这一障碍直到笛卡尔解析几何的诞生才得到消除。
笛卡尔在其《几何学》中以任意选取的单位线段为基础，定义了线段的加、减、乘、除、乘方、开方等运算。
他以独特的字母符号来表示线段，由于他可用线段表示积、幂等，这样就突破了“齐次性”的束缚，而在几何中自由运用算术或代数术语，从而将几何问题化为代数问题。
笛卡尔还改进了韦达的代数符号系统，他首先用拉丁字母的前几个表示已知量，后几个表示未知量，成为今天的习惯。
继花拉子米一般性地解决了线性方程和二次方程的求解问题之后，三次方程和四次方程的求解问题开始成为数学中一个倍受人们普遍关注的基本问题。
然而，截止15世纪末，各种探索皆以失败而告终，这使得有些人开始怀疑三、四次方程与化圆为方问题一样难以解决。
直到1515年，波伦亚大学的数学教授费罗（S.Ferro,1465-1526）终于在此方向上获得了第一个突破。
他发现了形如x3+px=q（p,q>
0）的三次方程的代数解法。
1535年，意大利的另一位数学家塔塔利亚宣称自己还可以解形如x3+px2=q（p,q>
0）的三次方程。
然而，按照当时的风气，学者们多不愿公开自己的研究成果，因此，这些方程的解法仍是一种秘密。
1545年，一位米兰学者卡尔丹诺（G.Cardano,1501-1576）突然出版了一本专著《大法》（ArsMagna），向世人公开了上述方程的解法。
现在我们都习惯于将其称为卡尔丹诺公式。
卡尔丹诺还在《大法》中收录了其弟子费拉里（L.Ferrari,1522-1565）对四次方程的根式解法。
因此，《大法》一书包含了三次和四次方程的解法。
其中包含的四次方程皆通过一定的代换，转化为可解的三次方程获得根式求解。
在对三次方程的求解过程中，会出现一种所谓的“不可约”情形，这实质上是与复数的不期而遇。
卡尔丹诺已认识到三次方程的复数根是成对出现的，并且三次方程有三个根，四次方程有四个根。
1572年，意大利数学家邦贝利（R.Bornbelli）在其所著教科书《代数》中引进了虚数，用以解决三次方程的不可约情况，并以dimRq11来表示
。
在此基础上，荷兰人吉拉德（A.Girard）在其《代数新发现》（1629）一书中对代数方程的解作出了进一步推断：
对于n次多项式方程，如果把不可能的（复数根）考虑在内，并包括重根，则应有n个根，这就是著名的“代数基本定理”。
不过吉拉德没有给出证明。
卡尔丹还发现了三次方程的三根之和等于二次项系数的相反数，每两根乘积之和等于一次项的系数等。
这种根与系数的关系问题后来先后由韦达（F.Vieta,1540-1603）、格列高里（J.Gregory,1638-1675）和牛顿（IsaacNewton,1642-1727）等人作出了系统阐述。
由此可见，对于代数基本问题，实际上也是当时整个数学的一个基本问题之一的关注，虽然在最初只产生了一些零星的结果，但正是这些有限的进展，却成就了后来的数学发展，成为高次代数方程理论一系列漫长而影响深远的探索的起点。
1.2代数方程的可解性
代数学的下一次重大进展，发生在19世纪初，对于整个代数学史而言，该进展可谓是代数学的一次革命性变化，具有划时代的意义。
那就是群的发现。
它是一代代数学家关注于代数方程可解性的基本问题而获得的最伟大的收获。
在此之前，数学经历了连续两个世纪的开拓与发展，到18世纪后半叶时，数学内部悄悄积累的矛盾已经开始酝酿着新的变革。
当时数学家们面临一系列数学发展里程中自身提出的、长期悬而未决的问题，其中最突出的是：
高于四次的代数方程的根式求解问题、欧几里得几何中平行公理的证明问题以及牛顿、莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。
在19世纪初，这些问题已变得越发尖锐而不可回避。
它们引起数学家们集中的关注和热烈的探讨，并导致了数学发展的新突破。
与上世纪末部分数学家们的悲观预料完全相反，数学在19世纪跨入了一个前所未有的、突飞猛进的历史时期。
中世纪的阿拉伯数学家把代数学看成是解代数方程的学问，他们系统地解决了二次方程的求根问题。
文艺复兴时期的欧洲数学家们继承了这一传统，但又有所突破。
他们成功地解决了三次和四次代数方程的求根问题，并将符号与数字的运算统一起来，创立了类的算术。
接下来，数学家们自然希望能尽快找到一般的五次或更高次的代数方程的根式解。
即在n>
5时，对于形如xn+a1xn–1+…+an–1x+an=0的代数方程，它的解能否通过只对方程的系数作加、减、乘、除和求正整数次方根等运算的公式得到。
所以，代数学在当时面临的基本问题变为：
五次或更高次的代数方程是否存在根式解。
