计算方法刘师少版课后习题答案.docx
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计算方法刘师少版课后习题答案
1.1设3.14,3.1415,3.1416分别作为π的近似值时所具有的有效数字位数
解近似值x=3.14=0.314×101,即m=1,它的绝对误差是-0.0015926⋯,有
xx0.00159260.51013.
即n=3,故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416,它的绝对误差是0.0000074⋯,有
xx..
即m=1,n=5,x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415,它的绝对误差是0.0000926⋯,有
xx..
即m=1,n=4,x=3.1415有4位有效数字.
这就是说某数有s位数,若末位数字是四舍五入得到的,那么该数有s位有效数字
1.2指出下列各数具有几位有效数字,及其绝对误差限和相对误差限:
2.0004-0.0020090009000.00
解
(1)∵2.0004=0.20004×101,m=1
绝对误差限:
xxx0.200040.0000490.5104
m-n=-4,m=1则n=5,故x=2.0004有5位有效数字11
x1=2,相对误差限r10(n1)10150.000025
1r2x122
(2)∵-0.00200=-0.2×10-2,m=-2
xxx(0.00200)0.00000490.5105m-n=-5,m=-2则n=3,故x=-0.00200有3位有效数字
113x1=2,相对误差限r1013=0.0025
1r22
(3)∵9000=0.9000×104,m=4,
xxx90000.490.5100
m-n=0,m=4则n=4,故x=9000有4位有效数字
114r10=0.000056r29
(4)∵9000.00=0.900000×104,m=4,
xxx9000.000.00490.5102m-n=-2,m=4则n=6,故x=9000.00有6位有效数字
1
相对误差限为r1016=0.00000056
r29
由(3)与(4)可以看到小数点之后的0,不是可有可无的,它是有实际意义的.
1.3ln2=0.69314718⋯,精确到103的近似值是多少?
解精确到103=0.001,即绝对误差限是=0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以.ln20.693
313
2.1用二分法求方程x3x10在1,2的近似根,要求误差不超过103至少要二分多少?
2
解:
给定误差限=0.5×10-3,使用二分法时,误差限为
x*xk1k1(ba)只要取k满足k11(ba)即可,亦即
lg(ba)lglg0.53lg10k119.96678
lg2lg2
只要取n=10.
2.3证明方程1-x–sinx=0在区间[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不超过
0.5×10-4的根要二分多少次?
证明令f(x)=1-x-sinx,
∵f(0)=1>0,f
(1)=-sin1<0
∴f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]有根.又
f(x)=-1-cosx<0(x[0.1]),故f(x)在[0,1]单调减少,所以f(x)在区间
[0,1]内有唯一实根.
给定误差限=0.5×10-4,使用二分法时,误差限为
x*xk1k1(ba)只要取k满足k11(ba)即可,亦即
lg(ba)lglg0.54lg10
k1113.2877
lg2lg2
只要取n=14.
32
2.4方程x3x210在x=1.5附近有根,把方程写成四种不同的等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1)x112,迭代公式xk1112
(2)x31x2,迭代公式xk131xk2
x2k1xk2
(3)x21,迭代公式xk11(4)xx31,迭代公式xk1xk31
x1k1xk1
试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似根。
12
解:
(1)令f(x)12,则f(x)23,由于
x2x3
21
f(x)330.591,因而迭代收敛。
x31.53
2
(2)令f(x)31x2,则f(x)2x(1x2)3,由于
3
f(x)321.5220.341
33(11.52)2
迭代收敛,且第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛速度要快。
2.5
解:
2.7
解:
3)令f(x)x1
1,则f(x)
f(x)2(1.51)31迭代发散。
4)令f(x)x31,则f(x)
22
x21.52
1,由于
2(x1)3
x2(x3
1
1)2,由于
1
c
x2
xx2xcx
1
2
x
迭代格式为
注:
若令x
f(x)1
x311.531
迭代发散。
具体计算时选第二种迭代格式,
n=0,1,⋯
xk131xk2
计算结果如下:
1.5,x1
1.468817,3
1.4658768
2)
x0
x3
x6
x9
1.4656000
xx
令x12
x
1.481248,x2
x41.4670480,x71.465710,2
1.4727057
x51.466243x81.4656344
xx
xk11,取c1x
f(x)x1,f(x)1,则
c
cx,显然迭代格式不法不符合题意。
1
c,取f(x)c12,f(x)23,则xx
1
c2
x
2
3
x
3xcx3(3cx2)x
2222
迭代格式xk1(23c2xk2)xk
14x8104,
2对于迭代函数(x)xC(x22),试讨论:
(1)当C取何值时,xk1(xk),(k0,1,2,)产生的序列xk
(2)C取何值时收敛速度最快?
