秋八年级数学上册 第13章 全等三角形 专题训练五三种特殊的等腰三角形的运用练习 新版华东师Word格式.docx

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图5－ZT－2

3．如图5－ZT－3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°

，AC＝2AB，D是AC的中点．将一块锐角为45°

的直角三角尺ADE按如图所示的方式放置，使三角尺斜边的两个端点分别与A，D重合，连结BE，EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．

图5－ZT－3

►　类型二　等边三角形

三边都相等的三角形叫做等边三角形．

（1）三边都相等；

（2）三个角都是60°

（1）定义；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

图5－ZT－4

4．如图5－ZT－4，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1＝20°

，则∠2的度数为（　　）

A．60°

　　B．45°

C．40°

　　D．30°

5．如图5－ZT－5，在△ABC中，AB＝AC，D，E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°

.若BE＝6cm，DE＝2cm，求BC的长．

图5－ZT－5

6．如图5－ZT－6，B是AC上一点，△ABD和△DCE都是等边三角形，求证：

AC＝BE.

图5－ZT－6

7．如图5－ZT－7，△ABC是等边三角形，E是BC边上任意一点，∠AEF＝60°

，EF交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.

求证：

AE＝EF.

图5－ZT－7

►　类型三　有一角是36°

的等腰三角形

有一角是36°

的等腰三角形包括两种情况：

（1）顶角是36°

的等腰三角形，此时底角是72°

；

（2）底角是36°

的等腰三角形，此时顶角是108°

.这两类等腰三角形具有一些共性．

8．如图5－ZT－8，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（　　）

A．30°

B．36°

C．38°

D．45°

图5－ZT－8

　图5－ZT－9

.如图5－ZT－9，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°

10．如图5－ZT－10，在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°

，则∠BDC的度数为________．

图5－ZT－10

图5－ZT－11

11．如图5－ZT－11所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且AB＝BD，AD＝DC，则∠BAC＝________°

12．如图5－ZT－12，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°

，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：

（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形的个数均不包括△ABC）

（1）在图①中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是________度和________度；

（2）在图②中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

（3）继续按以上操作发现：

在图③中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有________个黄金等腰三角形．

图5－ZT－12

详解详析

1．证明：

∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC.

∵∠EAC＝90°

＋∠CAD，∠DAB＝90°

＋∠CAD，

∴∠DAB＝∠EAC.

在△ADB和△AEC中，

∵AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，AB＝AC，

∴△ADB≌△AEC（S.A.S.），

∴BD＝CE.

2．解：

△DBF是等腰直角三角形．

证明：

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，AD平分∠BAC.

∵BF平分∠ABE，AC⊥BE，

∴∠DFB＝∠DAB＋∠ABF＝

（∠BAE＋∠ABE）＝

（180°

－∠AEB）＝45°

，

∴∠DBF＝90°

－∠DFB＝45°

∴DB＝DF，

∴△DBF是等腰直角三角形．

3．解：

数量关系：

BE＝EC，位置关系：

BE⊥EC.

∵△AED是等腰直角三角形，

∴∠AED＝90°

，∠EAD＝∠EDA＝45°

，AE＝DE.

∵∠BAC＝90°

∴∠EAB＝∠EAD＋∠BAC＝45°

＋90°

＝135°

，∠EDC＝180°

－∠EDA＝180°

－45°

∴∠EAB＝∠EDC.

∵D是AC的中点，

∴AC＝2CD.

又∵AC＝2AB，

∴AB＝CD，

∴△EAB≌△EDC，

∴EB＝EC，且∠AEB＝∠DEC，

∴∠BEC＝∠BED＋∠DEC＝∠BED＋∠AEB＝∠AED＝90°

，即BE⊥EC.

4．C

5．解：

延长AD交BC于点M，由AB＝AC，AD平分∠BAC可得AM⊥BC，BM＝MC＝

BC.

延长ED交BC于点N，则△EBN是等边三角形，

故EN＝BN＝BE＝6，∴DN＝6－2＝4.

过点D作DF∥BE，则∠DFN＝∠EBC＝60°

，∠FDN＝∠E＝60°

∴△DFN为等边三角形，

∴MN＝

FN＝

DN＝2，

∴BM＝6－2＝4，

∴BC＝2BM＝8.

6．证明：

∵△ABD和△DCE都是等边三角形，

∴∠ADB＝∠CDE＝60°

，AD＝BD，CD＝DE，

∴∠ADB＋∠BDC＝∠BDC＋∠CDE，

即∠ADC＝∠BDE，

∴△ADC≌△BDE，

∴AC＝BE.

7．证明：

如图，在AB上截取AG＝CE，连结EG.

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°

，则BG＝BE.

∴△BEG是等边三角形，

∴∠BGE＝60°

∴∠AGE＝120°

∵CF平分∠ACD，

∴∠ACF＝

－∠ACB）＝60°

∴∠ECF＝120°

∴∠AGE＝∠ECF.

∵∠AEC＝∠B＋∠GAE＝∠AEF＋∠CEF，且∠AEF＝∠B＝60°

∴∠GAE＝∠CEF.

又∵AG＝EC，

∴△AGE≌△ECF（A.S.A.），

∴AE＝EF.

8．B

9．18

10．72°

11．108

12．解：

（1）如图①所示（画图不唯一）．空格处分别填108，36.

提示：

当AE＝BE时，∠A＝∠ABE＝36°

，则∠AEB＝108°

，∠EBC＝36°

∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108°

和36°

.故填108和36.

（2）答案不唯一，如图②所示：

（3）空格处填n.

画1条线段可得到2个等腰三角形；

画2条线段可得到4个等腰三角形；

画3条线段可得到6个等腰三角形……

∴在△ABC中画n条线段，使图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．

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