在解出三次和四次代数方程后的近两个半世纪内，很少有人对此产生过怀疑。
然而事实却是，所有寻求这种解法的努力都以失败而告终。
于是，数学家们开始从另一方面来思考这一问题。
1770年，拉格朗日发表了他的《关于代数方程解的思考》一文，讨论了在他之前人们所熟知的解二次、三次、四次方程的一切解法，并且指出这些成功解法所根据的情况对于五次以及更高次方程是不可能发生的。
拉格朗日发现三次方程有一个二次辅助方程，其解为原三次方程根的函数并且在根的置换下仅取两个值；
四次方程则有一个三次辅助方程，其解在原方程根的置换下仅取三个不同值。
他称这些辅助方程的解为原方程根的“预解函数”，并试图进一步将上述方法推广到五次和五次以上的方程。
他继续寻找五次方程的预解函数并希望它是低于五次的方程的解，但没有成功，因而猜测高次方程一般不能根式求解并试图对这种不可能性作出证明，经过努力，他不得不坦言这个问题“好象是在向人类的智慧挑战”。
拉格朗日最有启发性的思想是研究根的对称函数并考虑一个有理函数当其变量发生置换时取值的个数，这蕴含了置换群的概念。
到了18世纪的最后一年，意大利的鲁菲尼（P.Ruffini,1765-1822）用拉格朗日的方法证明了不存在一个预解函数能满足一个次数不低于五次的方程，并明确提出要证明高于四次的一般方程不可能用代数方法求解。
在这一问题上，18世纪的数学家可以说已经走到了成功的边缘，他们虽然未能达到目标，却为下一世纪的最终冲刺指明了方向。
拉格朗日的文章发表过后半个世纪，一位在新世纪诞生于挪威的年青人以其才气宣告了人类智慧的胜利。
1824年，年仅22岁的数学家阿贝尔自费出版了一本小册子《论代数方程：
证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了以下事实：
如果方程的次数大于等于五，那么任何以其系数符号组成的根式都不可能表示方程的一般解。
这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔彻底解决了。
他还考虑了一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一类现在被称为“阿贝尔方程”。
在这一工作中，他实际上引进了“域”这一重要的近世代数概念，虽然他没有这样来称呼。
五次及更高次方程代数解的存在性问题似乎就这样解决了，然而，数学家们却并未就此停步。
以下，我们就来说说代数学在19世纪所发生的那场革命性变革，即群的发现和一位天才数学家伽罗瓦的故事。
1.3群的发现
阿贝尔关于代数方程的工作只是证明对于一般的五次和五次以上方程根式解是不可能的，但并不妨碍人们去求一些特殊的代数方程，比如阿贝尔方程的根式解。
在阿贝尔的工作之后，数学家所面临的基本问题变为：
什么样的特殊方程能够用根式来求解？
解决这一问题的是一位与阿贝尔一样年青的法国数学家伽罗瓦（E.Galois,1811-1832）。
伽罗瓦在1829-1831年间完成的几篇论文中，建立了判别方程根式可解的充分必要条件，从而宣告了方程根式可解性这一经历了三百年的难题的彻底解决。
伽罗瓦的思想是将一个高次方程的所有根作为一个整体来考察，并研究它们之间的排列或称“置换”。
他在这种置换间定义了一种乘积运算，使得这些置换的全体构成一个集合，而其中任意两个置换的乘积仍在该集合中。
伽罗瓦称之为“群”。
这是历史上最早的“群”的定义，不过它只是针对一个具体置换群所作的定义，还不是抽象意义上群的一般定义。
但伽罗瓦正是利用他提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的。
进一步考虑一个方程的根形成的置换群中某些置换组成的“子群”，这个群，伽罗瓦称之为“方程的群”，也就是我们今天所说的“伽罗瓦群”。
其含义如下：
考虑由方程系数的有限次加、减、乘、除四则运算可能得到的一切表达式的集合。
这个集合现在叫方程的“基本域”，并记为F=Q（a1,a2,…an），是为由方程系数a1,a2,…an生成的一个有理数域。
以F中的元素为系数，方程的根所形成的全部代数关系，在一些置换之下将保持不变，这些置换所形成的子群，就是伽罗瓦群。
需要指出，保持根的代数关系不变，就意味着在此关系中根的地位是对称的。
因此，伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性。
伽罗瓦指出，方程的群与方程是否根式可解存在着本质联系，对方程的群的认识，是解决全部根式可解问题的关键。
