第二十三届北京高中数学知识应用竟赛初赛试题含答案文档格式.docx
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二、一次学生科技成果报告会需要做
横幅，上面有一个字母J在剪这个字时，
先将正方形纸对折，并剪出一个矩形和四
分之一圆环的连体，打开后，剪掉多余的
矩形，即得到字母J.剪纸的示意图如图1,
2,3所示，
问：
如何剪出好看的字母J?
三、将若干个物品合理地装到给定的几个箱子里面，在技术上是非常重要的，往往涉及到体积长度、重量等多个因素。
比如，有几个容量为10吨的一样的箱子和6件重量分别是5吨、4吨、3吨、3吨、3吨、2吨的物品，若先在一个箱子里装入5吨、4吨的物品，这个箱子再也装不下其他物品了而剩下的4件物品共11吨，无法全部装入第2个箱子，就需要三个箱子装这6件物品。
而若先在个箱子里裴入5吨、3吨、2吨的物品各一件，则两个箱子就能全部装下所有物品。
对于装箱问题，一般来讲，人们总是希望所用的箱子尽量少，计算机内存分配就是典型的装箱问题，这类问题的计算是非常复杂的，很难找到最优的算法及相应的装箱结果。
于是人们利用经验和逻辑尽量寻找较为理想的解决办法，如果只考虑重量这一因素，“首次适应，从最重到最轻”的方法被普遍应用，该方法是按照由重到轻对物品进行排列，然后依次将物品装入首次适合其重量的箱子里，如果有已经装物的箱子能够放下这个物品，就不用空箱子。
现在有充分多的完全一样、容量为524kg的箱子，有33件物品，其重量如下表所示：
物品重量（kg）
442
252
127
106
85
84
46
37
12
10
9
物品数量（件）
1
7
5
4
2
3
6
运用“首次适应，从最重到最轻”的方法装箱。
回答下面问题：
（1）装下这33件物品需要多少个箱了?
并列出装箱过程。
（2）如果去掉重量46kg的那件物品，将其他32件物品装箱，需要多少个箱子?
（3）如果把46kg的物品换成其他数值，其他物品不变，可以用
（1）中得到的箱子数装下这33件物品吗?
四、近年来，每到春节都有支付宝集福活动。
每完成一笔交易就获赠一张“福”字卡，集齐五个不同的“福”字卡即可获奖。
若干年前购买一袋干脆面随赠一张水浒传一百单八将的好汉卡，集齐全部好汉卡将获得生产商颁发的大奖。
（1）如果每完成一笔交易获赠每种卡片的可能性是一样的，那么，平均来说，要购买多少笔有关的商品才能集齐五个不同的“福”字卡?
（2）如果购买一次干脆面随赠一百单八将的好汉卡中每一张的可能性是一样的，那么，平均来说要购买多少袋干胞面才能获得生产商颁发的大奖?
三个提示：
1°
.这个问题等同于在一个口袋中有5个球，编号为1,2,3,45,有放回地随机摸球，每个球被取到的概率相同，求5个号码全部都被取到所需要的平均摸球次数。
2°
.若干个随机变量和的数学期望等于这些随机变量分别取数学期望后再求和。
3°
.请自行查阅资料，了解如下常见的离散型随机变量的分布：
两点分布，二项分布，泊松分布，几何分布，超几何分布。
根据概念判断这个问题中的随机变量的分布种类，并运用相应的知识解决问题。
五、在2019年“双十一”到来之际，作为综合性购物网站的天猫商城和旗下的数千家店铺给出了五花八门的优惠方式，天猫在双十一当天的优惠活动有以下几种：
1°
.天猫购物津贴。
每满400减50,或者每满200减20,可跨店铺使用，每个商品仅享有其中种满减优惠：
使用购物津贴的条件：
①加入购物车后，一起提交下单的商品：
②购买商品需支持购物津贴且满减门槛一致，且凑单后合并下单的付款金额需达到满减门槛，如每满200减20.每满400减50,依此类推：
③不同订单的商品不能累计价格使用购物津贴。
2°
.店铺的限时低价。
商品标价比平日低，仅限在某个时间段购买，比如0:
00-2:
00。
3°
.店铺优惠券。
某商品直接由店铺打折，或者发优惠券，优惠券可能限时使用，或者有其他使用条件限制。
4°
.预订商品。
需要在双十一前预订，交付一定的定金，在双十一当天凌晨1点之后再下单并攴付尾款。
需要注意的是，除特殊标明，以上的各种优惠可以叠加使用，比如某商品450元，店铺优惠50元，接着可以使用满400减50的天猫购物津贴50元，最后实际付款是350元，非预订商品的付款金额是指商品价格减去店铺折扣或使用优惠券之后的价格，预订商品的付款金额是指商品价格扣除定金的尾款部分，预订商品可与非预订商品一起下单，付款金额（即这一单的预订商品的尾款与其他商品扣除店铺优惠后的金额）达到满减门檻可以享受天猫购物津贴。
工作在京的职员小张想给远在故乡的妈妈和自己购买一些商品，在天猫购物车中放入了护肤品眼镜架、镜片、洗护用品、烘焙用品等，涉及到前面提到的多种优惠类型，给妈妈买的商品寄到故乡家里，给自己买的商品寄到北京的家中，不同邮寄地址的商品是不能一起下单的，为了在双十一当天能够以最优惠的价格购到心仪的商品，小张满要提前计算出下单方式，她将购物车中的商品都列在了下面的清单里，其中没有标明邮寄地址的可以寄到故乡家里，也可以寄到北京的家中，品名带“*”的商品是可买可不买的，可用于凑单，在店铺优惠方式、购买时限、满减种类栏目中的空格分别表示没有相关优惠、没有购买时限、不参加满减。
如果认为所有商品供应充足，请你帮小张设计一个下单方案，使得购物最省钱。
附：
购买商品清单（金额单位：
元）
参考答案
一、
二、
三、
四、
五、
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