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毕业设计（论文）外文资料翻译
题目:
图论的基本概念
院系名称：
理学院专业班级：
信息与计算科学F0801
学生姓名：
学号：
200848490110
指导教师：
教师职称：
副教授
起止日期：
2012-3-5～3-16地点:
附件：
1.外文资料翻译译文；2.外文原文。
指导教师评语：
签名：
年月日
附件1：
外文资料翻译译文
1.6路和联通
G的一条途径（或通道）是指一个有限非空序列W=v0e1v1e2v2…ekvk,它的项交替地为顶点和边，使得对1≤i≤k，ei的端点是vi-1和vi。
称W是从v0到vk的一条途径，或一条（v0，vk）途径顶点。
v0和vk分别成为W的起点和终点，而v1，v2，…，vk-1称为它的内部顶点。
整数k称为W的长。
若W=v0e1v1…ekvk和W’=vkek+1vk+1…elvl都是途径，则W逆转后所得的途径vkekvk-1…e1v0记为W-1,将W和W’在vk处衔接在一起所得的途径v0e1v1…elvl记为WW’。
途径W=v0e1v1…ekvk的节是指W中由相继项构成的子序列viei+1vi+1…ejvj，它也是一条途径；这一子序列又可称为W的（vi，vj）节。
在简单图中，途径v0e1v1…ekvk由它的顶点序列v0v1…vk所确定；所以简单图的途径可简单地由其顶点序列来表示。
不仅如此，即使在非简单图中，我们有时也把相继项均相邻的顶点序列看作为“途径”。
在这种场合应该理解为：
所作的论述对于具有这种顶点序列的每条途径都是正确的。
若途径W的边e1，e2，…，ek互不相同，则W称为迹；这时W的长恰好是ε（W）。
又若途径W的顶点v0，v1，…，vk也互不相同，则W称为路。
图1.8指出了一个图的途径，一条迹和一条路。
“路”一次也可用来表示其顶点和边是一条路的各项的图或子图。
u
v
w
x
b
d
y
e
f
g
h
c
a
图1.8
途径：
uavfyfvgyhwbv
迹：
wcxdyhwbvgy
路：
xcwhyeuav
G的两个顶点u和v称为连通的，如果在G中存在（u，v）路。
连通是顶点集V上的一个等价关系。
于是就存在V的一个分类，把V分成非空子集V1,V2,…，Vw，使得两个顶点u和v是连通的当且仅当它们属于同一子集V。
子图G[V1]，G[V2]，…，G[Vw]称为G的分支。
若G是不练通的。
G的分支个数记为w（G）。
图1.9画出了连通的和不练通的。
（a）
。
（b）
图1.9（a）一个连通图；（b）一个有三个分支的不连通图
习题
1.6.1证明：
若在G中存在（u,v）途径，则在G中也存在（u,v）路。
1.6.2证明：
G中长为k的（vi，vj）途径的数目就是Ak中的第（i，j）元素。
1.6.3证明：
若G是简单图且δ≥k，则G有长为k的路。
1.6.4证明：
G是连通图当且仅当对于把V分为两个非空子集V1和V2的每个分类，、
总存在一条边，其一个端点在V1中而另一个端点在V2中。
1.6.5（a）证明：
若G是简单图且ε>（v-21），则G连通。
（b）对于v>1，找出一个边数ε=（v-21）的不连通简单图。
1.6.6（a）证明：
若G是简单图且δ>[v/2]—1，则G连通。
（b）当v是偶数时，找出一个不连通的（[v/2]—1）正则简单图。
1.6.7证明：
若G不连通，则GC连通。
1.6.8（a）证明：
若e∈E，则w（G）≤w（G—e）≤w（G）+1。
（b）设v∈V，证明：
在上面的不等式中，一般不能用G—v代替G—e。
1.6.9证明：
若G连通且G的每个顶点的度均为偶数，则对于任何v∈V，w（G—v）≤1/2d（v）成立。
1.6.10证明：
在连通图中，任意两条最长路必有公共顶点。
1.6.11若在G中顶点u和v是连通的，则u和v之间的距离dG（u,v）是G中最短（u,v）路的长；若没有路连接u和v，则定义dG（u,v）为无穷大。
证明：
对于任何三个顶点u,v和w，d（u,v）+d（v,w）≥d（u,w）成立。
1.6.12G的直径是指G的两个顶点之间的最大距离。
证明：
若G的直径大于3，则Gc的直径小于3。
1.6.13证明：
若G是直径为2的简单图且Δ=v—2，则ε≥2v—4。
1.6.14证明：
若G是连通简单图但不是完全图，则G有三个顶点u,v和w，使得uv，vw∈E，而uwE。
1.7圈
称一条途径是闭的，如果它有正的长且起点和终点相同，若一条闭迹的起点和内部顶点互不相同，则它称为圈。
与路一样，有时用术语“圈”来表示对应于一个圈的图，长为k的圈称为k圈；按k是奇数或偶数，称k圈是奇圈或偶圈。
3圈称为三角形。
图1.10给出了闭迹和圈的例子。
d
v
u
b
c
a
x
h
g
w
e
f
闭迹：
ucvhxgwfwdvbu
图1.10图：
xaubvhx
利用圈的概念，可以给出偶图的一个特征。
定理1.2一个图是偶图当且仅当它不包含奇圈。
证设G是具有二分类（X，Y）的偶图，并且设C=v0v1…vkv0是G的一个圈。
不失一般性，可假设v0∈X。
因为v0v1∈E且G是偶图，所以v1∈Y。
同理v2∈X。
一般说来，v2i∈X，且v2i+1∈Y，又因为v0∈X，所以vk∈Y。
于是对某个i，有k=2i+1，由此即得C是偶图。
显然仅对连通图证明其逆命题就够了，设G是不包含奇圈的连通图。
任选一个顶点u且定义V的一个分类（X，Y）如下:
X={x∈V|d（u,x）是偶数}
Y={y∈V|d（u,y）是奇数}
现在证明（X,Y）是G的一个二分类。
假设v和w是X的两个顶点，P是最短的（u，v）路，Q是最短的（u，w）路，以u记P和Q的最后一个公共顶点。
因P和Q是最短路，
P和Q二者的（u，u1）节也是最短的（u，u1）路，故长相同。
现因P和Q的长都是偶数，所以P的（u1，v）节P1和Q的（u1，w）节Q1必有相同的奇偶性。
因此推出（v,w）路P1-1Q1长为偶数。
若v和w相连，则P1-1Q1wv就是一个奇圈，与假设矛盾，故X中任意两个顶点均不相邻；类似地，Y中任意两个顶点也不相邻。
习题
1．7.1证明：
若边e在G的某闭迹中，则e在G的某圈中。
1.7.2证明：
若δ≥2，则G包含圈。
1.7.3证明：
若G是简单图且δ≥2，则G包含至少是δ+1的圈。
1.7.4G的围长是指G中最短圈的长；若G没有圈，则定义G的围长为无穷大。
证明：
（a）围长为4的k正则图至少有2k个顶点，且（在同构意义下）在2k个顶点上恰好有一个这样的图；
（b）围长为5的k正则图至少有k2+1个顶点。
1.7.5证明：
围长为5，直径为2的k正则图恰好有k2+1个顶点，当k=2,3时找出这种图来。
（Hoffman和Singleton在1960年已证明：
这种图仅当k=2，3，7，可能还有57时存在。
）
1.7.6证明:
（a）若ε≥v，则G包含圈；
（b）若ε≥v+4,则G包含两个边不重的圈。
附件2：
外文原文（复印件）
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