伽罗瓦证明了，当且仅当方程的群满足一定的条件（即方程的群是可解群）时，方程才是根式可解的，也就是说，他找到了方程根式可解的充分必要条件。
这里不打算详述伽罗瓦理论的细节，不过我们对于伽罗瓦解决方程根式可解这个难题的思路已经有了一个大致的了解。
在伽罗瓦之前，拉格朗日已经讨论过根的置换并意识到置换理论是“整个问题的真正哲学”，但他却未能继续前进。
只是伽罗瓦通过引进全新的群的概念，才明确指出了其间的实质联系，从而解决了包括欧拉、拉格朗日等许多大数学家都感到棘手的问题。
被伽罗瓦彻底攻克虽然是三百年前的老难题，但他的思想却大大超出了他的时代。
像阿贝尔一样，伽罗瓦的工作在他生前完全被忽视了，而且和阿贝尔相比，伽罗瓦的身世更为悲惨。
伽罗瓦出生在巴黎附近一个小镇的镇长家庭，家境本很优裕，但他生逢法国大革命的动荡时代，自18岁丧父之后，各种不幸便接踵而至。
他先是报考向往已久的巴黎综合工科大学而遭失败。
后虽考进巴黎高等师范学校，但第二年却因参加反对波旁王朝的“七月革命”而被校方开除，再后更因参加政治活动而两度被捕入狱。
1832年5月的一天，伽罗瓦在一场决斗中被杀身亡。
死时尚不足21岁。
伽罗瓦的数学研究，就是在这种激烈的动荡和遭受种种打击的情况下利用极为有限的时间进行的。
他的工作可以看成是近世代数的发端。
这不只是因为它解决了方程根式可解性这样一个难题，更重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容和方法上的深刻变革。
伽罗瓦的有关文章在他被杀14年后，才于1846年首次获得公开发表。
随之，在1849-1854年间，凯莱（A.Caylay）在其影响下指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成群。
人们还发现高斯在数论中研究过的具有同一判别式的二次型类对于型的合成运算也构成群。
1868-1869年间，约当（C.Jordan）在物理学家布拉维斯（A.Bravais）关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统研究。
约当的工作又影响克莱因（F.Klein）关于几何分类中的无限变换群的研究。
克莱因在1872年发表的《爱尔朗根纲领》正是基于这项工作，提出了几何学统一的思想。
1874-1883年间，挪威数学家李（S.Lie）又研究了无限连续变换群。
至此，数学家们终于完全认识到了伽罗瓦群理论的重要意义，而且“群”不再被局限于“置换”的概念，它可以是一个更加普遍的概念。
到19世纪80年代，关于各种不同类型的群的研究使数学家们有了足够的积累来形成抽象群的概念。
群可以理解为一类对象的集合，这些对象之间存在着类似于加法或乘法那样的二元运算关系，这种运算使得该集合满足封闭性、结合性，并在其中存在着单位元和逆元素。
在抽象的群概念中，其元素本身的具体内容已无关紧要，关键是联系这些元素的运算关系。
而且，这种运算关系不再仅仅局限于我们熟知的加法或乘法。
这样建立起来的一般群论也就成了描写其他各种数学和物理现象的对称性质的普遍工具。
事实上，在19世纪末，群论已被应用于晶体结构的研究，在现代物理中，群论更成为研究基本粒子、量子力学的有力武器。
伽罗瓦理论现在已经被公认为19世纪数学的最突出的成就之一。
群概念的划时代意义在于，代数学由于群的概念的引进和发展而获得了新生，它不再仅仅是研究代数方程，而更多地是研究各种抽象“对象”的运算关系，一方面，数的概念有了极大推广，另一方面，许多抽象的对象，在更高层次上与数的概念获得了统一。
19世纪中叶以后，这种抽象的“对象”层出不穷，从而为20世纪代数结构观念的产生奠定了基础。
这种观念向数学其他领域的渗透，催生了众多的数学分支，代数数论、超复数系、线性代数、群论、环论、域论等新方向构架起了代学数庞大的新体系。
2.几何学的变革
2.1近代几何学的进展
几何学中创造性活动的复兴晚于代数学。
其最初的动力除天文学之外，更来源于艺术。
中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性。
而文艺复兴时期，描绘现实世纪成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世纪绘制到二维画布上时，面临着这样两个值得思考的基本问题：
其一是，一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？
其二是，若两物体在各自相异的光源下具有相同物影，那么这两个物体之间具有什么关系？