1)(x)xC(x22),(x)12Cx,由已知条件知,当
(2)12C21,即
x9
x91.4656000
收敛于2;
32
f(x)(x3a)2。
写出解f(x)0的Newton迭代格式。
证明此迭代格式是线性收敛的。
解:
因f(x)(x3a)2,故f(x)6x2(x
f(xn)
n,n0,1,
f(xn)
2.10设
1)
2)
a),由Newton迭代公式:
xn1xn
1C0时,迭代收敛。
2
2)当(x)0时迭代至少是二阶收敛的,
(2)12C20,所以C
收敛最快。
即
1时收敛最快。
22
32
(xn3a)2
23
6xn2(x3na)
以下证明此格式是线性收敛的
xn1xn
5xna
66xn2
n0,1,
试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式:
(2)不使用开方和除法运算.
c
(1)不使用除法运算;
c
1
1)令c,取f(x)
x
因迭代函数(x)5xa
66x2
5a(3a)35
636
故此迭代格式是线性收敛的。
而(x)
c,f(x)12,则
xx
6
1
0
2
a3*3
x3,又x*3a,则
3
第三章解线性方程组的直接方法习题及解答
(考试时二元)3.2用列主元素消去法解线性方程组
3x12x26x34
10x17x27
5x1x25x36
解:
第一步列选主元10,将第一和第二行交换,再消去
x1,得
10
7
0
x1
7
1
61
0
6
x2
10
10
5
x3
5
0
5
2
2
1
0
0.4
0
6
0.2
消元
0
1
1.2
0
0.2
0.4
0
0
0.2
1
0.2
0.6
1
0
0
2
1
1
消元
0
1
0
6
1
4
0
0
1
5
1
3
2
1
1
则
A1
6
1
4
5
1
3
3.4用矩阵的直接三角分解解方程组
2x1x2x31
4x1x23x37
6x19x2x33
解设系数矩阵A的杜利特尔分解为A=LU,即
x2,得
10
7
0
x1
7
5
5
0
5
x2
2
2
31
x3
31
0
0
5
5
5
第二步列选主元,将第二和第三行交换,再消去
2
211
1
u11u12u13
413
l211
u22u23
691
l31l321
u33
将右端两矩阵相乘后比较两端,可得
u112,u121,u131
回代求解得x31,x21,x10
3.3用高斯-约当法求逆矩阵
123
l214/u112,l31
12
1
34
310
0
解:
21
201
0
13
400
1
21
20
12
31
列选主
13
40
1
0.5
0
1.5
消元
0
2.5
1
0.5
列选主
0
2.5
0
1.5
A212
10
00
01
1
0
0.5
0
2
1
0.5
0
3
0
0.5
1
1
0
0.5
0
3
0
0.5
1
2
1
0.5
0
6/u113
u233l21u135
2
得u3312
1
211
21
U
35
321
12
L
再求解方程组
l32
1,
u221l21u123,l31u12l32u229,得l31u13l32u23
u33
y1
2y1y2
3y12y2
LY=b,UX=Y,
17,y33
即:
2x1x2x3y13x25x3y212x3y3
先由前一个方程组求得y11,y29,y318,代入后一个方程组,求得原方程的解为
113
x1,x2,x3
222
3.7证明对任意非奇异矩阵A、B有
证:
A1B1
AB
A1A
BB1
A1B1A1B1AB
A1(AB)B1
(IA1B)B1
B1A1
A1B1
等式成立
3.8证明对任意非奇异矩阵A有
A1
证:
因为
所以
1
A
A1A
A1AA
3.9
(1)
(2)
(3)
证:
(1)
1
A
B∈Rnn为非奇异矩阵,证明
A1
设A、
Cond(A)≥1,Cond(A)=Cond(A-1);
Cond(A)=Cond(A),R,0;
Cond(AB)≤Cond(A)Cond(B)。
A
Cond(A)A1
Cond(A)A
A1AI1A(A1)1A1Cond(A1)
1
(2)Cond(A)(A)1(A)1A1AA1ACond(A)
(3)
Cond(AB)(AB)1ABA1B1ABA1AB1B
Cond(A)Cond(B)
3.10设线性方程组为
7x110x21
5x17x20.7
(1)试求系数矩阵A的条件数cond(A);
(2)若右端向量有扰动b(0.01,0.01)T,试估计解的相对误差。
解:
(1)A710,A1710