正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科——透视学的兴起，从而诞生了射影几何学。
对于透视法所产生的问题从数学上直接给予解答的第一个人是德沙格（G.Desargues,1591-1661）。
他原是法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，靠自学成名。
他的主要著作则是1639年发表的《试论锥面截一平面所得结果的初稿》。
该书充满了创造性的思想，其中之一就是他从焦点透视的投影与截影原理出发，对平行线引入无穷远点的概念，继而获得无穷远线的概念。
德沙格的另一项重要工作是从对合点问题出发首次研究了调和点组理论，并以其理论解决了许多几何问题。
继德沙格之后，法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）、拉伊尔（P.deLaHire,1640-1718）等，也先后在射影几何方面取得了不少新成果。
然而，令人遗憾的是，德沙格等人把他们使用的投影分析方法和所获得的结果，仍旧视为欧几里得几何的一部分。
因而在17世纪人们对这二种几何学并不加任何区分。
但不可否认的是，在当时由于这一方法而诱发了一些新的思想和观点。
那就是一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状；
变换与变换不变性；
仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量的几何新方法。
17世纪数学家们的时尚是理解自然和控制自然，用代数方法处理数学问题一般更为有效，也特别容易获得实践所需的定量结果。
而射影几何学家的方法是综合的，而且得出的结果也是定性的，不那么有用。
因此，射影几何产生后不久，很快就让位于代数、解析几何和微积分，终由这些学科进一步发展出在近代数学中占中心地位的其他学科。
德沙格、帕斯卡、拉伊尔等人的工作与结果也渐被人们所遗忘，迟至19世纪才又被人们所重新发现。
近代数学本质上可以说是变量数学。
从16世纪起，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，因而变量数学的兴盛并不足为奇。
变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。
解析几何的基本思想是在平面上引进所谓“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实数对之间建立一一对应的关系。
以这种方式可以将一个代数方程与平面上的一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现新的几何结果。
解析几何的真正发明者首推笛卡尔。
他在1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录，《几何学》即是其中之一，解析几何的发明就包含在这篇附录中。
笛卡尔的出发点是一个著名的希腊数学问题，即帕波斯问题。
该问题是求与空间若干条直线具有某种确定关系的点的轨迹。
根据帕波斯给出的条件，他曾宣称，当给定的直线为三条或四条时，所得的轨迹是一条圆锥曲线。
笛卡尔在《几何学》第二卷中，证明了四线问题的帕波斯结论。
他的做法在实际上建立起了历史上第一个倾斜坐标系。
在《几何学》第三卷中，我们还可以看到笛卡尔也给出了直角坐标系的例子。
有了坐标系和曲线方程的思想，笛卡尔又提出了一系列新颖的想法，如：
曲线的次数与坐标轴选择无关；
坐标轴选取应使曲线方程尽量简单；
利用曲线的方程表示来求两条不同曲线的交点；
曲线的分类等等。
“笛卡尔之梦”已经是我们熟悉的一个故事，一种方法，甚至一种哲学。
笛卡尔方法论原理的本旨是寻求发现真理的一般方法。
可以看出，笛卡尔《几何学》的整个思路与传统的方法大相径庭。
笛卡尔在《方法论》中尖锐地批判了经院哲学特别是被奉为教条的亚里士多德“三段论”法则，认为三段论法则“只是在交流已经知道的事情时才有用，却不能帮助我们发现未知的事情”。
他认为“古人的几何学”所思考的只限于形相，而近代的代数学则“太受法则和公式的束缚”，因此他主张“采取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短。
”而解析几何正象一座沟通的桥梁，使得两个彼此相隔的领域，即几何与代数在笛卡尔那里达到了完美的统一。
2.2非欧几何的诞生
解析几何改变了几何研究的方法，但没有从实质上改变欧几里得几何本身的内容。
解析方法的运用虽然在相当长的时间内冲淡了人们对综合几何的兴趣，但欧几里得几何作为数学严格性的典范始终保持着神圣的地位。
可以说，直到18世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下。
许多数学家都相信欧几里得几何是绝对真理，然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击。
事实上，从公元前3世纪到18世纪末，数学家们虽然相信欧几里得几何的完美与正确，但有一件事却始终让他们耿耿于怀，那就是欧几里得第五公设，也称平行公设。
在欧几里得的所有公设中，唯独这条公设显得比较特殊。
它的叙述不像其他公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理，并产生了从其他公设和定理推出这条公设的想法。
但直到18世纪中叶，历史上关于第五公设的每一种“证明”要么隐含了另一个与第五公设等价的假定，要么存在着其他形式的推理错误。
而且，这类工作中的大多数对数学思想的进展没有多大现实意义。
因此，达朗贝尔无奈地将其称为“几何原理中的家丑”。
但就在这一时期前后，对第五公设的研究开始出现有意义的进展。
在这方面的代表人物是意大利数学家萨凯里（G.Saccheri）、德国数学家克吕格尔（G.S.Klü
gel）和瑞士数学家兰伯特。
萨凯里最先使用归谬法来证明平行公设。
他在一本名叫《欧几里得无懈可击》（Euclidesabomninaevovindicatus，（EuclidFreedofallBlemish）1733）的书中，从著名的“萨凯里四边形”出发来证明平行公设。
萨凯里四边形是一个等腰双直角四边形，即假设四边形有一对对边相等，且它们皆与第三边垂直。
不用平行公设也可以证明，这对等边与第四边所夹的角相等，而该夹角无非有三种情况，即直角、钝角、锐角。
显然直角是与第五公设等价的。
萨凯里的计划是证明后两种情形可以导致矛盾。
根据归谬法就只剩下直角一种情形。
这样就证明了第五公设。
萨凯里在假定直线为无限长的情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中，他获得了一系列新奇有趣的结果，如三角形三内角之和小于两个直角；
过给定直线外一给定点，有无穷多条直线不与该给定直线相交，等等。
虽然这些结果实际上并不包含任何矛盾，但萨凯里认为它们太不合情理，便以为自己导出了矛盾而判定锐角假设是不真实的。
1763年，克吕格尔首先指出萨凯里的工作实际上并未导出矛盾，只是得到了似乎与经验不符的结论，从而开始怀疑平行公设能否由其他公理加以证明。
他的见解启迪了兰伯特对这一问题进行了更加深入的探讨。
1766年，兰伯特写出了《平行线理论》一书。
在这本书中，他也像萨凯里那样考虑了一个四边形，不过他是从一个三直角四边形出发，按照第四个角是直角、钝角还是锐角作出了三个假设。
由于钝角假设导致矛盾，所以他很快就放弃了它。
与萨凯里不同的是，兰伯特并不认为锐角假设导出的结论是矛盾，而且他认识到一组假设如果不引起矛盾的话，就提供了一种可能的几何。
因此，兰伯特最先指出了通过替换平行公设而展开新的无矛盾的几何学的道路。
萨凯里、克吕格尔和兰伯特等，都可以看作是非欧几何的先行者。
然而，当他们走到了非欧几何的门槛前，却由于各自不同的原因或则却步后退，或则徘徊不前。
突破具有两千年根基的欧几里得几何传统的束缚，创立新的几何观念，还需要高斯、波约（J.Bolyai,1802-1860）和罗巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский）的出场。
高斯第一个认识到，非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧几里得几何一样正确的新几何学。
从高斯的遗稿中可以了解到，他从1799年（时年22岁）开始意识到平行公设不能从其他的欧几里得公理推出来，并从1813年起发展了这种平行公设在其中不成立的新几何。
也许是由于自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，从而担心世俗的攻击，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著。
就在数学声誉甚隆的高斯决定将自己的发现秘而不宣时，一位尚名不见
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