5757
Amax17,1217
A1max17,1217
Cond(A)A1A1717289
2)本题是讨论方程组的右端项有扰动δb时对解的相对误差的估计,由解向量的精度的估计式:
XXCond(A)
X
b0.012892.89b1
第四章解线性方程组的迭代法习题及解答
4.1用Jacobi迭代格式解方程组10x12x2x33
2x110x2x315
x12x25x310要求x(k1)x(k)0.005
解Jacobi迭代格式为
x1(k1)0.2x2(k)0.1x3(k)0.3
x2(k1)0.2x1(k)0.1x3(k)1.5
取初始迭代向量
x(0)
(0,0,0)T
,迭代结果为:
x
(1)
(0.3000,
1.5000,
2.000)T
x
(2)
(0.8000,
1.7600,
2.6600)T
x(6)
(0.9963,
1.9961,
2.9938)T
x(7)
(0.9986,
1.9986,
2.9977)T
由于
x(7)
x(6)0.5
102
x3(k1)0.2x1(k)0.4x(2k)2
所以满足要求的解为
Tx(0.9986,1.9986,2.9977)T
4.2用高斯—塞德尔迭代法求解线性方程组
3x1x22
x12x21
要求x(k1)x(k)0.005
解:
建立高斯—塞德尔迭代格式:
得10,2,3
,故(B)2,由(B)1,得
2,即
2时,(B)1,
1(k)2
x2
323
1(k1)1x1
212
x(0)
(0,0)T,
迭代结果为:
x
(1)
(0.6667,
0.1667)T
x
(2)
(0.6111,
0.2222)T
x(3)
(0.5925,
0.2037)T
x(4)
(0.5988,
0.2006)T
x(5)
(0.6000,
0.2000)T
x1(k1)
x2(k1)
取初始迭代向量
x(5)x(4)0.005
雅可比迭代法收敛。
4.6设线性方程组
x1x24
2x1x33
试求能使高斯-赛德尔迭代收敛的的取值范围。
高斯-赛德尔迭代矩阵
11
Gs(DL)1U
2
0210
00
1210
1100
10
它的特征多项式为
det(IGs)
故方程组的近似解为x(0.600,0.200)T
4.4线性方程组Axb的系数矩阵为
13
A=12
32
试求能使雅可比迭代法收敛的的取值范围。
其特征值为10,
时,
解当0时,雅可比迭代矩阵
2
0
2
0
1
3
1
2
3
2
1
3
IB
363
92
)0
当221,
(Gs)1
高斯-赛德尔迭代收敛
第五章插值与曲线拟合习题与解答
5.1已知函数y=f(x)的观测数据为
xk
-2
0
4
5
yk
5
1
-3
1
试构造不超过三次的拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式,并验证插值多项式的惟一性,再计算f(-1)的近似值.。
1)建立拉格朗日插值多项式:
构造基函数
x(x4)(x5)
l0(x)
(20)(24)(25)
l(x)(x)(x)(x)
x(x4)(x5)
84
(x)(x)(x)
(())()()l(x)()()()
x(x)(x)
l3(x)(5(x2)(25)x(0x)(54)4)
所求三次多项式为
(x2)x(x4)
35
n
P3(x)=yklk(x)
k0
=x(x)(x)+(x)(x)(x)+()x(x)(x)+(x)x(x)
=xxx
x
f(x)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
-2
5
0
1
-2
4
-3
-1
1/6
5
1
4
1
5/42
2)建立牛顿插值多项式:
建立差商表为
牛顿插值多项式为
N3(x)f(x0)fx0,x1(xx0)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)
fx0,x1,x2,x3(xx0)(xx1)(xx2)
N3(x)52(x2)1x(x2)5x(x2)(x4)
642
53
x
42
12
x
14
55
21
x1
(3)惟一性验证:
将拉格朗日插值多项式与牛顿插值多项式比较它们是完全一样的,这一结论和插值多项式的惟一性一致。
(4)计算f(-1)
4
5.6设f(x)x4,试利用拉格朗日余项定理给出多项式P(x)。
解根据拉格朗日余项定理
f(x)以-1,0,1,2为节点的三次插值
f(4)()
f(x)P(x)(xx0)(xx1)(xx2)(xx3)4!
x4P(x)x(x1)(x1)(x2)
P(x)2x3x22x
5.10若f(x)3x21,求f1,2,3和f1,2,3,4。
f()
解f1,2,3f()3,f1,2,3,4=0
2!
5.13求满足以下条件的Hermite插值多项式
xi
0
1
f(xi)
0
1
f(xi)
1
2
解令所求插值多项式为
P3(x)a3x3a2x2a1xa0
P3(x)3a3x22a2xa1依所给插值条件有
0P3(0)a0
1P3(0)a1
1P3
(1)a0a1a2a3
2P3
(1)a12a23a3由此解出
a00,a11,a21,
故有
P3(x)x3x2x第六章数值积分与微分习题与解答
6.1用梯形公式、
a3
辛卜生公式和柯特斯公式计算积分
解记a=0,b=1,
f(x)ex,f(x)
f(x)ex,则
ex,f(x)
I则梯形公式exdxbaf(a)f(b)
0exdx
10e0
2
其误差为
R(f)
3
(b12a)f()
1
e
12
辛卜生公式
(f
其误差为
1
exdx,并估计各种方法的误差(保留5位小数)0
(4)
(x)ex,f(5)(x)ex,f
e10.6839
1120.0833330,1
160e04e0.5e10.6323
(6)(x)e
R(f)
(ba)baf(4)()
1802f()
5
(ba)5
e
2880
1
281800.000350,1
b
af(x)dx
ba
baf(a)4f
a2bf
柯特斯公式
具有3次代数精度。
1exdxb090
3
41
17
7e032e412e232e47e1
24.921637.2783615.115722.57516
解:
设f(x)=1,公式左边
b
1dxba,公式右边
a
56.88727
90
0.6321
f(x)=x,公式左边
b
xd
a
2a2
,公式右边
R(f)
8baf(6)()
9454
90其误差为
2
94546e
f(x)=x2,左边
x2dx
6.2
6.3
b3a
右边
260.0000005167
94546
0,1
3
f(x)=x3,左边
f(x)=x4,左边
)f()的代数精度.
b3
x3dxa
3
b4a4
右边
ba
(141)ba
6
baabb
(a4b)
2
a2
ba
6
ba
试确定求积公式f(x)dxf(
k
[依定义,对xk(k=0,1,2,3,⋯),找公式精确成立的k数值]当f(x)取1,x,x2,⋯计算求积公式何时精确成立
(1)取f(x)=1,有
左边=f(x)dxdx,右边=
(2)取f(x)=x,有
左边=f(x)dxdx,右边=
(3)取f(x)=x2,有
左边=f(x)dx
(4)取f(x)=x3,有
左边=f(x)dx
(5)取f(x)=x4,有
左边=f(x)dx
6.4
f()f()
f()f()
dx,右边=f()f()
xdx,右边=f(
xdx
当k3求积公式精确成立,而
解:
)()
右边=f()f()()()
x4公式不成立,可见该求积公式具有3次代数精度
用代数精度定义直接验证辛卜生公式
b